高珺 石榴 邵漢民

【摘? ?要】“倍”是一個重要的數(shù)學(xué)概念，它可以表示兩個量之間的比較關(guān)系。在教學(xué)人教版教材三年級上冊“倍的認(rèn)識”時，教師可以以學(xué)生的已有知識與生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)，由“相差關(guān)系”引出“倍數(shù)關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生感知倍的認(rèn)識；再通過取球活動等例子豐富學(xué)生對“倍”的感知，從而建立“倍”的概念；最后讓學(xué)生結(jié)合鞏固拓展練習(xí)，強化倍的認(rèn)識。

【關(guān)鍵詞】主題情境；深度構(gòu)建；倍的認(rèn)識

“倍的認(rèn)識”是人教版教材三年級上冊第五單元第1課時的教學(xué)內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法與除法的含義，在日常生活中對“倍”有初步的生活化了解，這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。“倍”可以表示兩個量進(jìn)行比較時的一種關(guān)系，它與學(xué)生已學(xué)的“相差關(guān)系”既有聯(lián)系，又有本質(zhì)區(qū)別。如何創(chuàng)設(shè)真實情境，引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分“倍的關(guān)系”與“相差關(guān)系”？如何通過活動，不斷地豐富學(xué)習(xí)素材，有效揭示“倍”的本質(zhì)含義？帶著這些問題，筆者進(jìn)行了教學(xué)實踐。

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知倍的認(rèn)識

“倍”與“差”都是描述兩個量大小關(guān)系的基本方法，但兩者又有著本質(zhì)的區(qū)別。“差”是兩個量比較時去掉同樣多的部分后，描述兩個量之間多或少的部分?！氨丁眲t需要把“較小的量”看成一個整體，再描述“較大的量”中有幾個這樣的整體。教師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個不同大小的袋子，然后比較里面球數(shù)量的多少，在不斷細(xì)化比較的過程中，由“相差關(guān)系”引出“倍數(shù)關(guān)系”。

（一）直觀比較，表達(dá)差的關(guān)系

教學(xué)伊始，教師讓學(xué)生觀察掛在黑板上的兩袋球（球大小相同），一袋是黃球，一袋是紅球（如圖1）。觀察后，請學(xué)生說一說兩袋球有什么關(guān)系？學(xué)生先后回答：紅袋子里球多、黃袋子里球少；紅袋里球的數(shù)量比黃袋的多；黃袋里球的數(shù)量比紅袋的少。教師板書：紅球比黃球多。

（二）改變情境，感知倍的關(guān)系

學(xué)生通過觀察袋子的大小，推導(dǎo)出兩個袋子里球的多少關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，教師把大袋子里面的紅球分成3袋（每袋球同樣多），由圖1變?yōu)閳D2，讓學(xué)生再一次觀察，并引導(dǎo)學(xué)生思考：說一說，又發(fā)現(xiàn)了什么關(guān)系？

有學(xué)生按相差關(guān)系的思路指出“紅球比黃球多2袋”，教師板書后追問：“是怎樣發(fā)現(xiàn)的？”學(xué)生指出：紅球中去掉與黃球同樣多的1袋后，剩下的2袋就是多出來的。有學(xué)生發(fā)現(xiàn)“紅球是黃球的3倍”，教師板書后讓學(xué)生說明。學(xué)生指出：先把黃球看成“1份”，紅球有這樣的“3份”，就是“3倍”。教師依據(jù)學(xué)生的回答，在圖中分別圈一圈，然后劃分“3份”與“3倍”（如圖3），提問：“這里的‘3份’與‘3倍’意思相同嗎？”學(xué)生依據(jù)圖式，指出“3份”只是指紅球的“3袋”，而“3倍”則是指紅袋中球的個數(shù)與黃袋中球的個數(shù)之間的關(guān)系。

