盛文雅

【摘? ?要】從“圖形運動”的視角拓展和重構“長方體和正方體”單元教學，可以“動”為媒，圍繞“建構圖形特征”“推導表面積與體積”“拓展新的思考”等教學目標，實現(xiàn)思維的進階，提高問題解決的能力。

【關鍵詞】圖形的運動；推理意識；長方體和正方體

【教學思考】

在第一學段學習中，學生已經(jīng)認識了一些基本的平面圖形，積累了一些圖形分析經(jīng)驗，對立體圖形能做直觀的辨認，能夠識別長方體、正方體、圓柱和球。在此基礎上，“長方體和正方體”單元從結(jié)構最簡單的長方體和正方體切入，圍繞“表面積”和“體積”這兩個核心概念，展開對立體圖形的量化分析，為學生進一步學習其他立體圖形打下基礎。

以往這部分的教學往往以呈現(xiàn)一些典型的面積和體積問題，落實正確的解答方法，辨析常見的錯誤為主，看起來琢磨得很細，實際上內(nèi)容之間的關聯(lián)不夠，學生賴以推理、想象、變化、遷移的底層支持沒有建立起來，一旦遇到較復雜的變式或者綜合應用類的問題，他們常常表現(xiàn)得手足無措，出現(xiàn)各種混淆與錯誤。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，要讓學生經(jīng)歷數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”的過程，發(fā)展數(shù)學思維，培養(yǎng)核心素養(yǎng)。分析本單元的教學內(nèi)容，長、正方體的圖形特征有內(nèi)在聯(lián)系，可以從“圖形的運動”視角讓學生經(jīng)歷長、正方體的產(chǎn)生過程，探究各種圖形之間的變化規(guī)律，在變與不變中實現(xiàn)二維圖形與三維圖形的轉(zhuǎn)化，并借助幾何推理進行表面積和體積計算的意義建構。針對本單元教學內(nèi)容，可從知識結(jié)構、構建方式在培養(yǎng)空間觀念和推理意識方面的作用入手，確立教學目標（如圖1）。

【教學過程】

一、以“動”為媒，建構圖形特征

以“動”為媒，讓學生經(jīng)歷長方體、正方體的產(chǎn)生過程，在觀察、想象中建立立體圖形各元素之間的關聯(lián)，發(fā)展空間觀念和推理能力。

在“長方體的認識”這個環(huán)節(jié)中，教師通過電腦演示讓學生回憶“點動成線、線動成面”的二維圖形形成過程，引發(fā)學生主動類比：面動會成體嗎？所成之體有何特征？

教學片段1：長方體特征的探究

師：結(jié)合剛才的平移，你能說說長方體的頂點數(shù)與原長方形的頂點數(shù)有怎樣的聯(lián)系嗎？面與棱呢？

（讓學生先獨立思考，再小組交流）

生：原來長方形有4個頂點，平移后終止處形成一個長方形，它也有4個頂點，4+4=8個（如圖2）。

生：平移的起始與終止處各有一個相同的長方形面，平移過程中長方形的4條邊又各自平移出了一個面，這樣就有2+4=6個面。

生：因為長方形的對邊相等，又都平移了相等的距離，所以長方體的對面是相等的（如圖3）。

生：長方體中有起始位置長方形的4條邊，也有終止位置長方形的4條邊，加上平移產(chǎn)生的4條邊，一共12條邊，叫長方體的棱。

師總結(jié)與補充：長方形4個頂點同時平移了相同的距離，方向也一致，對應頂點之間的位置關系也不變（其實就是長與寬都沒變），所以4個頂點平移的距離相等，而且表示這段距離的幾條線段還互相平行（如圖4）。

師：像這樣的互相平行的線段組還有嗎？

生：有，長方形的對邊平移之后也是平行的，且與起始位置那組對邊也平行，因此是四條平行且相等的棱。

學生用平移的方式“運動”，變長方形為長方體，直觀理解平移前后的長方形之間的關聯(lián)，從而演繹推理長方體的基本特征。

二、以“動”為媒，推導表面積與體積

基于面動成體的空間知覺，學生能對長方體的構造有深度認識，主動推導長方體的表面積和體積的計算。

教學片段2：借平移理解長方體的側(cè)面積

師：長方形通過平移形成長方體。除了平移的起始與終止兩個面，還平移出了前后左右4個面，它們分別是由誰平移得到的面呢？

（小組討論后交流）

生：由長方形的長和寬平移了高這段距離后得到4個面，并形成了前后左右的一個包圍圈。

師：這個包圍圈，我們叫長方體的側(cè)面。這個側(cè)面打開來會是什么形狀？

生：打開拉直了就是一個長方形，長是原長方形的周長，寬是垂直平移距離，就是高。

長方體體積推導也做了運動處理，先是通過大小不同的長方形等距平移后得到不同的長方體，再用等大的長方形平移不同的距離形成不同的長方體。教師引導學生進行合情推理，得出長方體體積等于長方形面積乘垂直平移距離，并組織驗證。

