臧洪升

數(shù)學(xué)模型意識(shí)就是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，能夠?qū)?shí)際問題抽象出來，建立數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)方法解決。培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中提及，模型意識(shí)是小學(xué)階段的核心素養(yǎng)之一。在小學(xué)階段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識(shí)尤為重要，因?yàn)檫@是他們逐漸形成數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵時(shí)期。但在實(shí)際教學(xué)過程中，由于數(shù)學(xué)模型的抽象性，教師往往更關(guān)注學(xué)生運(yùn)用模型的能力，忽視了對模型形成過程的探究，導(dǎo)致學(xué)生對模型的理解往往停留于表面。本文以青島版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊的“比例”一課為案例，探討如何通過基于案例的教學(xué)方法培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識(shí)。

一、借助生活情景，引入模型

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。去超市購物是我們?nèi)粘Ｉ钪械膶こＪ虑椋ㄟ^去超市購物這一生活情景激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)為本節(jié)課做了鋪墊。

教學(xué)片段1：

師：同學(xué)們，你們經(jīng)常跟著爸爸媽媽逛超市嗎？

生：經(jīng)常去。

師：同學(xué)們，爸爸媽媽去超市買菜，你們有沒有發(fā)現(xiàn)不同商品的價(jià)格和數(shù)量常常不同嗎？例如，2 千克西紅柿的價(jià)格是6 元，4 千克蕓豆的價(jià)格是12 元?，F(xiàn)在的問題是：你能幫助爸爸媽媽計(jì)算出哪種蔬菜便宜嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：通過引入實(shí)際購物案例，激發(fā)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)他們思考比例的概念。此案例旨在啟發(fā)學(xué)生對比例問題的初步認(rèn)識(shí)，將數(shù)學(xué)與日常生活聯(lián)系起來，從而引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。）

教學(xué)片段2：

師：現(xiàn)在，你能幫助爸爸媽媽計(jì)算出每千克西紅柿和蕓豆各多少錢嗎？請用算式表示出來。

生：6÷2=3（元）12÷4=3（元）

師：非常好，你用了一個(gè)算式來表示各種蔬菜的單價(jià)?，F(xiàn)在，我們將這個(gè)算式用等式連接一下：6÷2=12÷4。

引導(dǎo)學(xué)生觀察，告訴學(xué)生像這樣的式子（6÷2=12÷4）就是比例。

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生初步感知比例模型的雛形，像這樣的式子〈6÷2=12÷4〉就是比例。這一過程有助于他們建立起對比例數(shù)學(xué)模型的感性認(rèn)識(shí)。）

二、探究問題，構(gòu)建模型

教學(xué)片段3：

師：數(shù)學(xué)課本長30 厘米，寬20 厘米；教室里的課桌長90 厘米，寬60 厘米。長和寬的比值相等嗎？小組合作探究。

生1：30÷20=1.5，90÷60=1.5，比值相等。

生2：90÷60=1.5，30÷20=1.5，比值相等。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)讓學(xué)生先觀察，計(jì)算課本和課桌長、寬的比值，在分析思考后用自己的話說一說什么是比例，通過討論交流提高學(xué)生的自主探索能力，并注重對學(xué)生語言概括能力的培養(yǎng)。學(xué)生通過計(jì)算化簡比〈90∶60=3∶2，30∶20=3∶2〉判斷兩個(gè)比能否組成比例，怎樣用含字母的式子表達(dá)?！碼∶b=c∶d〉從而建立模型。）

教學(xué)片段4：

師：什么是比例？你能舉出幾個(gè)比例的例子嗎？

生1：比值相等的兩個(gè)比能組成比例。

生2：80∶40 和0.8∶0.4。

生3：0.2∶0.3 和0.6∶0.9。

師：小組合作探討什么樣的兩個(gè)比能組成比例。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)讓學(xué)生進(jìn)行觀察與比較、分析與綜合、抽象與概括，從而提煉出比例的意義數(shù)學(xué)模型中所蘊(yùn)含的結(jié)構(gòu)性關(guān)系，并運(yùn)用關(guān)系式刻畫出這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例，從而建立a∶b=c∶d 的基本模型。）

三、鞏固提高，驗(yàn)證模型教學(xué)片段5：

師：下面三組相對應(yīng)的兩個(gè)量的比能否組成比例？如果能，請把組成的比例寫出來。

（1）李明12 歲，體重28 千克

王剛14 歲，體重35 千克

（2）2 箱蘋果質(zhì)量30 千克

4 箱橘子質(zhì)量60 千克

（3）小汽車2 小時(shí)行駛160 千米

客車3 小時(shí)行駛240 千米

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生先獨(dú)立思考，再進(jìn)行小組交流，針對不同的數(shù)組寫出的比例可能不同，教師應(yīng)充分發(fā)揮交流的作用，讓每個(gè)學(xué)生的思考都變成有效的教學(xué)因素，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的理解認(rèn)知，并進(jìn)一步驗(yàn)證模型。）