一般地，我們會認(rèn)為“分?jǐn)?shù)”才有表示“數(shù)量”與“關(guān)系”這兩種含義。實際上，整數(shù)與小數(shù)也同樣表示這兩種含義。上述環(huán)節(jié)，“3倍”中的“3”表示的就是一種關(guān)系。

（三）比較“差”“倍”，規(guī)范倍的表達(dá)

教師先請學(xué)生觀察圖3中的圖式與板書，進(jìn)一步指出，上一句叫作“相差關(guān)系”，下一句是“倍數(shù)關(guān)系”。接著讓學(xué)生說一說表示“相差關(guān)系”與“倍數(shù)關(guān)系”的關(guān)系句有什么區(qū)別，并引導(dǎo)學(xué)生觀察圖。從圖中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“相差關(guān)系”是找到同樣多的部分，再記錄相差的部分；“倍數(shù)關(guān)系”是先圈出“1份”與“幾份”，再記錄“（? ?; ）是（? ? ）的幾倍”。最后引導(dǎo)學(xué)生從文字中找區(qū)別，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“相差關(guān)系”用“比”連接兩個數(shù)，用“多幾袋”（或“少幾袋”）表示比較的結(jié)果；而“倍數(shù)關(guān)系”用“是”連接兩個數(shù)，用“誰是誰的幾倍”表示結(jié)果。教師在關(guān)系句中把學(xué)生找到的表示區(qū)別的字的下面加點（如圖4），并請學(xué)生齊聲朗讀，其中加點的字重讀。學(xué)生朗讀時，教師在圖3中指出相應(yīng)文字在圖式中的含義，讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合、相互表征的意義。

值得注意的是，在表示圖3中紅球與黃球的關(guān)系時，學(xué)生的回答中如果出現(xiàn)“紅球比黃球多2倍”這樣的表述，教師應(yīng)及時用副板書的形式記錄在旁邊，不做重點分析。在比較了圖4中的關(guān)系句后，教師可以追問：“那么這一句關(guān)系句表示什么關(guān)系呢？”結(jié)合圖式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這實際上是表示倍數(shù)關(guān)系，完整地說是“紅球比黃球多的是黃球的2倍”。然后，教師在相應(yīng)的位置加上點（如圖5），請學(xué)生再次齊聲朗讀圖4與圖5中的關(guān)系句，一邊朗讀一邊體會兩種關(guān)系的相同點與不同點。如果課堂中沒有出現(xiàn)這樣的關(guān)系句，就不刻意引出。

二、結(jié)合操作，深化倍的認(rèn)識

結(jié)合具體例子，由“相差關(guān)系”引入“倍數(shù)關(guān)系”，讓學(xué)生初步感知倍數(shù)關(guān)系的基本含義。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合操作活動，豐富“倍數(shù)關(guān)系”的表征，加深學(xué)生對倍的認(rèn)識。

（一）取球活動，積累活動經(jīng)驗

教師從裝黃球的袋子里面拿出1個黃球，粘貼到圖3的右邊處，并提問：“現(xiàn)在袋子里面紅球的個數(shù)還是黃球的3倍嗎？為什么？”請學(xué)生觀察后判斷，學(xué)生都認(rèn)為不是，因為現(xiàn)在每個紅袋里面球的數(shù)量與黃袋中球的數(shù)量不相等了。教師追問：“那你有什么辦法，使紅球的個數(shù)還是黃球的3倍？”有學(xué)生提出從每個紅袋中取出1個球。教師依據(jù)學(xué)生的描述從每個紅袋里面各取出1個紅球，粘貼到圖3的右邊，形成圖6的圖式。請學(xué)生觀察圖6，模仿圖4中的兩種表述方式，說一說紅球個數(shù)與黃球個數(shù)的關(guān)系。學(xué)生指出“紅球比黃球多2個”“紅球是黃球的3倍”。再請學(xué)生分別在圖式中劃一劃，劃出相差關(guān)系；圈一圈，圈出倍數(shù)關(guān)系（如圖7的左邊部分）。

