王進(jìn) 于濤

［摘? 要］ 文章以“立體幾何初步”中的“角的度量”教學(xué)設(shè)計為例，呈現(xiàn)了單元教學(xué)設(shè)計的完整流程，從數(shù)學(xué)分析、課標(biāo)分析、教材分析、學(xué)情分析、評價分析等五個方面進(jìn)行教學(xué)要素分析，從課時教學(xué)內(nèi)容、單元教學(xué)目標(biāo)、單元重點(diǎn)難點(diǎn)等三個方面進(jìn)行單元框架設(shè)計，以具體課時的教學(xué)過程為例呈現(xiàn)出課時教學(xué)設(shè)計.單元教學(xué)設(shè)計主要有“橫向遷移”和“縱向發(fā)展”兩種類型，以及從“四基”“四能”到“三會”的主線.

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；單元教學(xué)；立體幾何；角的度量；二面角

基金項目：廣東省基礎(chǔ)教育學(xué)科教研基地項目，廣東省教育研究院中小學(xué)數(shù)學(xué)專項課題“基于大觀念的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)實(shí)踐研究”（GDJY-2022-M-b124），東莞市教育科研“十四五”規(guī)劃課題“培養(yǎng)學(xué)生‘四能的數(shù)學(xué)探究活動校本課程研究”（2021GH165）.

作者簡介：王進(jìn)（1983—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，廣東省基礎(chǔ)教育學(xué)科教研基地成員，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究工作，東莞市學(xué)科帶頭人、東莞市教學(xué)能手，曾獲東莞市品質(zhì)課堂教學(xué)能力大賽一等獎.

引言

單元教學(xué)設(shè)計是以教材為基礎(chǔ)，用系統(tǒng)論的方法對教材中“具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性”的內(nèi)容進(jìn)行分析、重組、整合并形成相對完整的教學(xué)單元，在教學(xué)整體觀的指導(dǎo)下將教學(xué)諸要素有序規(guī)劃，以優(yōu)化教學(xué)效果的教學(xué)設(shè)計［1］. 單元教學(xué)設(shè)計倡導(dǎo)把教學(xué)內(nèi)容置于單元整體內(nèi)容中去把控，更多關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、蘊(yùn)含的思想以及學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)，對改變教學(xué)過分關(guān)注具體知識點(diǎn)的傾向，拓展教學(xué)視野以及提高教學(xué)效率等有重要作用［2］.

鐘啟泉指出“核心素養(yǎng)—課程標(biāo)準(zhǔn)（學(xué)科素養(yǎng)/跨學(xué)科素養(yǎng)）—單元設(shè)計—課時計劃”是環(huán)環(huán)相扣的教師教育活動的基本環(huán)節(jié)，要理解單元設(shè)計的價值和作用，它是撬動課堂轉(zhuǎn)型的一個支點(diǎn)［3］. 在新課程改革的背景下，倡導(dǎo)教師關(guān)注發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計，從更為上位的視角開展整體教學(xué)，是一個重要的研究課題.下面筆者以“立體幾何初步”中的“角的度量”教學(xué)設(shè)計為例，與讀者共同探討單元教學(xué)設(shè)計.

教學(xué)要素分析

教學(xué)要素分析是單元教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，關(guān)系著單元教學(xué)何以構(gòu)成一個“單元”. 教學(xué)要素分析包括數(shù)學(xué)分析、課標(biāo)分析、教材分析、學(xué)情分析、評價分析等五個方面.

數(shù)學(xué)分析：“角的度量”是繼空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系定性研究后的定量研究，是“異面直線所成的角（線線角）”“直線與平面所成的角（線面角）”“二面角”等基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)后的基本技能學(xué)習(xí).“角的度量”包括作角、證角、求角等環(huán)節(jié)，其中“作角”將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.不論是位置關(guān)系的研究，還是度量關(guān)系的計算，教學(xué)往往更關(guān)注如何證明平行、垂直，如何求角（包括三角函數(shù)值）等顯性知識的學(xué)習(xí)，而忽視借助位置關(guān)系、度量關(guān)系深入認(rèn)識空間幾何圖形等隱性知識的學(xué)習(xí). 因此，“角的度量”教學(xué)需要關(guān)注“根據(jù)幾何圖形研究角的問題”和“根據(jù)角的研究過程與結(jié)果認(rèn)識幾何圖形”的雙向教學(xué)視角.

