位躍東,方 峻

(南京理工大學(xué), 南京 210094)

0 引言

在槍械產(chǎn)品生產(chǎn)制造過程中,由于槍械產(chǎn)品零件尺寸小、形狀不規(guī)則、精度要求較高,且在計(jì)算裝配尺寸鏈涉及尺寸較多,計(jì)算尤為復(fù)雜。因此為了提高槍械產(chǎn)品質(zhì)量,保證裝配精度,對(duì)槍械典型機(jī)構(gòu)進(jìn)行公差分析顯得尤為重要。目前,在三維公差設(shè)計(jì)領(lǐng)域,采用小位移旋量(small displacement torsor,SDT)模型和蒙特卡洛法可以較為精確地描述公差及其誤差累加分析。

小位移旋量理論最早是在1996年由Bourdet[1]應(yīng)用到公差領(lǐng)域,并提出了基于SDT的幾何要素公差數(shù)學(xué)表示方法。Desrochers和Chie[2]將機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中的Jacobian模型和SDT模型相結(jié)合提出了一種Jacobian-Torsor模型。Li[3]采用SDT和誤差傳播理論進(jìn)行了公差分析。胡潔[4]研究了三維公差累積運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,并給出了三維公差累積的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的一般形式。吳兆強(qiáng)[5]研究了SDT的公差建模方法,并結(jié)合齊次坐標(biāo)逐步法進(jìn)行了三維公差分析。呂程[6]基于SDT的公差建模,研究了蒙特卡洛法與響應(yīng)面方法相結(jié)合的公差模型求解方法。

一般來說,公差分析方法主要有極值法[7](完全互換法)、概率法(不完全互換法)[8]和蒙特卡洛法[9]三種方法。極值法和概率法用于計(jì)算復(fù)雜裝配尺寸鏈時(shí)計(jì)算效率低、工作量大,相比之下蒙特卡洛法在解決三維公差分析等復(fù)雜問題時(shí)應(yīng)用更廣,且符合實(shí)際生產(chǎn)情況。蒙特卡洛法又被稱為統(tǒng)計(jì)模擬法,是一種基于概率統(tǒng)計(jì)理論,使用隨機(jī)數(shù)來解決很多計(jì)算問題的方法[10]。通過蒙特卡洛法可以進(jìn)行由各種隨機(jī)變量組成的線性、非線性尺寸鏈計(jì)算,極大的提高了計(jì)算效率。

本文重點(diǎn)在基于前人的基礎(chǔ)上,將SDT公差參數(shù)化建模與蒙特卡洛法相結(jié)合提出了一種新的公差分析方法,并進(jìn)行實(shí)例分析驗(yàn)證。以槍械拋殼機(jī)構(gòu)為例,采用SDT進(jìn)行幾何特征表面公差參數(shù)化建模,并結(jié)合齊次坐標(biāo)變換矩陣進(jìn)行裝配路徑上的誤差累積分析,最后采用蒙特卡洛法在參數(shù)變動(dòng)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)抽樣并進(jìn)行計(jì)算,得到裝配精度分析模型。

1 理論分析

1.1 基于小位移旋量法的公差數(shù)學(xué)模型表達(dá)

小位移旋量法是公差分析的基礎(chǔ),廣泛用于表示幾何特征面的理想形狀偏差量。在公差分析當(dāng)中,裝配中單個(gè)部件的公差很可能會(huì)靜態(tài)積累,并以運(yùn)動(dòng)方式傳播,導(dǎo)致總體裝配部件的關(guān)鍵尺寸發(fā)生變化。為了更好的對(duì)幾何特面公差域進(jìn)行參數(shù)化建模,采用SDT模型可以將公差表面上幾何要素的變動(dòng)轉(zhuǎn)化為在公差域內(nèi)隨機(jī)變動(dòng)點(diǎn)的集合。由于SDT模型是由旋轉(zhuǎn)矢量和平動(dòng)矢量組成,其部分參數(shù)取值范圍的不同,可以表現(xiàn)為不同的公差類型。

