王巧蓮，陳文兵，解曉娟

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

線性碼在密碼學(xué)和編碼理論中有著重要應(yīng)用，其中極小線性碼作為一類特殊的線性碼，可用于構(gòu)造具有良好訪問結(jié)構(gòu)的秘密共享方案。1998年，ASHIKHMIN在文獻[1]中給出了有限域上的線性碼是極小線性碼的一個充分條件。隨后，DING等通過選取合適的定義集或函數(shù)來構(gòu)造了一系列滿足該條件的極小線性碼，但驗證得到這個條件并不是極小線性碼的充要條件[2-3]。2018年，DING等基于向量的運算性質(zhì)給出了二元線性碼是極小線性碼的充要條件，并將此條件推廣到p元線性碼上（p是素數(shù)）[4-5]。文獻[6]利用這個充要條件在特征為奇素數(shù)的有限域上構(gòu)造了三類極小線性碼；BONINI 等在特征為奇素數(shù)的有限域上構(gòu)造了無限類極小線性碼[7]。隨后MESNAGER 利用了特征函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造了極小線性碼[8]。2022年，XU等基于弱正則bent函數(shù)構(gòu)造了極小線性碼[9]。

受文獻[6]和[8]的啟發(fā)，本文構(gòu)造了更多的極小碼。在有限域中選取子空間E1,E2，滿足E1∩E2={ 0 }，令H=，進而求出我們構(gòu)造的p元函數(shù)f(x)的Walsh變換以及線性碼的重量分布；其次在所構(gòu)造的線性碼中選取部分碼字去構(gòu)造極小碼，并驗證碼是極小線性碼且給出其漢明重量分布表。

1 預(yù)備知識

2 極小線性碼的構(gòu)造

通過表1，可以從碼Cf中選取部分碼字來構(gòu)造一些極小線性碼。

表1 碼Cf漢明重量分布表

表2 碼Cfˉ漢明重量分布表

3 結(jié)束語

本文在文獻[6]基礎(chǔ)上選取了適當?shù)募?，并利用其特征函?shù)的性質(zhì)來構(gòu)造了一類線性碼，然后在所構(gòu)造的線性碼中選取部分碼得到本文一類極小線性碼且給出線性碼和極小碼的重量分布，并驗證了這類極小碼不滿足Ashikhmin-Barg條件。這類極小線性碼可用于構(gòu)造存取結(jié)構(gòu)更簡易的秘密共享方案。