課標(biāo)分析：立體幾何教學(xué)內(nèi)容隸屬于幾何與代數(shù)主線，課標(biāo)中有關(guān)“立體幾何初步”的教學(xué)內(nèi)容要求重點(diǎn)關(guān)注空間中點(diǎn)、直線、平面之間的“位置關(guān)系”，以及關(guān)系中的兩類特殊情形——平行與垂直，對關(guān)系中的一般情形的“度量關(guān)系（距離、角）”未有表述；在空間向量與立體幾何的教學(xué)內(nèi)容要求中提出能用向量方法解決有關(guān)距離問題和夾角問題的“度量問題”. 顯然，立體幾何初步的教學(xué)對“角的度量”問題要求不高，三類“角”的概念教學(xué)重在服務(wù)于“位置關(guān)系”教學(xué). 此外，課標(biāo)中多次提出“借助長方體”來學(xué)習(xí)立體幾何的相關(guān)知識內(nèi)容，這一教學(xué)策略的高頻次出現(xiàn)，實(shí)際上是在強(qiáng)調(diào)模型思想，以“基本立體圖形——長方體”為模型載體，貫穿立體幾何的教學(xué).

教材分析：“角的度量”教學(xué)作為基本技能的教學(xué)，需要一定數(shù)量的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行講授與訓(xùn)練. 人教A版教材（2019年版）必修第二冊中有關(guān)“角”的例習(xí)題不多——共有7道例習(xí)題.其中，“線線角”有1道例題、1道習(xí)題；“線面角”有1道例題、1道習(xí)題；“二面角”有3道習(xí)題. 教材的編寫與課標(biāo)中的教學(xué)內(nèi)容要求基本一致. 分析有關(guān)“角的度量”的例習(xí)題背景，不難發(fā)現(xiàn)“立體幾何初步”教學(xué)的例習(xí)題背景設(shè)置主要是正方體（3題〈三類“角”各1題〉）、長方體（1題）、三棱錐（2題）、四棱錐（1題）等常見的基本立體圖形，同樣強(qiáng)調(diào)對基本立體圖形的學(xué)習(xí)與認(rèn)識. 事實(shí)上，三棱錐、四棱錐都可以視作正方體或長方體的一部分.

學(xué)情分析：“角的度量”的認(rèn)知基礎(chǔ)是各類“角”的概念，以及平行、垂直的判定與性質(zhì)定理等，“角的度量”方法的學(xué)習(xí)是綜合運(yùn)用概念與定理的過程. 在解決具體問題時，學(xué)生需要從基本立體圖形中抽象出“角”的問題，對空間想象能力要求較高，不同的觀察視角都可能引起對圖形理解的困難. 從“整體”的視角來認(rèn)識“局部”的線線、線面、面面關(guān)系的意識有待學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng).

評價分析：高考對立體幾何的考查不局限于用向量方法研究立體幾何問題，幾何方法和向量方法都是立體幾何思維方法的重要考向.從評價的角度來看，應(yīng)用向量方法研究立體幾何問題前，有必要加強(qiáng)幾何方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建“幾何”“向量”兩條路的思維方法體系，避免學(xué)生解決“角的度量”問題時，只見“向量”不見“幾何”.

基于上述分析，筆者將“角的度量”定為一個學(xué)習(xí)單元. 該單元以“模型”思想為教學(xué)核心，以“線串式”單元為教學(xué)組織形式，以期在牢固學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本技能的同時，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

單元框架設(shè)計

單元框架設(shè)計是單元教學(xué)設(shè)計的重要環(huán)節(jié)，關(guān)系著單元教學(xué)如何實(shí)施的問題.單元框架設(shè)計包括課時教學(xué)內(nèi)容、單元教學(xué)目標(biāo)、單元重點(diǎn)難點(diǎn)等內(nèi)容.

