孫佳宇，劉增武，段富海，毛 翎

(1.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024；2.大連測控技術(shù)研究所, 遼寧 大連 116013)

0 引 言

無人航行器具備隱蔽性好、體積小以及自主能力強(qiáng)等獨(dú)特優(yōu)勢，可用于海面巡防、反潛、反水雷等任務(wù)，已成為海防領(lǐng)域不可或缺的重要力量[1]?，F(xiàn)階段國內(nèi)外無人航行器已進(jìn)入實(shí)用階段，研究重心為如何提高其性能。將水翼應(yīng)用于無人航行器以提升其整體性能已成為一個新的研究熱點(diǎn)。近年來各種無人水翼航行器相繼出現(xiàn)，如波浪能推進(jìn)水面航行器[2]、兩棲水翼航行器[3]、無人水翼船[4]等。

T-S 模糊模型是一種非常有效的非線性系統(tǒng)線性化方法[5]，現(xiàn)階段已應(yīng)用于船舶減搖[6]、動力定位船舶控制[7]、水翼船運(yùn)動控制[8]等領(lǐng)域，可為無人水翼航行器的數(shù)學(xué)建模與姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計提供借鑒。

最優(yōu)控制中LQR 算法比較成熟，因此廣泛應(yīng)用于T-S 模糊模型的控制。但LQR 的參數(shù)多采用人工試湊的方法進(jìn)行選取，效率低下且難以選取到最優(yōu)參數(shù)。為改進(jìn)選取參數(shù)的盲目性，可采用布谷鳥算法對LQR參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。

本文首先介紹一種新型無人水翼航行器并建立其縱向運(yùn)動非線性數(shù)學(xué)模型，利用T-S 模糊模型對非線性數(shù)學(xué)模型進(jìn)行線性化；然后對T-S 模糊模型中各子系統(tǒng)設(shè)計LQR 控制器，并采用布谷鳥算法對LQR 控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。最后，通過仿真驗證在隨機(jī)海浪干擾下所設(shè)計控制器的有效性。

1 無人水翼航行器整體結(jié)構(gòu)及運(yùn)行機(jī)理

無人水翼航行器結(jié)構(gòu)如圖1所示，其動力源為兩電機(jī)帶動螺旋槳轉(zhuǎn)動在水中產(chǎn)生推力推動航行器前進(jìn)。初始狀態(tài)下僅航體漂浮在水面上，其余部分均浸沒在水中，隨著運(yùn)行速度提高，水翼升力也隨之變大，當(dāng)達(dá)到一定速度后水翼升力可將航體抬出水面達(dá)到翼航狀態(tài)。翼航狀態(tài)下可通過調(diào)整前后水翼轉(zhuǎn)動角度以改變前后水翼升力大小，進(jìn)而可以調(diào)整航行器姿態(tài)。航行器姿態(tài)控制系統(tǒng)如圖2 所示。

圖1 無人水翼航行器示意圖Fig.1 Schematic diagram of unmanned hydrofoil vehicle

圖2 航行器姿態(tài)控制系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of vehicle attitude control system

2 無人水翼航行器縱向運(yùn)動數(shù)學(xué)模型

2.1 非線性數(shù)學(xué)模型的建立

無人水翼航行器運(yùn)行機(jī)理與水翼船相似，因此可借鑒文獻(xiàn)[8]水翼船數(shù)學(xué)模型對其進(jìn)行建模?？紤]航行器縱傾和波浪對航行器運(yùn)動的影響，忽略海流、海風(fēng)等其他因素。翼航狀態(tài)下航行器縱向受力如圖3 所示。

圖3 翼航狀態(tài)下航行器縱向受力示意圖Fig.3 Longitudinal force diagram of vehicle under wing navigation

Fsi為前后水翼產(chǎn)生的升力與慣性力的合力(i=1 為前翼，i=2 為后翼)，即Fsi=Lfi+Fai。li為水翼距航行器重心距離。水翼升力Lfi的計算公式為：

式中：ρ為水密度，1 000 kg/m3；v為航行器運(yùn)行速度；Si為水翼投影面積，Si=Libi；Li為水翼展長，bi為水翼弦長；Cfi為水翼升力系數(shù)，在文獻(xiàn)[9]中有詳細(xì)計算過程，水翼升力系數(shù)可近似看作與攻角成線性關(guān)系[10]。攻角計算公式為：

