高宇鵬 江濤

[摘 ?要] 數(shù)學教學中滲透數(shù)學文化具有應(yīng)用價值、教育價值、美學價值等. 文章提出滲透數(shù)學文化須遵循相關(guān)性、趣味性、適度性等原則，并從課堂教學實錄出發(fā)，具體介紹了基于數(shù)學文化滲透的解題教學措施與方法，最后從以下三方面提出思考：介紹數(shù)學史，激發(fā)解題興趣;揭露數(shù)學美，培養(yǎng)審美情操;滲透數(shù)學思想，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學文化;解題教學;思維

近年來，隨著新課改這股風的流動，數(shù)學文化已經(jīng)潛移默化地滲透到高考試題中，這意味著高考不只考查學生的知識與技能，還注重學生的綜合素養(yǎng). 這就要求教師在日常教學中，應(yīng)重視數(shù)學文化的研究，善于利用數(shù)學文化資源，引導學生在各種課型中感知、體驗數(shù)學文化的價值，全方位提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

數(shù)學文化的價值

鄭毓信教授提出：數(shù)學文化是一種既獨立又開放的系統(tǒng)，是數(shù)學共同體特有的觀念、行為與態(tài)度，也可以理解為數(shù)學傳統(tǒng)，它以獨有的方式推動著人類文化的進步與發(fā)展[1]. 數(shù)學文化可以幫助人們更好地認識、理解、改造這個世界，幫助人們更加科學地掌握學習方法，提升認知水平層次，對鍛煉人的意志品質(zhì)，增強人的理想信念，提升人的文化品味具有直接影響.

1. 應(yīng)用價值

數(shù)學文化在人類生活的各個方面以及社會發(fā)展的各個領(lǐng)域中應(yīng)用得極為廣泛，如信息技術(shù)的發(fā)展就離不開數(shù)學文化的支撐——計算機的運行需要相應(yīng)的軟件，而軟件就是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、二進制與算法等數(shù)學知識的應(yīng)用體現(xiàn). 正如谷超豪先生所言：“數(shù)學是現(xiàn)代高科技的核心，而數(shù)學文化又是促進數(shù)學教育發(fā)展的基石. ”

數(shù)學因應(yīng)用而產(chǎn)生，為應(yīng)用所發(fā)展，如我們?nèi)粘Ｙ徫?、就餐、分析股市、貸款投資等，都離不開數(shù)學知識的輔助，而這些知識的發(fā)展都依托于數(shù)學文化的日積月累. 因此，數(shù)學文化具有重要的應(yīng)用價值.

2. 教育價值

數(shù)學文化屬于人類文化的精華，能大幅度提升人類的綜合素養(yǎng). 當人們掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識、數(shù)學思想方法、數(shù)學精神時，能夠不斷提升思維能力，具備更好的數(shù)感與符號意識等[2]. 因此，數(shù)學文化的教育價值是其他任何訓練方式都無法替代的.

除此之外，數(shù)學文化還能提升人們的鑒賞能力與解決實際問題的能力，一個具備良好的文化內(nèi)涵與品味的人，不僅擁有“真善美”的特質(zhì)，還擁有一個睿智的大腦. 因此，數(shù)學文化具有重要的教育價值.

3. 美學價值

以核心素養(yǎng)為導向的數(shù)學教學，需要將美學素養(yǎng)作為教學的重要內(nèi)容之一. 數(shù)學美一般以結(jié)構(gòu)的方式呈現(xiàn)，屬于一種含蓄、深沉、科學的哲學之美，尤其是一些獨特的數(shù)學知識，能夠體現(xiàn)出數(shù)學學科獨有的美感. 如最簡的數(shù)學定理——歐拉定理，它以獨有的美感在世界數(shù)學史上占有不敗之地;再如勾股定理，它為人類創(chuàng)造出了無限的價值，它的美體現(xiàn)在方方面面.

數(shù)學是一門充滿藝術(shù)的學科，稱為“藝術(shù)”必有美學價值. 它的美與繪畫的視覺、音樂的視聽有所區(qū)別，數(shù)學文化的藝術(shù)美主要體現(xiàn)在科學范疇，如黃金分割的應(yīng)用等，都展現(xiàn)了數(shù)學文化的美學價值.

滲透原則

1. 相關(guān)性原則

課堂教學關(guān)注更多的是學生“四基”與“四能”的發(fā)展情況，常忽視數(shù)學文化對核心素養(yǎng)發(fā)展的影響. 事實證明，將“四基”與“四能”的發(fā)展與“數(shù)學文化”有機地結(jié)合在一起，往往能達到事半功倍的效果. 這就要求教師在教學中，能根據(jù)教學內(nèi)容滲透與之相關(guān)的數(shù)學文化，幫助學生從教學目標上建立聯(lián)系. 長此以往，學生不僅能收獲豐富的知識，還能接受數(shù)學文化的熏陶，促進核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2. 趣味性原則

法國帕斯卡提出：數(shù)學是一門嚴肅的學科，教師應(yīng)想方設(shè)法讓它變得有趣. 教師若能結(jié)合學生的身心發(fā)展規(guī)律，在課堂上滲透一些風趣且有內(nèi)涵的數(shù)學文化，不僅能活躍課堂氣氛，調(diào)動學習熱情，還能激發(fā)學生的學習動機，讓學生產(chǎn)生探索欲，形成深度學習.