課時教學(xué)內(nèi)容：本單元教學(xué)內(nèi)容分為3個課時，內(nèi)容分別是線線角的求法、線面角的求法、二面角的求法.具體課時教學(xué)內(nèi)容如表1所示.

單元教學(xué)目標(biāo)：單元教學(xué)目標(biāo)不是課時目標(biāo)的累加，需要突出課時教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系性，避免課時教學(xué)的碎片化和隨意性.根據(jù)課堂教學(xué)內(nèi)容的共性，本單元的教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）“四基”層面的教學(xué)目標(biāo).①基礎(chǔ)知識：深入理解基本立體圖形——正方體，了解正方體中特殊位置的線線、線面、面面的位置關(guān)系；②基本技能：掌握求解三類“角”的基本方法，掌握“作角、證角、求角”的基本步驟；③基本思想：感悟模型思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想；④基本活動經(jīng)驗：積累正方體中的線線、線面、面面位置關(guān)系的研究經(jīng)驗，為遷移至其他基本立體圖形中的線線、線面、面面位置關(guān)系的研究做好類比基礎(chǔ).

（2）“四能”層面的教學(xué)目標(biāo).①能從“元素（線、面）”之間關(guān)系的微觀角度來認(rèn)識宏觀的幾何圖形，發(fā)現(xiàn)并提出有關(guān)線線、線面、面面位置關(guān)系的度量計算問題；②能應(yīng)用各類“角”的概念及相關(guān)知識，分析并解決各類“角”的度量計算問題.

（3）素養(yǎng)層面的教學(xué)目標(biāo). ①關(guān)鍵能力：借助正方體研究有關(guān)角的度量計算問題，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)；通過學(xué)習(xí)“作角、證角、求角”的方法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)；②必備品格：通過探究活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題的全過程，培養(yǎng)學(xué)生善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

單元重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是應(yīng)用各類“角”的概念及相關(guān)知識求解角的度量計算問題，結(jié)合各類“角”的求解過程與結(jié)果深入認(rèn)識正方體模型；難點(diǎn)是各類“角”的作角方法的學(xué)習(xí)與掌握.

課時教學(xué)設(shè)計

本單元3個課時的教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系緊密，教學(xué)模式與流程幾乎一致，每個課時都可以為下一個課時積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗，實(shí)現(xiàn)從學(xué)會到會學(xué)的單元教學(xué)價值. 下面以第3課時“二面角的求法”為例，呈現(xiàn)單元教學(xué)設(shè)計.

1. 發(fā)現(xiàn)問題

情境：如圖1所示，正方體ABCD－ABCD的各個面能構(gòu)成二面角嗎？如果能，大小是多少？如果不能，請說明理由.

學(xué)生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，分類討論，發(fā)現(xiàn)并解決問題.

教師活動：教師觀察、交流，適時提出引導(dǎo)性問題.

活動結(jié)果：①相鄰的兩面能組成二面角，如二面角D－AD－C，二面角A－DD－C等，均為90°；②相對的面互相平行，不能組成二面角，因為二面角的定義為：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形.

設(shè)計意圖 以正方體為教學(xué)載體，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用二面角知識觀察模型，明確模型中各個面的關(guān)系.同時，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)二面角、二面角平面角的概念以及二面角的表示等基礎(chǔ)知識.

問題1：如圖2所示，已知正方體ABCD－ABCD的對角面ABCD，該對角面與正方體各個面所組成的二面角的大小分別是多少？

學(xué)生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，分類討論，發(fā)現(xiàn)并解決問題.

教師活動：教師觀察、交流，適時提出引導(dǎo)性問題.

活動結(jié)果：①平面AADD和平面BBCC與對角面ABCD構(gòu)成的二面角均為90°；②平面AABB、平面ABCD、平面ABCD、平面CCDD與對角面ABCD構(gòu)成的銳二面角均為45°.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)以正方體的各頂點(diǎn)構(gòu)成的線與面，多視角觀察正方體，學(xué)會用二面角的知識去研究它們之間的關(guān)系，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察基本模型，發(fā)現(xiàn)問題.

2. 提出問題

問題2：在正方體ABCD－ABCD中，你還可以提出一些有關(guān)二面角的問題嗎？

學(xué)生活動：學(xué)生獨(dú)立思考，發(fā)現(xiàn)、提出問題.