式中：αsi為水翼旋轉(zhuǎn)角度，在±15°內(nèi)變化；θ為縱搖角；ξ為航行器垂直于水平面升沉量；ζi為次波面海浪波形；α0i為水翼零升力攻角。

當(dāng)航行器在水中運(yùn)動時，會受到其周圍流體作用的慣性力Fai，其計算公式為：

FDi為水翼阻力，其值遠(yuǎn)小于水翼升力[8]，所以忽略其在Zb軸方向分量，近似其方向與Xb軸平行，其計算公式為：

式中，CDi為水翼阻力系數(shù)，詳細(xì)計算過程見文獻(xiàn)[9]。

f為連接桿割劃水面所產(chǎn)生的阻力，將連接桿抽象成一細(xì)長圓柱體，根據(jù)Morison 公式，作用在靜水中勻速運(yùn)動長度為dz的圓柱切片上的水平阻力大小為：

式中：D為圓柱直徑，取為0.05m；Cd為阻力系數(shù)，取為1。連接桿水下浸沒深度為h時的阻力大小為：

縱傾角小范圍內(nèi)變化時h≈l+ξ+l4θ，l4為連接桿至重心距離。

而阻力的力矩則可由下式計算：

設(shè)F為電機(jī)推力，勻速運(yùn)動時與阻力大小相同，l3為電機(jī)推力力臂。在Zb方向利用牛頓第二定律并以Yb為轉(zhuǎn)軸利用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律，可得到航行器翼航狀態(tài)下縱向垂蕩和縱搖運(yùn)動數(shù)學(xué)模型：

無人水翼航行器結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示。

表1 無人水翼航行器結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of unmanned hydrofoil vehicle

2.2 航行器T-S 模糊模型的建立

T-S 模糊模型的主要思想是將復(fù)雜非線性曲線用多條線段進(jìn)行擬合，進(jìn)而將非線性問題轉(zhuǎn)化為多條小線段上的線性問題。航行器縱向運(yùn)動T-S 模糊模型前提變量選取縱搖角θ，設(shè)航行器翼航狀態(tài)時縱搖角范圍為0°～4°，則前提變量分別取縱搖角θ為0°、2°、4°，由式(8) 可得各子系統(tǒng)參數(shù)如表2 所示。模糊規(guī)則如下：

在子系統(tǒng)1 工作點(diǎn)對式(8)進(jìn)行線性化，即可得到如下參數(shù)：

其余A2，A3；B2，B3；H2，H3類似。

T-S 模糊模型的總輸出為：

式中，wi為第i條規(guī)則關(guān)于縱傾角的隸屬度函數(shù)，為三角形隸屬函數(shù)，如圖4 所示。

圖4 隸屬度函數(shù)Fig.4 Membership Function

并行分布補(bǔ)償法(PDC)適用于解決基于T-S 模糊建模的非線性系統(tǒng)控制問題[11]。采用PDC 方法設(shè)計的T-S 模糊控制器為：

式中，Ki為各子系統(tǒng)反饋增益矩陣。

3 LQR 控制器設(shè)計及優(yōu)化

3.1 LQR 控制器

LQR 算法核心是用最小輸入代價實(shí)現(xiàn)對各個目標(biāo)的有效控制，狀態(tài)空間方程為：

LQR 控制就是要尋找一個最優(yōu)控制矩陣K，即確定一個狀態(tài)反饋控制率u(t)=Kx(t)，使得如式(13)所示的性能指標(biāo)達(dá)到最小。

反饋增益矩陣為：

矩陣P可由黎卡堤方程求得：

LQR 控制器控制性能的好壞直接與Q矩陣與R矩陣的取值相關(guān)，因此Q矩陣與R矩陣的選取是LQR 控制器設(shè)計的核心內(nèi)容。

3.2 布谷鳥算法

布谷鳥搜索（CS）算法是由Yang 和Deb 于2009 年提出的一種智能優(yōu)算法[12]。CS 算法采用下式對下一代鳥巢位置進(jìn)行更新：

CS 算法首先由式(16)對下一代鳥巢位置更新，如果適應(yīng)度函數(shù)值優(yōu)于上一代則更新鳥巢位置。位置更新后每個鳥巢的位置有Pa的概率會再次隨機(jī)改變位置，然后保留測試值最好的一組鳥巢位置，記為。最后判斷算法是否滿足結(jié)束條件，若滿足，則結(jié)束迭代尋優(yōu)，輸出全局最優(yōu)值。