教學(xué)片段6：

師：今年2 月份我市晴天和陰天的天數(shù)比是3∶4，去年2 月份，我市有12 天是晴天，16 天是陰天，去年和今年2 月份晴天和陰天天數(shù)之比是否可以組成比例？

（設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生理解題意，學(xué)生小組合作探究，3∶4 和12 天∶16 天能夠組成比例，這一過程使學(xué)生能對數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步驗(yàn)證。最后的練習(xí)設(shè)計(jì)是對數(shù)學(xué)模型的拓展，使學(xué)生更加熟練地應(yīng)用模型。）

教學(xué)片段7：

動(dòng)腦筋：下面的（）里應(yīng)該填幾？

1.5 ∶3=（）∶42

12∶（）=（）∶5

在比例2∶0.3=20∶3 中，如果第一項(xiàng)加上4，要使比例仍然成立，第三項(xiàng)應(yīng)加上（）。

學(xué)生充分討論，分析后匯報(bào)結(jié)果。

（設(shè)計(jì)意圖：此題目的是讓數(shù)學(xué)模型成為學(xué)生心中靈活應(yīng)用的工具，在分析研究和解決實(shí)際問題時(shí)，靈活地發(fā)揮作用。本節(jié)課我力求不只是簡單地復(fù)述和模仿，而是通過數(shù)學(xué)建模的方式，讓學(xué)生自己分析、思考、歸納出數(shù)學(xué)模型：a∶b=c∶d，并從正反兩方面進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型。）

總之，數(shù)學(xué)建模就是學(xué)生通過在腦中建立數(shù)學(xué)模型，靈活地解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)課堂應(yīng)圍繞建模展開，可使學(xué)生快速掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容。

四、拓展思考，應(yīng)用模型

教學(xué)片段8：

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何使用比例來解決問題?，F(xiàn)在，讓我們思考一下，比例在生活中還有哪些應(yīng)用呢？

生1：比例可以用來計(jì)算食譜中的食材比例，如做蛋糕時(shí)需要多少面粉和糖。

生2：比例還可以用來計(jì)算地圖上的距離，幫助我們找到最短的路線。

師：非常好，你們舉了一些很好的例子。比例在生活中無處不在，它幫助我們解決各種各樣的問題，從烹飪到導(dǎo)航都離不開比例的運(yùn)用。

（設(shè)計(jì)意圖：通過拓展思考，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到比例的廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步強(qiáng)化他們對比例概念的理解。這也有助于學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活聯(lián)系起來，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)模型意識(shí)。）

教學(xué)片段9：

師：同學(xué)們，我們來看一道與比例有關(guān)的題目。在烹調(diào)中需要遵循食譜中的比例來準(zhǔn)確地加入配料。例如，食譜中要求將糖和面粉的比例設(shè)置為2∶3，王剛的媽媽現(xiàn)在準(zhǔn)備了10 斤糖，15 斤面粉可以嗎？

生：10∶15=（10÷5）∶（15÷5）=2∶3，王剛的媽媽配料合適。

師：非常好，你用比例的方法解決了這個(gè)問題。你是如何計(jì)算的？

生：我首先計(jì)算出10 斤糖平均分成5 份，15 斤面粉平均分成5 份，然后將它們作比較。

（設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)問題，學(xué)生可以運(yùn)用比例的概念來解決日常生活中的實(shí)際問題。這有助于學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題相聯(lián)系，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)建模意識(shí)。）

教學(xué)片段10：

師：現(xiàn)在，我們來考慮一個(gè)生活中的問題。同一個(gè)小區(qū)的張大媽家上個(gè)月用了8 噸水，水費(fèi)是24元；李奶奶家上個(gè)月用了10 噸水，李奶奶家上個(gè)月的水費(fèi)是多少錢？讀題后請思考：你能列出等式，進(jìn)而解出這道題嗎？

生：我知道了！因?yàn)樗畠r(jià)是相同的，所以水費(fèi)和用水的噸數(shù)成正比例，也就是說，兩家的水費(fèi)和用水的噸數(shù)的比值是相等的，所以24∶8=x∶10。