教師引導(dǎo)：為了使研究對象較為簡單且集中，教師適時引導(dǎo)學(xué)生思考“正方體的各頂點(diǎn)能確定哪些特殊的平面？從這些平面間的關(guān)系能提出哪些有關(guān)二面角的問題？”

活動結(jié)果：①明確三類研究對象，分別為表面、對角面、三角面；②提出四類研究問題，分別為三角面與表面構(gòu)成的二面角、三角面與對角面構(gòu)成的二面角、三角面與三角面構(gòu)成的二面角、對角面與對角面構(gòu)成的二面角.在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生從直觀、易于辨識的角度寫出每類問題中的一個有關(guān)二面角的題目，比如以下四個題目.

題目1：（三角面與表面）如圖3所示，在正方體ABCD－ABCD中，求二面角C－BD－C的大小.

題目2：（三角面與對角面）如圖4所示，在正方體ABCD－ABCD中，求二面角D－BD－C的大小.？搖

題目3：（三角面與三角面）如圖5所示，在正方體ABCD－ABCD中，求二面角A－BD－C的大小.

模型抽象：在題目3的基礎(chǔ)上，連接AC，從正方體中抽象出正四面體（如圖6所示），問題可以轉(zhuǎn)化為“正四面體相鄰兩面所構(gòu)成的銳二面角的大小是多少？”

題目4：（對角面與對角面）如圖7所示，在正方體ABCD－ABCD中，求二面角A－BD－C的大小.

模型抽象：在題目4的基礎(chǔ)上，從正方體中抽象出四棱錐（如圖8所示），問題可以轉(zhuǎn)化為“在底面是正方形的四棱錐D1-ABCD中，DD1⊥平面ABCD，且DD1=DC，求二面角A-BD1-C的大小”.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用關(guān)系的眼光觀察數(shù)學(xué)對象，多視角觀察、認(rèn)識正方體模型，建立正方體模型與正四面體模型、特殊四棱錐模型之間的關(guān)系，強(qiáng)化模型思想，增強(qiáng)載體化意識.引導(dǎo)學(xué)生在立體幾何一般觀念的引領(lǐng)下，從“元素（平面）”關(guān)系的角度感悟研究立體幾何問題的一般思路和方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題的能力，積累基本活動經(jīng)驗.

3. 分析問題

問題3：如何求二面角的大??？

學(xué)生：作出二面角的平面角.

教師：如何作二面角的平面角？

師生活動：教師借助題目1，分析作二面角平面角的本質(zhì)和關(guān)鍵，建立作二面角平面角的一般模型（如圖9所示），進(jìn)而明確作圖思路：在兩個半平面中各探尋一點(diǎn)A，B，使得兩點(diǎn)的連線AB與二面角的棱l相互垂直，再過點(diǎn)B作BH⊥l交l于H，連接AH.與題目1不同，題目2需要引導(dǎo)學(xué)生在作圖的過程中，通過添加輔助線，構(gòu)建出如圖9所示的模型，作出二面角的平面角.題目1和題目2以教師講授為主，題目3和題目4以學(xué)生實(shí)踐為主，題目3和題目4的研究思路可以分別類比題目1和題目2.

設(shè)計意圖 “作角”與“證角”“求角”分環(huán)節(jié)教學(xué)，意在分散教學(xué)難點(diǎn)，突破“作角”難點(diǎn).通過四個題目的講授與練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)方法、構(gòu)建模型、轉(zhuǎn)化應(yīng)用等過程，建立模型意識，理解構(gòu)建二面角作圖模型的價值，掌握一種最為基礎(chǔ)的作圖方法，強(qiáng)化基本技能. 四個題目呈現(xiàn)了正方體、正四面體、特殊四棱錐等三種基本立體圖形，通過“作角”，引導(dǎo)學(xué)生深入理解常見的基本立體圖形的特征及性質(zhì).

4. 解決問題

問題4：如何表述二面角平面角的整個求解過程？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體問題，準(zhǔn)確表述輔助線的作法，以及“證角”和“求角”過程.板書題目1的解答過程，做好教學(xué)示范；展示題目2的解答過程，形成對比，強(qiáng)調(diào)“作角”中的轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)“證角”和“求角”的共通性.學(xué)生自主練習(xí)題目3和題目4.