SDT模型由旋轉(zhuǎn)矢量R=[Δα,Δβ,Δγ]和3個(gè)平移矢量P=[Δu,Δv,Δw]描組成,SDT矩陣形式如下:

(1)

式中:Δα,Δβ,Δγ為單位旋轉(zhuǎn)矢量在局部坐標(biāo)系x,y,z軸上的投影;Δu,Δv,Δw為單位平移矢量在局部坐標(biāo)系軸x,y,z上的投影。

SDT矩陣向量各分量的變化,可以認(rèn)為是在笛卡爾坐標(biāo)系下幾何要素和幾何特征在空間上的位移變化。因此根據(jù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)變換理論[11],可以將小位移旋量轉(zhuǎn)換成齊次坐標(biāo)矩陣來表示理想幾何要素中點(diǎn)集的空間運(yùn)動(dòng),齊次坐標(biāo)矩陣T為:

(2)

表1列舉了典型幾何公差的小位移旋量和齊次變換矩陣。

表1 典型幾何公差及其對(duì)應(yīng)的小位移旋量和變換矩陣Table 1 Typical geometric tolerance and its corresponding small displacement screw and transformation matrix

續(xù)表(表1)

1.1.1尺寸公差參數(shù)化建模

尺寸公差的變動(dòng)不影響幾何特征的形狀、位置和角度變動(dòng)等,常見的尺寸公差域如下所示。圖1中左圖為線性長(zhǎng)度尺寸公差的旋量模型可表示[0,0,0;Δu,0,0]T,右圖為直徑尺寸公差了通過小位移旋量模型表示為[0,0,0;Δu,Δv,0]T。

1.1.2幾何公差參數(shù)化建模

幾何公差中主要分為形狀公差、定向公差、位置公差和跳動(dòng)公差4類[12]。其中形狀公差和位置公差應(yīng)用最為廣泛。由于零件加工時(shí)不可避免地存在著誤差,其中零件表面、軸線與中心對(duì)稱平面等在加工后與所要求的理想位置和形狀之間存在著一定范圍的誤差,這種誤差被稱為形位公差。為了保證槍械零件的產(chǎn)品質(zhì)量,需要在零件設(shè)計(jì)時(shí)需要對(duì)幾何要素規(guī)定合理的形位公差。本文以平面度和圓柱度為例進(jìn)行了SDT公差參數(shù)化建模,其他類型的公差可參考類推。

1) 平面度公差域模型表達(dá)

平面度公差帶是距離為公差值的兩平行面之間區(qū)域,一般用來表示約束理想特征平面的最大偏移量。平面度公差域示意圖如圖2所示。

圖2 平面度公差域示意圖Fig.2 Schematic diagram of flatness tolerance area

在實(shí)際平面和理想平面建立相應(yīng)的局部坐標(biāo)體系。利用機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)變換理論,實(shí)際平面x′,y′,z′相對(duì)于理想平面x,y,z的旋轉(zhuǎn)矩陣R為:

(3)

實(shí)際平面相對(duì)于理想坐標(biāo)系的平移矩陣為D=[0,0,Δw]T。根據(jù)三角函數(shù)無窮小等價(jià)公式sinα≈α,cosα=1。故齊次變換矩陣模型可近似等價(jià)為:

(4)

因此平面度公差域中幾何特征上任何一點(diǎn)A的位置描述都可以通過齊次坐標(biāo)變換矩陣表示為:

(5)

其中x′,y′分別為A點(diǎn)相對(duì)于實(shí)際平面坐標(biāo)系x′,y′,z′下的坐標(biāo),平面內(nèi)點(diǎn)的z′=0。平面度公差模型的約束條件為:

(6)

2) 圓柱度公差域模型表達(dá)

根據(jù)圓柱度公差定義,圓柱度公差域?yàn)閮赏膱A柱面之間的區(qū)域,用于表示實(shí)際圓柱面與理想平面的最大偏差范圍。圓柱度公差域的示意圖如圖3所示。

圓柱實(shí)際平面相對(duì)于理想平面的位置可以分解為沿x和y軸的旋轉(zhuǎn)矢量和移動(dòng)矢量。利用機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)變換理論,實(shí)際平面的坐標(biāo)體系相對(duì)于理想平面坐標(biāo)系的SDT模型表達(dá)為。