值得注意的是，教師不能為了“趣味”而隨意選擇一些沒有根據(jù)的數(shù)學“史料”，滲透數(shù)學文化講究趣味性的同時，還要注重其科學性、嚴謹性，擇取與教學內(nèi)容相關(guān)且有教育意義的數(shù)學史料，才能讓學生集中注意力更深層次地理解知識的來龍去脈，讓課堂充滿活力且不失“莊重感”.

3. 適度性原則

數(shù)學文化固然重要，但滲透時也要把握好“度”. 首先，數(shù)學文化的滲透應(yīng)在教學內(nèi)容的基礎(chǔ)上實施，應(yīng)在能順利完成教學目標的前提下進行，切忌將數(shù)學課上成歷史課，出現(xiàn)喧賓奪主的現(xiàn)象;其次，擇取的數(shù)學文化難度要適中，過于簡單的內(nèi)容難以達到預期效果，過于繁雜的內(nèi)容又難以激發(fā)學生的探索欲，而落于學生最近發(fā)展區(qū)的內(nèi)容才是恰到好處的.

解題教學中的滲透方法

例1 已知在△ABC中，A≥60°，求證：2a≥b+c.

這道題的起點比較低，學生很快就提出了用正弦定理“邊化角”的方法解題，即將a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入問題，得到2a≥b+c與2sinA≥sinB+sinC等價. 這是應(yīng)用化歸思想，兼顧條件與結(jié)論的過程.

學生求證過程為：從項數(shù)變化考慮，2sinA≥sinB+sinC與2sinA≥2sincos等價. 由于sin=sin=cos，因此僅需證明sinA≥coscos即可.

關(guān)于sinA≥coscos的證明，學生呈現(xiàn)出了如下過程：sinA≥coscos的左邊存在sinA，右邊存在cos，從倍角公式出發(fā)，可改證2sincos≥coscos. 同時，在△ABC中，由A≥60°可得30°≤<90°，所以cos>0，也就是證明2sin≥cos. 因為2sin≥2×sin30°=1，但cos≤1，所以2sin≥cos成立.

從學生的證明過程來看，接近完美. 證明2a≥b+c前，學生就自主發(fā)現(xiàn)了條件和結(jié)論在形式上存在差別，因此用正弦定理實施轉(zhuǎn)化，而后通過角與項數(shù)的變化，讓不等式的兩邊進一步簡化、整齊. 教師在此過程中與學生分享了正弦定理的數(shù)學史料，讓學生在心理上產(chǎn)生了一種愉悅感，并從中體驗到了數(shù)學之美.

例2 在△ABC中，如果A≥60°，R，r分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓的半徑，求證：2R+4（-1）r≥b+c.

學生經(jīng)過思考，認為解決本題的難點在于如何將R，r，b，c轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的形式. 從例1的解題思路出發(fā)，用正弦定理可以聯(lián)系△ABC的邊以及其外接圓的直徑，至于怎樣將R，r以及△ABC的三條邊聯(lián)系起來，還有待研究.

為了幫助學生理清解題思路，教師進行了如下點撥：解題時，如果實在找不到方法，可以借助數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖形.

基于教師的引導，學生呈現(xiàn)出了如下解題過程：

如圖1所示，已知△ABC的內(nèi)切圓和三條邊的切點分別為D，E，F(xiàn)，內(nèi)心為I. 根據(jù)相切關(guān)系，不難理解ID，IE，IF分別與BC，AC，AB邊垂直，借助面積法得S=S+S+S，于是bcsinA=（a+b+c）r，所以r=①.

接下來將式①代入2R+4（-1）r≥b+c，則證明2R+4（-1）·≥b+c②. 借助正弦定理，消除正因子2R后，則證明1+4（-1）≥sinB+sinC③.

教師充分肯定了學生的證明過程，這里將形式混亂的不等式化歸成了僅有三個角的正弦的不等式，問題變得簡單許多. 此時，又有學生主動提出了新的運算方法：從r的表達式和角A的關(guān)系出發(fā)，根據(jù)△ABC三條邊與☉I相切的條件，獲得三條切線的長. 假設(shè)AE=AF=x，BF=BD=y，CE=CD=z，有z+y=a，z+x=b，x+y=c，可知x=. 同時tan=，因此r=xtan=tan④. 將不等式②轉(zhuǎn)化成2R+4（-1）tan≥b+c后，應(yīng)用正弦定理，再將不等式轉(zhuǎn)化成1+2（-1）（sinC+sinB-sinA）tan≥sinB+sinC⑤.