完成四個題目規(guī)范求解后，教師在題目4的基礎(chǔ)上，提出思考題.

思考題：如圖8所示，題目4的條件不變，求平面ADD與平面BCD所成的銳二面角的大小.

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生思考并發(fā)現(xiàn)特殊四棱錐與正方體之間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)正方體的對角面與側(cè)面構(gòu)成的銳二面角問題.

設(shè)計意圖 完善“作角”的表達(dá)，規(guī)范“證角”“求角”的書寫，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力；提出“無棱二面角”的變式思考題，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同模型間的關(guān)系，體會模型思想，感悟模型價值.

單元教學(xué)思考

單元教學(xué)設(shè)計以整體教學(xué)功能為設(shè)計起點(diǎn)，從更高層次的視角觀察、提取教學(xué)內(nèi)容的共性，綜合考慮共性要素間的關(guān)系，使得教學(xué)產(chǎn)生整體效益.

從單元教學(xué)設(shè)計類型來看，“橫向遷移”和“縱向發(fā)展”是兩個基本的設(shè)計類型. 本文呈現(xiàn)的“角的度量”單元教學(xué)設(shè)計是“橫向遷移”的典型案例，第1課時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗可以遷移到第2、第3課時，有助于學(xué)習(xí)過程中類比遷移的發(fā)生，促進(jìn)學(xué)生由被動接受的“學(xué)會”轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃臃e極的“會學(xué)”. 對于“縱向發(fā)展”的單元教學(xué)設(shè)計，以“函數(shù)零點(diǎn)問題”為例，教材將函數(shù)零點(diǎn)問題編寫為“函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解”和“用二分法求方程的近似解”兩個小節(jié)，“合二為一”方能構(gòu)成研究函數(shù)零點(diǎn)（或方程的根）問題解決方法的全過程——先判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，再估算零點(diǎn)的大?。ɑ蚯蟪鰧?yīng)方程的根）.

從單元教學(xué)設(shè)計的教學(xué)目標(biāo)來看，不妨以從“四基”“四能”到“三會”為設(shè)計主線，形成“宏觀（課程目標(biāo)）—中觀（單元教學(xué)目標(biāo)）—微觀（課時教學(xué)目標(biāo)）”的“課程—教學(xué)”目標(biāo)鏈條，填補(bǔ)課程目標(biāo)與課時教學(xué)目標(biāo)之間的“溝壑”. “四基”以打好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)，體現(xiàn)出基礎(chǔ)性、整合性、結(jié)構(gòu)性；“四能”立足問題解決活動，體現(xiàn)出情境性、過程性、探索性；“三會”立足行為養(yǎng)成，體現(xiàn)出實(shí)踐性、創(chuàng)新性、發(fā)展性［4］. 這一設(shè)計主線能有效引導(dǎo)教師關(guān)注“雙基”外的其他課程目標(biāo)，通過單元教學(xué)實(shí)現(xiàn)更高層次的教學(xué)目標(biāo)，有助于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).

單元教學(xué)設(shè)計需要一線教師有意識地發(fā)展、提高自身單元教學(xué)意識，通過將教學(xué)內(nèi)容放置于單元中進(jìn)行整體教學(xué)考量，助力教師教學(xué)行為和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 呂世虎，吳振英，楊婷，王尚志． 單元教學(xué)設(shè)計及其對促進(jìn)數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的作用［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（05）：16-21.

［2］ 呂世虎，楊婷，吳振英. 數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計的內(nèi)涵、特征以及基本操作步驟［J］. 當(dāng)代教育與文化，2016， 8（04）：41-46.

［3］ 陳彩虹，趙琴，汪茂華，汪曉慧，吁思敏，向榮． 基于核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計——全國第十屆有效教學(xué)理論與實(shí)踐研討會綜述［J］. 全球教育展望，2016，45（01）：121-128．

［4］ 黃翔，童莉，李明振，沈林. 從“四基”“四能”到“三會”——一條培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主線［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019，28（05）：37-40.