(7)

圓柱度公差域內(nèi)實(shí)際幾何特征上任意一點(diǎn)A的SDT模型T′表示為:

(8)

旋量參數(shù)的約束條件為:

(9)

1.2 基于蒙特卡洛的SDT法累積公差分析

蒙特卡洛法公差分析是通過求解隨機(jī)變量的概率統(tǒng)計(jì)來計(jì)算封閉環(huán)的尺寸公差。根據(jù)已確定的幾何變動(dòng)類型約束,建立基于SDT模型的幾何要素變動(dòng)和約束方程,結(jié)合蒙特卡洛法篩選出符合公差邊界條件與約束條件的隨機(jī)數(shù),采用齊次坐標(biāo)變換矩陣對(duì)裝配誤差進(jìn)行公差累加分析。重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)直到樣本總量,從而求出樣本均值與方差,得出測(cè)量尺寸的分布直方圖與貢獻(xiàn)度分析。

圖4 基于SDT模型和蒙特卡洛法公差分析Fig.4 Tolerance analysis based on SDT model and Monte Carlo method

2 槍械拋殼機(jī)構(gòu)公差分析實(shí)例

在彈頭發(fā)射后,槍械中的拉殼鉤將彈殼從彈膛中抽出后,在拋殼挺的作用下撞擊后退的彈殼從而將其拋出,拋殼機(jī)構(gòu)即將彈殼從彈膛內(nèi)推出并拋出槍外的部件。為了保證彈殼被順利拋出,保證槍械機(jī)構(gòu)動(dòng)作的可靠性,對(duì)裝配部件的尺寸要求顯得尤為重要。本文通過控制拋殼挺與彈殼之間疊蓋量的范圍,來保證拋殼機(jī)構(gòu)的可靠性。

本文中通過控制拋殼挺與彈殼之間水平方向上的疊合量需要控制在一定范圍內(nèi),來保證拋殼機(jī)構(gòu)的可靠性。

拋殼機(jī)構(gòu)主要由機(jī)匣體、彈殼、拉殼鉤、拋殼挺等零件組成。圖5為拋殼挺機(jī)構(gòu)三維示意圖。

圖5 拋殼機(jī)構(gòu)三維裝配示意圖Fig.5 3D assembly diagram of shell throwing mechanism

將機(jī)構(gòu)沿彈底平面進(jìn)行剖視圖分析,其中拋殼挺與彈底平面重疊的尺寸的水平距離為本次分析的目標(biāo)尺寸,疊蓋量會(huì)影響裝配的質(zhì)量,對(duì)槍械的可靠性有著重要的影響。圖6為拋殼機(jī)構(gòu)剖視圖。拋殼機(jī)構(gòu)的零件尺寸公差見表2。

圖6 拋殼機(jī)構(gòu)二維裝配示意圖Fig.6 2D assembly diagram of shell throwing mechanism

表2 拋殼機(jī)構(gòu)的零件尺寸公差Table 2 Dimensional tolerance of parts of shell throwing mechanism

圖7是根據(jù)裝配約束關(guān)系建立的裝配尺寸鏈分析圖,箭頭方向表示公差傳遞的方向。

圖7 裝配尺寸鏈分析圖Fig.7 Assembly dimension chain analysis diagram

將所有組成環(huán)沿封閉環(huán)的水平方向投影:

(10)

將所有環(huán)沿豎直方向上投影:

(11)

式(10)、式(11)中封閉環(huán)X為拋殼挺與彈底平面水平方向上的疊蓋量。

2.1 極值法求解

極值法從尺寸鏈各環(huán)的最大與最小極限尺寸進(jìn)行計(jì)算,不考慮各環(huán)實(shí)際尺寸的分布情況[13]。通過極值法計(jì)算出來的尺寸進(jìn)行加工各組成環(huán),不需要挑選或人工修銼便可進(jìn)行裝配,且裝配后即封閉環(huán)亦能滿足裝配精度要求,實(shí)現(xiàn)百分百零件完全互換。