師：很好，你用比例的方法解決了這個(gè)問題。

（設(shè)計(jì)意圖：通過水費(fèi)和用水噸數(shù)的比值一定，學(xué)生可以進(jìn)一步練習(xí)使用比例來解決類似的問題。這有助于他們增強(qiáng)比例的模型意識(shí)，并提高問題解決能力。）

教學(xué)片段11：

師：現(xiàn)在，讓我們來探討一個(gè)關(guān)于食材的問題。假設(shè)在一家餐館里，一大份沙拉包括2 個(gè)西紅柿、3片黃瓜和1 份生菜。而一小份沙拉包括1 個(gè)西紅柿、2 片黃瓜和半份生菜。如果我們想知道大份沙拉和小份沙拉中各種食材的比例是多少，你們會(huì)怎么做？

生：我可以用比例來表示各種食材的數(shù)量。大份沙拉中，西紅柿的數(shù)量是2，黃瓜的數(shù)量是3，生菜的數(shù)量是1。所以，比例可以表示為2∶3∶1。對于小份沙拉，西紅柿的數(shù)量是1，黃瓜的數(shù)量是2，生菜的數(shù)量是0.5。比例可以表示為1∶2∶0.5。

師：非常好！你用比例的方式清晰地表示了大份沙拉和小份沙拉中各種食材的數(shù)量。這是一個(gè)很好的例子，展示了比例在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

（設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)食材比例問題，學(xué)生能夠運(yùn)用比例的概念來表示不同食材的數(shù)量，并表示兩種不同大小的沙拉的成分比例。這有助于學(xué)生將數(shù)學(xué)概念與實(shí)際情境聯(lián)系起來，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)模型意識(shí)。）

教學(xué)片段12：

師：現(xiàn)在，讓我們考慮一下比例的放縮問題。如果一小份的沙拉中，西紅柿的數(shù)量是1，黃瓜的數(shù)量是2，生菜的數(shù)量是0.5，而我們想要制作一大份的沙拉，按照相同的比例，你們知道應(yīng)該放多少食材嗎？

生：我明白了！如果我們要制作一份大份的沙拉，就要按照相同的比例放更多的食材。所以，西紅柿應(yīng)該放2 份，黃瓜應(yīng)該放4 份，生菜應(yīng)該放1 份。

師：非常棒，你正確地運(yùn)用了比例的放縮原理。這是一個(gè)很好的示例，說明了比例在放縮問題中的應(yīng)用。

（設(shè)計(jì)意圖：通過放縮問題，學(xué)生可以練習(xí)使用比例來確定不同大小的沙拉中各種食材的數(shù)量。這有助于他們鞏固比例的概念，并將其應(yīng)用于解決實(shí)際問題中。）

教學(xué)片段13：

師：好，現(xiàn)在讓我們來解決一個(gè)實(shí)際問題。假設(shè)我們要制作10 個(gè)相同尺寸的禮品盒，每個(gè)盒子的長度為15 厘米，寬度為10 厘米。如果我告訴你們用同樣多的材料要制作20 個(gè)相同尺寸的禮品盒，你們能告訴我它們的尺寸嗎？

生：我們可以用比例來解決這個(gè)問題。每個(gè)盒子的長度和寬度都減半，所以新的盒子尺寸是7.5 厘米×5 厘米。

（設(shè)計(jì)意圖：通過進(jìn)一步的問題引導(dǎo)，學(xué)生開始意識(shí)到比例關(guān)系的普遍性。他們開始從具體的案例中抽象出比例的概念，了解比例的靈活運(yùn)用，從而形成模型意識(shí)。）

通過以上教學(xué)片段，我們可以看到在青島版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊“比例”一課中，基于案例的教學(xué)方法能夠幫助學(xué)生理解和應(yīng)用比例這個(gè)概念。教師通過實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用比例來解決生活中的問題，培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)模型意識(shí)。

五、結(jié)語

通過以上教學(xué)片段和案例，我們可以看到基于案例的教學(xué)方法在培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識(shí)方面具有巨大的潛力。通過實(shí)際生活案例，學(xué)生能夠更深入地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念，提高解決問題的能力，并將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活相結(jié)合。教師在教學(xué)中要注重選擇和設(shè)計(jì)案例，確保其符合學(xué)生的年齡和認(rèn)知水平，以達(dá)到最佳的教學(xué)效果。

在教育實(shí)踐中，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生積極參與案例分析和解決問題的過程，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力和批判性思維。同時(shí)，教師應(yīng)該靈活運(yùn)用不同類型的案例，以滿足不同層次學(xué)生的需求，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)模型意識(shí)，為其未來的學(xué)習(xí)和生活奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。