李 飛,楊 銳,閔昌萬,張廣勇,呂 艷,郜義蒙

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所,北京 100076)

20世紀(jì)90年代,美國軌道公司設(shè)計(jì)并完成了世界上首款空射運(yùn)載火箭“飛馬座”,該型火箭先后完成了42次發(fā)射任務(wù),大幅降低了衛(wèi)星發(fā)射成本[1]。近年來,科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和大型運(yùn)輸機(jī)運(yùn)載能力的不斷提升,為新一代空射運(yùn)載火箭的出現(xiàn)提供了必要的物質(zhì)和技術(shù)條件。英國“維珍”航空公司設(shè)計(jì)研制了“LauncherOne”空射運(yùn)載火箭,充分利用了空基發(fā)射靈活機(jī)動(dòng)、效費(fèi)比高等優(yōu)勢進(jìn)行商業(yè)發(fā)射[2-4]。但空基發(fā)射特有的亞聲速、水平投放方式導(dǎo)致空射運(yùn)載火箭軌跡設(shè)計(jì)具有以下難點(diǎn)：①空射火箭點(diǎn)火后大攻角拉起段一般處于稠密大氣層[5],火箭截面載荷驟增,為了承受火箭飛行過程中巨大的彎矩需要對其局部進(jìn)行結(jié)構(gòu)加強(qiáng),不合理的攻角拉起樣式將產(chǎn)生過大的截面彎矩,付出較大的結(jié)構(gòu)質(zhì)量代價(jià),進(jìn)而影響運(yùn)載能力。②有人駕駛載機(jī)進(jìn)行空射運(yùn)載火箭投放時(shí)必須重點(diǎn)關(guān)注載機(jī)安全性,在滿足火箭設(shè)計(jì)約束的前提下盡可能使火箭點(diǎn)火后的軌跡遠(yuǎn)離載機(jī),避免火箭尾焰對載機(jī)產(chǎn)生干擾,過大的安全距離同樣會(huì)犧牲火箭運(yùn)載能力。

空射運(yùn)載火箭研制難度大、技術(shù)風(fēng)險(xiǎn)高,國內(nèi)外科研機(jī)構(gòu)對空射運(yùn)載火箭進(jìn)行了大量的研究。楊明等[6]針對空射近空間飛行器軌跡規(guī)劃問題,結(jié)合各飛行段特點(diǎn),建立了多段參數(shù)化軌跡優(yōu)化模型,利用粒子群優(yōu)化算法獲得了多約束條件下的上升段軌跡;茹家欣[7]將空射運(yùn)載火箭的助推段彈道設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為攻角、俯仰角、時(shí)間等變量的設(shè)計(jì),通過參數(shù)優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)滿足衛(wèi)星入軌條件的最優(yōu)軌跡設(shè)計(jì);高云逸等[8]分析了空射運(yùn)載火箭點(diǎn)火姿態(tài)對運(yùn)載能力的影響規(guī)律,得到了傾斜點(diǎn)火方案既能避免大攻角飛行造成的載荷問題,又能提高火箭運(yùn)載能力的設(shè)計(jì)規(guī)律。聶川義等[9]通過序列二次規(guī)劃方法對飛行程序角進(jìn)行優(yōu)化,實(shí)現(xiàn)了對確定優(yōu)化目標(biāo)的軌跡快速生成。這些相關(guān)研究在火箭上升段軌跡優(yōu)化中考慮了過載、動(dòng)壓等因素,但對于受載機(jī)穿越距離、最大載荷約束下的最優(yōu)軌跡設(shè)計(jì)鮮有介紹。為此,本文提出了一種空射運(yùn)載火箭軌跡/載荷/穿越距離優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,從軌跡設(shè)計(jì)頂層對穿越距離、載荷進(jìn)行約束,解決三者間強(qiáng)約束、強(qiáng)耦合問題,為未來空射運(yùn)載火箭研究提供參考。

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程

考慮地球?yàn)椴恍D(zhuǎn)圓球模型,在半速度坐標(biāo)系下建立空射運(yùn)載火箭質(zhì)心動(dòng)力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

(1)

式中：r為地心矢徑,φ為地心緯度,λ為經(jīng)度,v為飛行速度,θ為彈道傾角,σ為彈道偏角,FP為發(fā)動(dòng)機(jī)推力,α為攻角,υ為傾側(cè)角,G為引力常量,FL為升力,FD為阻力。

(2)

式中：Sref為氣動(dòng)參考面積;CD,CL分別為阻力系數(shù)和升力系數(shù);ρ為大氣密度。其中大氣密度ρ按下式計(jì)算：ρ=ρ0e-h/h0。式中：ρ0為地面大氣密度,取1.225 kg/m3;h為飛行高度;h0為參考常量,取7 110 m。