接著，教師從圖3的黃袋子里面取出2個球，粘貼到圖6板書的右邊，提問：“這時紅球還是黃球的3倍嗎？如果不是，怎樣取球可以保證紅球還是黃球的3倍？”按上一次取球的經(jīng)驗，學(xué)生回答，教師操作，最后觀察并說明取出的球的關(guān)系，得到如圖7的右邊部分。

（二）觀察圖式，發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律

兩次取球活動，學(xué)生經(jīng)歷兩次從不是3倍關(guān)系到成為3倍關(guān)系，又從取出的球中進(jìn)行了兩次紅球個數(shù)與黃球個數(shù)的比較，積累了發(fā)現(xiàn)“倍數(shù)關(guān)系”特征的素材。

教師請學(xué)生觀察圖3和圖7中的三組關(guān)系句，提問：“說一說有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生比較后發(fā)現(xiàn)，這三個圖式中“多的數(shù)”在變化，但是“倍數(shù)”卻是相同的。順著學(xué)生對規(guī)律的表達(dá)，教師板貼圖8的色條圖，追問：“是不是可以用這樣的圖式表示‘紅球是黃球的3倍’呢？為什么？”學(xué)生通過思考，認(rèn)為可以用這樣的圖式表示，因為從圖中可以知道，黃球是1份，紅球有這樣的3份，就是“3倍”。

由具體的“袋”到直觀的“個”，再到抽象的色條，讓學(xué)生逐步認(rèn)識“倍”是兩個數(shù)之間進(jìn)行“份”的比較。

（三）適度提煉，深化倍的認(rèn)識

在前面的學(xué)習(xí)過程中，教師圍繞兩種球數(shù)量的比較，由“相差關(guān)系”引出“倍數(shù)關(guān)系”，讓學(xué)生在由具體的“3倍”轉(zhuǎn)向抽象的“3倍”的認(rèn)識過程中，加深對“倍”的認(rèn)識。在此基礎(chǔ)上，再通過圖8中表示紅球與黃球的色條長短的變化，引導(dǎo)學(xué)生說一說紅球個數(shù)與黃球個數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)一步深化他們對倍的認(rèn)識。

教師依次出示圖9中的色條圖，讓學(xué)生說一說，這幾個色條各表示“紅球個數(shù)是黃球的幾倍”。在學(xué)生回答后，要求學(xué)生想一想，為什么紅球的個數(shù)不變，但是紅球個數(shù)與黃球個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系卻不相同？學(xué)生比較討論后發(fā)現(xiàn)，是因為比較的標(biāo)準(zhǔn)量不同，所以會有不一樣的倍數(shù)關(guān)系，并特別指出“1倍”表示兩個數(shù)相等，從而認(rèn)識到“倍”不僅僅表示“較大數(shù)”與“較小數(shù)”的關(guān)系，還可以表示兩個數(shù)的相等關(guān)系。

“倍”既是一個數(shù)學(xué)概念，也是一個日常用詞，學(xué)生對倍有一定的生活經(jīng)驗?；诖?，教師讓學(xué)生結(jié)合實例認(rèn)識倍，再豐富例子，逐步揭示倍的本質(zhì)，以及表示倍的基本思路。

三、鞏固拓展，強化倍的認(rèn)識

本節(jié)課學(xué)習(xí)的“倍”是結(jié)合具體圖式，在乘法意義的背景下學(xué)習(xí)的。下面的鞏固與拓展環(huán)節(jié)，采用結(jié)合具體圖式或自主畫圖表征等策略，強化學(xué)生對倍的認(rèn)識。