3.3 基于布谷鳥算法的LQR 控制器優(yōu)化設(shè)計

利用CS 算法對LQR 控制器進(jìn)行尋優(yōu)。首先確定Q和R矩陣所需尋優(yōu)參數(shù)的個數(shù)，確定CS 算法中搜索空間的維數(shù)和鳥巢坐標(biāo)與各參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，每個鳥巢即為各參數(shù)的集合體，本文設(shè)定Q矩陣形式為：

式中：q1和q3均取為0，僅調(diào)整q2和q4，R矩陣取為單位矩陣。

鳥巢的好壞由適應(yīng)度函數(shù)所決定，采用時間誤差積分準(zhǔn)則（ITAE）作為適應(yīng)度函數(shù)，以確保系統(tǒng)具有良好的動態(tài)性能[13]。CS 算法的目標(biāo)就是找到一個最優(yōu)鳥巢，然后將尋優(yōu)后的參數(shù)代入Q矩陣得到最優(yōu)Q矩陣，計算后得到最優(yōu)狀態(tài)反饋K矩陣。具體流程圖如圖5 所示。

圖5 布谷鳥算法優(yōu)化LQR 流程圖Fig.5 LQR flow chart of cs algorithm optimization

4 仿真及結(jié)果分析

利用CS 算法對3 個子系統(tǒng)進(jìn)行LQR 控制器參數(shù)整定，算法初始參數(shù)設(shè)置為：鳥巢數(shù)量為10、步長控制量α=1、發(fā)現(xiàn)概率Pa=0.25、變量取值下界為[0,0]、變量取值上界為[5 000,5 000]，迭代次數(shù)100 次，最終得到各子系統(tǒng)反饋增益矩陣為：

為檢驗CS 算法優(yōu)化LQR 縱向姿態(tài)控制器的性能，加入隨機(jī)海浪干擾，海浪參數(shù)為有義波高1 m，遭遇角120°，利用Matlab 2020b 軟件編寫程序，取縱搖角θ為1°，2°，3°三個工作點(diǎn)進(jìn)行仿真。以升沉量誤差Δξ和縱搖角誤差Δθ作為評定縱向姿態(tài)控制器性能的指標(biāo)，仿真結(jié)果如圖6～圖8 所示。

圖6 縱搖角1°時控制效果Fig.6 Control effect at pitch angle of 1°

圖7 縱搖角2°時控制效果Fig.7 Control effect at pitch angle of 2°

圖8 縱搖角3°時控制效果Fig.8 Control effect at pitch angle of 3°

由仿真結(jié)果可見在隨機(jī)海浪干擾下LQR 控制器對航行器縱向運(yùn)動姿態(tài)具有良好的控制性能，升沉量誤差Δξ和縱搖角誤差Δθ均控制在小范圍內(nèi)，且利用CS 算法設(shè)計LQR 控制器不僅避免了人工試湊法的繁雜過程，控制效果也優(yōu)于傳統(tǒng)LQR 控制器。

5 結(jié) 語

本文提出一種新型無人水翼航行器，并以水翼船模型為參考對其進(jìn)行縱向運(yùn)動建模和T-S 模糊模型線性化。設(shè)計LQR 控制器，針對LQR 控制器采用人工試湊法調(diào)節(jié)參數(shù)效率低下的問題，利用布谷鳥算法對控制器進(jìn)行優(yōu)化。通過仿真驗證了LQR 控制器對航行器在海浪干擾下的縱向姿態(tài)具有良好的控制效果，且經(jīng)過布谷鳥算法優(yōu)化后的LQR 控制器控制效果優(yōu)于傳統(tǒng)LQR 控制器。本文研究可為新型無人水翼航行器的實(shí)體樣機(jī)設(shè)計提供理論依據(jù)，也可為其他種類航行器設(shè)計提供借鑒。