1.2 穿越距離模型

空射運(yùn)載火箭投放后先自由下落,隨后發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火進(jìn)行軌跡拉起,火箭軌跡拉起后應(yīng)與載機(jī)拉開足夠的距離,從而保證載機(jī)安全。假設(shè)載機(jī)投放后按投放高度以勻速直線運(yùn)動(dòng)沿初始航線繼續(xù)飛行,穿越距離定義為火箭與載機(jī)飛行高度達(dá)到同一高度時(shí)的相對距離Δs,如式(3)所示。由于火箭后續(xù)飛行將快速遠(yuǎn)離載機(jī),因此當(dāng)火箭穿越載機(jī)后穿越距離不再作為火箭后續(xù)飛行軌跡設(shè)計(jì)約束。

(3)

式中：sv為火箭飛行絕對距離;sp為載機(jī)飛行絕對距離;H0,φ0,λ0,v0分別為火箭投放時(shí)刻高度、緯度、經(jīng)度、速度;Rm為地球平均半徑。

1.3 載荷計(jì)算模型

空射運(yùn)載火箭特有的大攻角拉起模式會(huì)引起載荷大幅增加,保證火箭運(yùn)載能力的前提下降低火箭最大飛行載荷是空射火箭軌跡設(shè)計(jì)的主要任務(wù)之一。載荷計(jì)算中一般考慮各截面的剪力和彎矩兩項(xiàng),針對空射運(yùn)載火箭,截面彎矩一般構(gòu)成主要設(shè)計(jì)約束。本文研究中根據(jù)參考文獻(xiàn)[10]中的截面彎矩計(jì)算公式,忽略箭體轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度與角速度影響,形成火箭各截面彎矩計(jì)算公式：

式中：i為參考截面,i=1,2,…,K,K為參考截面的數(shù)量;n為分站點(diǎn);Mi為第i截面彎矩;q為飛行動(dòng)壓;CN,n為第n站法向力系數(shù);xN,n為第n站法向力作用點(diǎn);mn為第n站分站質(zhì)量;g為標(biāo)準(zhǔn)重力加速度;xg為質(zhì)心位置;ny為法向過載;ε為角加速度,靜態(tài)分析時(shí)置零;xm,n為第n站質(zhì)心位置;FR為發(fā)動(dòng)機(jī)操縱力;xR為發(fā)動(dòng)機(jī)操縱力作用點(diǎn);J為繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。Δ(I)為單位階躍函數(shù),I<0,Δ(I)=0;I≥0,Δ(I)=1。

2 軌跡優(yōu)化

近年來,國內(nèi)外諸多學(xué)者對軌跡優(yōu)化方法進(jìn)行了深入研究,例如凸優(yōu)化方法[11-12]、遺傳算法[13]、偽譜法、序列二次規(guī)劃法[14]等,其中偽譜法技術(shù)成熟,被廣泛應(yīng)用于火箭總體/彈道一體化優(yōu)化、臨近空間可變性飛行器軌跡優(yōu)化等方面[15-16],Gauss偽譜方法(GPM)是一種基于全局插值多項(xiàng)式的直接配點(diǎn)法,它相對于一般直接配點(diǎn)法的優(yōu)勢是可以用較少的節(jié)點(diǎn)獲得較高的精度,成為直接方法求解最優(yōu)控制問題中的典型代表。本文利用Gauss偽譜法對空射運(yùn)載火箭軌跡/載荷/穿越距離進(jìn)行優(yōu)化。

1)目標(biāo)函數(shù)。

空射運(yùn)載火箭上升段軌跡優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)一般為運(yùn)載質(zhì)量最大。由于空射火箭大多采用固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī),起飛質(zhì)量一定,因此火箭運(yùn)載能力可以通過相同終端條件下交班速度進(jìn)行衡量,交班速度越大,運(yùn)載能力越強(qiáng)。即：J=-vf。

2)狀態(tài)量。

3)控制量。

4)終端約束。

空射運(yùn)載火箭終端約束可設(shè)為交班高度Hf、交班傾角θf,如下所示：H=Hf,θ=θf。

5)過程約束。

過程約束主要包含動(dòng)壓約束、法向過載約束、熱流約束、穿越距離約束以及載荷約束?？丈溥\(yùn)載火箭最大載荷分縱向最大載荷與側(cè)向最大載荷,其中縱向最大載荷與動(dòng)壓和攻角的乘積相關(guān),也可認(rèn)為是與法向過載相關(guān),側(cè)向最大載荷則主要受最大動(dòng)壓影響。