（一）邊圈邊填，鞏固倍的內(nèi)涵

教師出示圖10的習(xí)題，先讓學(xué)生按要求獨立完成，再展示學(xué)生的典型作品。前兩小題都是把3個蘋果看成“標(biāo)準(zhǔn)”，即1份，那么桃子的個數(shù)有這樣的2份，也就是“2個3”，所以“桃子的個數(shù)是蘋果的2倍”。同理，梨的個數(shù)有這樣的6份，也就是“6個3”，所以“梨子的個數(shù)是蘋果的6倍”。這里把“幾倍”和“幾個幾”建立聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生體會“倍”是“幾個幾”的乘法含義的延伸。第三小題讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)圖中存在的倍數(shù)關(guān)系，學(xué)生通過有序思考能發(fā)現(xiàn)梨和桃子之間也有倍數(shù)關(guān)系，即梨的個數(shù)是桃子的3倍。練習(xí)后，引導(dǎo)學(xué)生比較，為什么同樣都是18個梨，有時候是3倍關(guān)系，而有時候卻是6倍關(guān)系？再一次讓學(xué)生感受“標(biāo)準(zhǔn)”的變化會引起倍數(shù)的變化。

（二）邊畫邊比，拓展倍的外延

在結(jié)合圖式與操作認(rèn)識倍的過程中，學(xué)生已經(jīng)有了一定的構(gòu)建倍的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，即把較小的一個數(shù)看成“1份”，較大的一個數(shù)有這樣的幾份，就是較大的數(shù)是較小數(shù)的幾倍。依據(jù)這樣的經(jīng)驗，讓學(xué)生按要求自主操作，創(chuàng)造“倍”。

教師出示圖11，先請學(xué)生按要求想一想：畫出一個怎樣的倍數(shù)關(guān)系；接著畫一畫：畫出想好的倍數(shù)關(guān)系；然后把這一種倍數(shù)關(guān)系填入關(guān)系句。獨立完成后，再在四人小組中說一說。

最后分類展示學(xué)生的作品，并進(jìn)行評析。第一類，以4個△為標(biāo)準(zhǔn)，得出“○的個數(shù)是△的幾倍”，這時的倍數(shù)關(guān)系沒有限制，可以是1倍、2倍、3倍……第二類，以學(xué)生自己畫的○為標(biāo)準(zhǔn)，得出“△的個數(shù)是○的幾倍”，這時存在1倍、2倍和4倍的關(guān)系。

（三）邊數(shù)邊思，拓寬倍的應(yīng)用

“周長”與“面積”是學(xué)生需要學(xué)習(xí)的兩個重要的圖形測量的概念。教師借助圖12，要求學(xué)生結(jié)合對具體圖形的觀察，發(fā)現(xiàn)兩個圖形共同的數(shù)學(xué)特征，并用倍進(jìn)行表達(dá)，為后續(xù)學(xué)習(xí)這兩個概念做適當(dāng)?shù)匿亯|。

教師出示圖12，提問：“說一說這兩個圖形有什么共同的地方？”學(xué)生指出，都是用小棒圍成的正方形。教師追問：“又有什么不同的地方？”學(xué)生指出，用的小棒的根數(shù)不同，圍成的圖形的大小不同。教師進(jìn)一步提出要求：請用“倍”分別描述它們的不同點。

用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表達(dá)中的“三會”之一?！氨兜恼J(rèn)識”的價值就是可以幫助學(xué)生辨別兩個事物某一特征之間的區(qū)別與聯(lián)系。

本節(jié)課的教學(xué)啟示我們：課堂中數(shù)學(xué)新知的學(xué)習(xí)從來都不是“全新”的，它總是與已有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗相聯(lián)系。因此，教師需要尋找到新知與舊知、數(shù)學(xué)與生活之間的連接點，選擇合適的學(xué)習(xí)材料，創(chuàng)設(shè)有利于凸顯連接點的問題情境，讓學(xué)生在觀察、思考與表達(dá)的過程中，獲得數(shù)學(xué)新知，提升學(xué)習(xí)能力。

（1.浙江省杭州市長青小學(xué)2.浙江省杭州市安吉路教育集團(tuán)新天地實驗學(xué)校3.浙江省杭州市蕭山區(qū)所前鎮(zhèn)第二小學(xué)）