教學片段3：長方體體積推導過程

1.操作驗證。

生：我們擺體積單位驗證：一行擺3個小正方體，擺2行，擺1層，就可以看作是2×3的長方形向上平移1厘米，就得到了2×3×1=6立方厘米；一層擺6個小正方體，擺2層，也就是在原來一層的基礎上再向上平移1厘米，這時高是2厘米，體積是6×2=12立方厘米；高是3的時候，可以看作是大正方形向上平移3厘米了，也就是擺3層，體積是18立方厘米。以此類推，可以看出6相當于平移前原長方形的面積，平移距離就是高，那么體積就是平移圖形的面積乘平移距離（如圖5）。

2.動態(tài)驗證。

（教師動態(tài)演示“用面積單位鋪出了一個3×2的長方形”，平移面的面積是6平方厘米）

師（動態(tài)演示拉高1厘米）：現(xiàn)在是一個長方體了（長方體以體積單位組搭的形式出現(xiàn)），平移的距離是幾？體積是多少？

生：平移的距離是1厘米，體積是6立方厘米。

（接著教師用同樣的方法拉高2厘米、3厘米、5厘米，再下降至0.5厘米，并記錄了相關數(shù)據(jù)。如表1）

師：觀察這組數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：長方體的體積等于平移面的面積乘平移距離。

師：如果高變成0，它的體積是多少立方厘米？

引導學生體會，這時它沒有體積，它就是一個長方形的面。

3.代換驗證。

生：因為“長方體的體積=長×寬×高”，長×寬就是平移面長方形的面積，高是垂直平移距離，“6×4=24立方厘米”是長方體體積，即“平移面的面積乘平移距離等于長方體的體積”。

三、以“動”為媒，拓展新的思考

復習整理時，進一步引導學生運用圖形的分解、組合、平移、旋轉(zhuǎn)等運動思路來發(fā)現(xiàn)和解決新問題。

學生發(fā)現(xiàn)直柱體可以用“V=Sh”求體積，并提出新問題：“如果不是垂直平移，而是‘斜著’平移，產(chǎn)生的立體圖形的體積是怎樣計算的呢？”

教學片段4：推理斜柱體體積

師：這是一個有價值的問題，如果是“斜著”平移成一個柱體——你能判斷它們之間的體積關系嗎？

（學生討論后不能達成共識。于是教師拿出一大摞本子，先是垂直擺放，如圖6中左圖。它的體積是6×3。接著把這摞本子推斜了，學生感悟到作業(yè)本的體積沒變，如圖6中右圖）

師：如何求斜柱體的體積？

在學生小組探討無果的情況下，教師畫了一個鈍角三角形，問：它的面積是如何求的？現(xiàn)在你能聯(lián)想到斜柱體的體積可以怎么求嗎？（學生大膽類比推理出：平移面乘垂直的外高）

生：我還有另一種思考方法，可以把這個立體圖形翻轉(zhuǎn)一下，以平行四邊形作底面，這樣就變成平行四邊形垂直平移了。平行四邊形的面積正好是它的底乘高，這里的高就是原斜柱體中垂直于底面那個看不見的高。

學生對垂直平移這一限制性運動進行批判性思考，引發(fā)了新的猜想和推理，類比出斜柱體的體積計算思路。這一種創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)，讓學生在實現(xiàn)知識進階的同時實現(xiàn)了思維進階。

【教學效果】

教學實踐后，筆者作了對比測驗，參測對象為A班、B班，兩個班是相鄰兩屆五年級的學生。A班是前一屆按教材呈現(xiàn)方式進行教學的對照班，B班是按本設計進行教學的實驗班，兩個班級都由筆者執(zhí)教，測驗時間在兩學年的同期（在單元學習結(jié)束后、期末復習之前）進行，具體情況如表2。

從表1的對比中可以發(fā)現(xiàn)，以“動”為媒的教學嘗試，便于學生從圖形元素之間的關聯(lián)中實現(xiàn)結(jié)構化架構，通過圖形運動想象讓學生實現(xiàn)二維與三維的空間轉(zhuǎn)化，用動態(tài)思維來認識、比較、量化圖形，實現(xiàn)思維的進階，優(yōu)化問題解決的能力。

參考文獻：

［1］許家雄.數(shù)學的學習與理解［M］.昆明：云南大學出版社，2018．

［2］崔耀華.運動幾何學：自然科學哲學概論［M］.北京：中國社會出版社，2008．

（浙江省杭州市余杭蔚瀾學校）