①動(dòng)壓約束。q≤qmax,式中：q=ρv2/2。

②法向過載約束。空射運(yùn)載火箭法向過載約束一般產(chǎn)生在大攻角拉起段,此時(shí),Ny≤Ny,max,式中：Ny=(FLcosα+FDsinα)/m。

③穿越距離約束。為了保證載機(jī)安全,空射運(yùn)載火箭穿越距離應(yīng)大于約束值,即Δs≥Δsmin。

④載荷約束。一般情況下,火箭質(zhì)心位置為箭體載荷最大點(diǎn),因此近似以火箭質(zhì)心位置縱向彎矩Mz約束火箭箭體最大載荷：Mz≤Mz,max。

3 仿真與分析

目前空射運(yùn)載火箭總體布局分2種：一是以“飛馬座”為代表的帶三角翼設(shè)計(jì)方案,利用三角翼為一級拉起提供足夠大的升力,但三角翼會(huì)帶來氣動(dòng)阻力增加、結(jié)構(gòu)質(zhì)量增大,降低運(yùn)載能力;二是以“LauncherOne”為代表的無翼設(shè)計(jì)方案,采用旋成體+“X”字形舵布局形式。本文以類“LauncherOne”兩級固體空射運(yùn)載火箭為研究對象,火箭以水平方式進(jìn)行投放,最大可用攻角不大于25°?；鸺斗鸥叨冗x用波音747飛機(jī)巡航高度12 km,投放速度為Ma=0.8。一般情況下認(rèn)為火箭質(zhì)心與載機(jī)質(zhì)心位置大于2 km以上時(shí)火箭尾焰對載機(jī)影響幾乎可忽略,火箭的載荷受法向過載、動(dòng)壓、攻角三重因素影響,可根據(jù)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求反算最大設(shè)計(jì)載荷,再根據(jù)火箭的最大可用攻角規(guī)劃出法向過載可使用區(qū)間,以某空射運(yùn)載火箭為例,得到軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)約束如表1所示。

表1 設(shè)計(jì)約束Table 1 Design constraints

3.1 算法驗(yàn)證

基于本文提出的空射運(yùn)載火箭軌跡/載荷/穿越距離優(yōu)化設(shè)計(jì)方法開展仿真分析,驗(yàn)證優(yōu)化算法對不同交班條件下的適應(yīng)性?？丈溥\(yùn)載火箭一般由運(yùn)輸機(jī)水平投放,飛機(jī)可根據(jù)飛行條件自由選擇投放高度,火箭的交班條件也可根據(jù)運(yùn)載要求在近空間范圍內(nèi)選擇,因此本文針對不同投放高度、交班高度、穿越距離下算法的適應(yīng)性進(jìn)行驗(yàn)證,覆蓋空射火箭的使用剖面,仿真條件如表2所示。

表2 不同條件下仿真算例Table 2 Simulation examples

優(yōu)化得到空射運(yùn)載火箭典型軌跡參數(shù)曲線如圖1～圖4所示,穿越距離如表3所示。

圖1 高度-航程曲線Fig.1 Height-range curve

圖2 速度-時(shí)間曲線Fig.2 Velocity-time curve

圖3 攻角-時(shí)間曲線Fig.3 Attack angle-time curve

圖4 彎矩-時(shí)間曲線Fig.4 Bending moment-time curve

表3 穿越距離Table 3 Crossing distance

由以上仿真結(jié)果可知,對于空射火箭不同的使用剖面,本文提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可實(shí)現(xiàn)在滿足載荷、穿越距離約束下的軌跡優(yōu)化,優(yōu)化結(jié)果中各項(xiàng)指標(biāo)均不超過設(shè)計(jì)約束,優(yōu)化結(jié)果與預(yù)期相符,驗(yàn)證了算法的有效性及參數(shù)適應(yīng)性。進(jìn)一步分析可知,從能量最優(yōu)角度考慮,不同發(fā)射條件下空射運(yùn)載火箭最優(yōu)軌跡對應(yīng)一級最大飛行攻角趨于攻角最大約束上界,穿越距離趨于約束下界。

3.2 參數(shù)影響分析

空射運(yùn)載火箭軌跡設(shè)計(jì)的難點(diǎn)是在滿足各項(xiàng)設(shè)計(jì)約束的前提下實(shí)現(xiàn)減載、提升運(yùn)載能力,其軌跡設(shè)計(jì)主要受使用條件、設(shè)計(jì)約束、設(shè)計(jì)參數(shù)影響。本節(jié)采用3.1節(jié)的方法對空射運(yùn)載火箭設(shè)計(jì)中的典型因素進(jìn)行分析,為提升火箭總體性能提供優(yōu)化方向。