平面尺寸鏈的封閉環(huán)公等同于各組成環(huán)傳遞系數(shù)與組成環(huán)公差乘積的和,根據(jù)各組成環(huán)公差值計(jì)算結(jié)果如下:

(12)

式中:Ti為封閉環(huán)公差(其中i=1,2…,n為封閉環(huán)的個(gè)數(shù));εi為組成環(huán)傳遞系數(shù);

2.2 概率法求解

概率法求解封閉環(huán)公差,根據(jù)尺寸鏈中各組成環(huán)均服從于正態(tài)分布概率模型的隨機(jī)變量,且組成環(huán)之間相互獨(dú)立,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行公差分析。應(yīng)用概率論原理的概率法求解尺寸鏈的方案更加符合實(shí)際的生產(chǎn)情況,并且組成環(huán)數(shù)目越多,采用概率統(tǒng)計(jì)法就越經(jīng)濟(jì)。概率法以保證絕大多數(shù)產(chǎn)品可以互換,各組成環(huán)無需挑選或改變尺寸大小和位置直接進(jìn)行裝配,就能達(dá)到封閉環(huán)的精度要求。

根據(jù)各組成環(huán)公差值通過概率法求解封閉環(huán)公差為:

(13)

式中:ξi為誤差傳遞系數(shù);Ti為各組成環(huán)(其中i=1,2…,n為封閉環(huán)的個(gè)數(shù))。

2.3 蒙特卡洛模擬法求解

2.3.1蒙特卡洛法生成隨機(jī)模擬點(diǎn)

蒙特卡洛公差分析[14]是基于SDT模型的幾何公差參數(shù)化建模求解出的公差邊界條件與約束方程,對(duì)公差域內(nèi)的幾何特征面上模擬產(chǎn)生隨機(jī)點(diǎn),且篩出掉不滿足邊界條件與約束方程的隨機(jī)數(shù),并使用SDT模型表示。當(dāng)產(chǎn)生的隨機(jī)點(diǎn)符合樣本量時(shí),將生成的模擬點(diǎn)代入到偏差傳遞矩陣及進(jìn)行下一步的計(jì)算。設(shè)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)點(diǎn)為P,則P點(diǎn)的齊次坐標(biāo)坐標(biāo)變換公式為:

(14)

式中:Pi為相對(duì)于i坐標(biāo)系下的相對(duì)坐標(biāo);T為小位移旋量齊次變化矩陣。

2.3.2裝配誤差累積

在計(jì)算封閉環(huán)的尺寸公差時(shí),本文采用齊次坐標(biāo)變換的方法來描述幾何特征要素在裝配體之間的累積傳遞。首先以彈底平面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系,然后在每個(gè)裝配表面建立局部坐標(biāo)系,幾何特征之間的誤差通過裝配表面之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系進(jìn)行誤差傳遞,如圖8所示。該機(jī)構(gòu)共有9處誤差傳遞。從固定坐標(biāo)系出發(fā),沿著裝配約束經(jīng)過每個(gè)裝配特征平面,最終回到固定坐標(biāo)系。

圖8 拋殼機(jī)構(gòu)裝配幾何關(guān)系圖Fig.8 Geometric relation diagram of shell throwing mechanism assembly

在裝配誤差累積分析中,幾何特征要素之間誤差傳遞是基于齊次坐標(biāo)變換方法描述的。齊次坐標(biāo)變換矩陣是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中用來描述2個(gè)平面相對(duì)位置的矩陣。如圖9所示,平面2相對(duì)于平面1的位置通過齊次坐標(biāo)描述為:

圖9 兩平面的相對(duì)方位示意圖Fig.9 Schematic diagram of relative orientation of two planes

(15)

從固定坐標(biāo)系出發(fā),經(jīng)過n個(gè)裝配幾何特征面的局部坐標(biāo)系,最終回到固定坐標(biāo)系,形成一個(gè)閉環(huán)回路,最終得到公差累積模型。裝配誤差傳遞如圖10所示。