如此轉(zhuǎn)化使得內(nèi)切圓的半徑和角A產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)，改變了解題目標. 至于不等式③或不等式⑤該如何推進，化簡不等式③中復雜的分式或不等式⑤中左邊偏復雜的第二項即可.

老子曰：“大道至簡. ”以上解題過程告訴我們，數(shù)學解題追求的是一種簡潔、對稱與賞心悅目. 化繁為簡的過程是促進學生思維發(fā)展的過程，亦是讓學生感知數(shù)學文化博大精深的過程.

接下來，學生提出用三角形內(nèi)角和與和差化積公式，得到sinA+sinB+sinC=4coscoscos⑥，sinB+sinC-sinA=4cossinsin⑦，將式⑥代入不等式③中的分母，不等式③的分子利用倍角公式展開，或?qū)⑹舰叽氩坏仁舰荩裻an化弦后消除cos，獲得待證明的同一不等式1+8（-1）sinsinsin≥sinB+sinC⑧. 在此基礎(chǔ)上將不等式⑧轉(zhuǎn)化為1+2cos·

2（-1）sin-cos

-4（-1）sin2≥0⑨（過程略）后再證明.

雖然此運算過程比較繁雜，但均為三角函數(shù)常規(guī)運算. 令學生感到意外的是內(nèi)切圓的半徑竟然存在兩種代換方式. 最終學生利用分類討論思想與放縮法，通過不等式證明法獲得結(jié)論.

以上解題過程帶給了學生較大的震撼，在解決數(shù)學問題時，我們需要從辯證唯物主義的角度出發(fā)，一分為二地進行觀察與分析，只有踏踏實實地落實“四基”與“四能”，才能在數(shù)學道路上走得長遠.

幾點思考

1. 介紹數(shù)學史，激發(fā)解題興趣

數(shù)學史是數(shù)學文化的重要組成部分，教材上所呈現(xiàn)的任何一個概念、定理或法則都不是憑空出現(xiàn)的，都有一個形成與發(fā)展過程[3]. 在解題教學中，教師可在學生應(yīng)用某些定理時適當?shù)貪B透數(shù)學文化，激趣的同時深化學生對定理的應(yīng)用意識.

如例1，題目門檻較低，學生順利解題的同時，教師將相關(guān)定理的數(shù)學史料拎出來與學生分享，成功地激發(fā)了學生對這一類問題的研究興趣，為接下來的解題教學奠定了良好的情感基礎(chǔ).

2. 揭露數(shù)學美，培養(yǎng)審美情操

若藝術(shù)美屬于感性美，則數(shù)學美屬于理性美和抽象美，它是一種數(shù)學思想、科學精神，需要人們用心去體會與領(lǐng)悟. 在解題教學中，尤其應(yīng)注重數(shù)學的簡潔美. 簡潔美可以表現(xiàn)在數(shù)學語言、解題方法上. 哲學家狄德羅提出：美是將苦難、繁雜的問題簡單化的過程.

在上述例題教學中，證明不等式2a≥b+c前，學生就自主發(fā)現(xiàn)了條件和結(jié)論在形式上存在差別，于是利用正弦定理實施轉(zhuǎn)化，而后通過角與項數(shù)的變化，讓不等式的兩邊進一步簡化、整齊;在不等式2R+4（-1）r≥b+c的解決過程中，學生將形式混亂的不等式化歸成了僅有三個角的正弦的不等式，讓問題變得簡單許多. 這些都揭露了數(shù)學的簡潔美，為培養(yǎng)學生的審美情操奠定了基礎(chǔ).

3. 滲透數(shù)學思想，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)

學校教育的最終目標是促進學生更好地生活與工作，數(shù)學知識是教學的基礎(chǔ)，數(shù)學思想方法則是促進學生形成可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵. 數(shù)學思想方法是對問題本質(zhì)的認識，與知識相比，思想方法的應(yīng)用更深刻、廣泛、久遠.

如上述例題教學，就應(yīng)用到了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想與整合思想等，這些思想方法的介入讓解題過程變得更加簡便，也讓學生的頭腦變得更加清晰. 因此，數(shù)學思想方法的應(yīng)用是滲透數(shù)學文化必不可少的重要環(huán)節(jié).

總之，數(shù)學文化是促進數(shù)學教育發(fā)展的關(guān)鍵. 作為新時代的數(shù)學教師，除了要有扎實的專業(yè)水平，還要“上知天文，下知地理”，要能在課堂恰當?shù)臅r機“信手拈來”，推出與教學相關(guān)的數(shù)學文化知識，以激發(fā)學生的學習興趣，夯實學生的知識基礎(chǔ)，從真正意義上促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

參考文獻：

[1] 鄭毓信，梁貫成. 認知科學建構(gòu)主義與數(shù)學教育[M]. 上海：上海教育出版社，2002.

[2] 李小平. “數(shù)學文化”課的教學研究與實踐[J]. 湘南學院學報，2013，34（05）：58-61.

[3] 葛亞平. 數(shù)學教學中融入數(shù)學文化的有效策略[J]. 教學與管理，2016（36）：100-102.