空射運(yùn)載火箭軌跡設(shè)計(jì)受發(fā)射剖面的影響,空射火箭是在一定高度、速度域內(nèi)發(fā)射,一般情況下火箭發(fā)射高度越高,大氣密度越稀薄,火箭飛行過程中的速度阻力損失越小,火箭最大載荷越小,因此希望火箭能夠在較高高度處進(jìn)行投放,充分發(fā)揮空射火箭的優(yōu)勢。

空射運(yùn)載火箭軌跡設(shè)計(jì)常受載機(jī)運(yùn)載能力和安全性的限制,其穿越距離約束直接影響火箭軌跡設(shè)計(jì),進(jìn)而影響火箭運(yùn)載能力與最大設(shè)計(jì)載荷,是整個(gè)空射運(yùn)載火箭設(shè)計(jì)的頂層輸入?？丈溥\(yùn)載火箭軌跡設(shè)計(jì)本質(zhì)是程序角設(shè)計(jì),程序角設(shè)計(jì)的優(yōu)劣決定了火箭性能的好與壞。綜合以上兩方面空射運(yùn)載火箭穿越距離設(shè)計(jì)決定了火箭軌跡設(shè)計(jì)的可行區(qū)間,程序角設(shè)計(jì)則決定了火箭在可行區(qū)間內(nèi)的總體性能。下面針對穿越距離與最大攻角進(jìn)行分析,闡述兩者對火箭性能的影響。

①穿越距離影響。一般而言,可近似認(rèn)為穿越距離越大,火箭點(diǎn)火后對載機(jī)威脅越小。圖5和圖6給出了不同穿越距離對火箭載荷的影響。

圖5 高度-穿越距離曲線Fig.5 Height-crossing distance curve

圖6 最大彎矩-穿越距離曲線Fig.6 Maxmun bending moment-crossing distance curve

由仿真結(jié)果可知,火箭穿越距離增加后,載荷顯著增大。這是由于火箭為了滿足穿越距離要求,需要較長時(shí)間在載機(jī)下方飛行,載機(jī)所處空域大氣密度較大,隨著火箭不斷加速,加之大攻角彈道拉起動(dòng)作,導(dǎo)致載荷顯著增大。載荷增加后,為了保證火箭完整性,必須對結(jié)構(gòu)進(jìn)行加強(qiáng),進(jìn)而使火箭性能下降,由此可見穿越距離是影響空射火箭軌跡設(shè)計(jì)的重要因素。

②最大攻角影響。空射運(yùn)載火箭點(diǎn)火后需要以大攻角快速拉起,受載機(jī)巡航速度影響,火箭大攻角飛行階段一般處于亞聲速,大攻角飛行帶來姿控設(shè)計(jì)難度,圖7～圖10給出了不同最大攻角對火箭性能的影響。

圖7 攻角-時(shí)間曲線Fig.7 Attack angle-time curve

圖8 不同最大攻角下高度-穿越距離曲線Fig.8 Height-crossing distance in different maximum attack angle curve

圖9 末速-最大攻角曲線Fig.9 Terminal velocity-maxmum attack angle curve

圖10 最大彎矩-最大攻角曲線Fig.10 Maxmum bending moment-maxmum attack angle curve

由仿真結(jié)果可知,在一定范圍內(nèi),火箭最大攻角越大,穿越距離越小,最大載荷越小,運(yùn)載能力越高。提高火箭最大攻角可使火箭快速穿越稠密大氣,降低阻力損失,對載荷及運(yùn)載能力是有利的?？丈溥\(yùn)載火箭最大飛行攻角是穿越距離、姿控能力、火箭性能三者之間的權(quán)衡,在滿足前兩者要求的前提下提高最大攻角可有效提升火箭運(yùn)載能力。

4 結(jié)束語

本文針對空射運(yùn)載火箭面臨的載荷、穿越距離問題,推導(dǎo)了機(jī)箭穿越距離模型,并利用該模型提出了軌跡/載荷/穿越距離優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,該方法能夠快速獲取滿足各項(xiàng)約束條件的最優(yōu)能量軌跡。同時(shí)本文對空射運(yùn)載火箭中典型設(shè)計(jì)參數(shù)對火箭性能的影響進(jìn)行了詳細(xì)分析。由仿真結(jié)果可知,火箭在姿控能力允許的范圍內(nèi)以大攻角進(jìn)行拉起、縮短穿越距離(需滿足載機(jī)安全性要求)、提高投放高度對空射運(yùn)載火箭降低最大飛行載荷以及總體性能的提升有利,為未來空射運(yùn)載火箭研制提供優(yōu)化方向。