圖10 裝配體中裝配誤差傳遞示意圖Fig.10 Schematic diagram of assembly error transmission in assembly

裝配體中平面n相對(duì)于固定坐標(biāo)系的誤差傳遞齊次變換矩陣nT0可表示為:

nT0=1T0·2T1… ·nTn-1

(16)

2.3.3蒙特卡洛公差分析計(jì)算

通過SDT模型對(duì)裝配體中各幾何特征表面進(jìn)行參數(shù)化表達(dá)后,結(jié)合蒙特卡洛法,將包含幾何特征信息的特征面轉(zhuǎn)化公差域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)的SDT集合,并代入到誤差傳遞坐標(biāo)矩陣,從局部坐標(biāo)系向固定坐標(biāo)系(起始坐標(biāo)系)轉(zhuǎn)換,得到包含各參數(shù)的拋殼機(jī)構(gòu)公差累積模型:

(17)

式中:iTi-1為平面i相對(duì)于平面i-1的齊次坐標(biāo)旋量矩陣;Pi為含有旋量參數(shù)的名義尺寸誤差齊次坐標(biāo)矩陣;M為固定坐標(biāo)系幾何要素上任一點(diǎn)的坐標(biāo)矩陣;X為封閉環(huán)的偏差矩陣;n為變動(dòng)特征面的個(gè)數(shù)。

其中典型零部件的裝配偏差傳遞矩陣和尺寸誤差變動(dòng)矩陣的主要數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 裝配偏差傳遞矩陣尺寸誤差變動(dòng)矩陣Table 3 Assembly deviation transfer matrix and dimensional error variation matrix

2.3.4蒙特卡洛仿真分析結(jié)果

蒙特卡洛法是基于6σ原則,即尺寸公差在μ±3σ這一范圍概率高達(dá)99.37%,我們認(rèn)為在公差在這一范圍內(nèi)的零件是合格的。并且組成環(huán)的數(shù)目越多,盡管尺寸公差服從于不同的分布規(guī)律,但是封閉環(huán)的誤差分布都接近于正態(tài)分布規(guī)律,且蒙特卡洛法抽樣次數(shù)越多,越接近于正態(tài)分布,結(jié)果越精確。本文通過采用2 000、5 000、10 000、20 000個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行基于蒙特卡洛抽樣法的裝配模擬仿真。疊蓋量尺寸分布直方圖如圖11—圖14所示。

圖11 模擬2 000次的疊蓋量尺寸分布直方圖Fig.11 Overlay size distribution histogram of 2 000 simulations

圖12 模擬5 000次的疊蓋量尺寸分布直方圖Fig.12 Overlay size distribution histogram of 5 000 simulations

圖13 模擬10 000次的疊蓋量尺寸分布直方圖Fig.13 Overlay size distribution histogram of 10 000 simulations

圖14 模擬20 000次的疊蓋量尺寸分布直方圖Fig.14 Overlay size distribution histogram of 20 000 simulations

2.3.5組成環(huán)貢獻(xiàn)度的求解

貢獻(xiàn)度分析[15]是求解組成環(huán)公差輸入變量對(duì)封閉環(huán)公差輸出變量的影響大小的一種方法。貢獻(xiàn)度分析計(jì)算采用單變量分析,首先對(duì)所有組成環(huán)變量值設(shè)為0,通過每次只變化單個(gè)組成環(huán)變量來分析目標(biāo)的變化,從而確定該組成環(huán)的貢獻(xiàn)度大小,該方法又稱為HLM(high-low-median)貢獻(xiàn)度分析。

HLM貢獻(xiàn)度的計(jì)算方法與一階導(dǎo)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式有關(guān),設(shè)輸出參數(shù)m與輸入?yún)?shù)ci的函數(shù)關(guān)系為:

m=f(ci),i=1,2,…,t(t為影響因子個(gè)數(shù))

(18)

使用泰勒級(jí)數(shù)對(duì)式(18)展開為:

(19)

式中:m0即輸出參數(shù)的名義值;Δc=ci-ci0表示輸出參數(shù)的變化量。因?yàn)镠LM貢獻(xiàn)度分析是采用線性計(jì)算的方法,所以進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)需要將式(19)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù):

(20)

分析模型時(shí)需要注意以下問題:① 所有的輸入?yún)?shù)都應(yīng)該滿足相互獨(dú)立的條件;② 輸入?yún)?shù)的分布規(guī)律都假設(shè)服從正態(tài)分布,則輸出參數(shù)的方差與輸入?yún)?shù)函數(shù)關(guān)系為:

(21)

HLM貢獻(xiàn)度的計(jì)算公式為:

(22)

(23)

則貢獻(xiàn)度公式為:

(24)

通過對(duì)封閉環(huán)的貢獻(xiàn)度分析,將分析結(jié)果反饋給設(shè)計(jì)人員,可對(duì)組成環(huán)的公差進(jìn)行相應(yīng)的公差調(diào)整。圖15為拋殼機(jī)構(gòu)的貢獻(xiàn)度分析結(jié)果示意圖,其中封閉環(huán)精度影響因子最大的為機(jī)匣內(nèi)左面與拋殼挺左側(cè)面,均為30.92%,公差值大小均為0.075。在保證精度要求的前提下,通過調(diào)整貢獻(xiàn)度較大的公差來最大化的降低成本,使得公差設(shè)計(jì)更加合理、有效。

圖15 各組成環(huán)公差貢獻(xiàn)度分析Fig.15 Tolerance contribution analysis of each component ring

3 結(jié)果對(duì)比

為了體現(xiàn)基于SDT模型大和蒙特卡洛法的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn),分別運(yùn)用極值法和概率統(tǒng)計(jì)法求解出疊蓋量的公差分析結(jié)果,并將三者進(jìn)行數(shù)據(jù)對(duì)比分析,結(jié)果對(duì)比如表4所示。

表4 3種公差方法結(jié)果對(duì)比Table 4 Comparison of results of three tolerance methods

基于SDT模型和蒙特卡洛法的三維公差分析四次模擬仿真求解的封閉環(huán)公差值約為0.477,小于極值法計(jì)算值0.732,稍大于概率法計(jì)算值0.464,但基本與概率法保持一致,結(jié)果具有可信度。該方法隨著樣本點(diǎn)的增多,尺寸分布直方圖趨近于正態(tài)分布,與設(shè)計(jì)結(jié)果保持一致,在相同的尺寸公差水平下,可以根據(jù)貢獻(xiàn)度分析結(jié)果,對(duì)相應(yīng)尺寸公差進(jìn)行優(yōu)化寬松,加工經(jīng)濟(jì)性好,更符合實(shí)際加工生產(chǎn),結(jié)果更具有可信度。該方法的應(yīng)用可使槍械拋殼機(jī)構(gòu)的裝配成功率和質(zhì)量可靠性得到較大的提升。

4 結(jié)論

本文采用了SDT模型對(duì)某槍械中拋殼機(jī)構(gòu)進(jìn)行公差參數(shù)化建模,并通過齊次坐標(biāo)矩陣描述裝配誤差累積模型,結(jié)合蒙特卡洛法進(jìn)行三維公差分析,得出拋殼機(jī)構(gòu)中疊蓋量的尺寸分布直方圖和貢獻(xiàn)度分析報(bào)告,并與傳統(tǒng)的極值法和概率法公差計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了數(shù)據(jù)對(duì)比分析,驗(yàn)證了基于SDT模型和蒙特卡洛法的三維公差分析方法的有效性與精確性。

通過數(shù)據(jù)的對(duì)比可以得出,相比于傳統(tǒng)的極值法和概率法,基于SDT和蒙特卡洛的三維公差分析方法可以將幾何公差和尺寸公差用統(tǒng)一的模型來表示,且理論上其分析結(jié)果具有更高的精度,計(jì)算方便、快捷,且通過組成環(huán)貢獻(xiàn)度分析更有利進(jìn)行公差的分配和設(shè)計(jì)。該方法的應(yīng)用不僅可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程,而且能提高裝配成功率,提高零部件的可靠性,降低生產(chǎn)成本,更能適用于生產(chǎn)實(shí)踐。