宋吝

[摘 ?要] 在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生提供一個互動交流的平臺，鼓勵學(xué)生去思考、去合作、去探索，帶領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷知識形成和發(fā)展過程，以此深化學(xué)生對知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性. 文章以“點到直線的距離”一課為例，通過研究性學(xué)習(xí)帶領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，讓“教”與“學(xué)”在互動中得以發(fā)展和提升.

[關(guān)鍵詞] 互動交流;過程;發(fā)展

在傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了趕時間、趕進度，大多數(shù)概念、公式、定理的教學(xué)以教師講授為主，然后通過大量的練習(xí)幫助學(xué)生鞏固知識，這樣表面上看學(xué)生能夠應(yīng)用所學(xué)知識解決大量問題，但是因為缺少概念、公式、定理等形成和發(fā)展的過程，難以讓學(xué)生形成深刻的印象，不利于學(xué)生長遠發(fā)展. 另外，知識的形成和發(fā)展中往往會有許多精彩生成，若在教學(xué)中忽視過程會讓學(xué)生錯失許多精彩，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)和學(xué)習(xí)能力的提升. 因此在教學(xué)中，教師應(yīng)多帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識形成和發(fā)展過程，啟發(fā)學(xué)生從不同的角度思考，以此發(fā)展學(xué)生“四基”，培養(yǎng)學(xué)生“四能”.

筆者以“點到直線的距離”一課為例，通過經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程激發(fā)學(xué)生的潛能，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究方法，培養(yǎng)學(xué)生合作探究的意識.

基本情況

1. 學(xué)情分析

學(xué)生的基礎(chǔ)較好，具有一定的自學(xué)能力、推理能力和抽象概括能力. 同時，學(xué)生樂思考、善合作，具有較強的合作探究意識. 在本課學(xué)習(xí)前，學(xué)生具有探究兩點間距離的活動經(jīng)驗. 以上經(jīng)驗、能力為教學(xué)活動的順利開展提供了智力支持和方法保障.

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握點到直線的距離公式，能應(yīng)用公式解決一些簡單問題;

（2）理解公式的推導(dǎo);

（3）滲透數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神;

（4）培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生理解并掌握數(shù)學(xué)研究方法，體驗數(shù)學(xué)探索的樂趣，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

3. 教學(xué)重難點

點到直線距離公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.

教學(xué)實錄

本課內(nèi)容既是高考的重要考點之一，又是學(xué)習(xí)解析幾何的基礎(chǔ)之一，其在整個高中解析幾何中有著重要作用. 在本課教學(xué)中，教師精心預(yù)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、思考、猜想、探索等活動推導(dǎo)點到直線的距離公式，發(fā)現(xiàn)并證明兩直線間的距離公式.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

出示問題：已知平面內(nèi)一點P（x0，y0）和一條直線l：Ax+By+C=0，試求點P到直線l的距離d.

問題給出后，教師預(yù)留充足的時間讓學(xué)生獨立思考，學(xué)生很快就有了解題思路.

生1：如圖1所示，過點P作直線l的垂線，垂足為H，將問題轉(zhuǎn)化為求兩點間的距離，即求PH的長.

師：是一個不錯的想法，將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的內(nèi)容. 請按照這個思路試一試，看看操作起來會怎樣.

生2：這個思路操作起來會很煩瑣.

師：你是如何判斷它煩瑣的呢？

生2：教材上看到的. （學(xué)生笑）

從學(xué)生的課堂反饋來看，大多數(shù)學(xué)生課前做了預(yù)習(xí)，不過從預(yù)習(xí)反饋來看，大多數(shù)學(xué)生走馬觀花，僅是簡單的預(yù)覽，并沒有動手實踐.

師：看來大家通過預(yù)習(xí)發(fā)現(xiàn)該方法運算煩瑣，現(xiàn)在我們一起來看一下具體是如何運算的. （教師投影展示）

由點到直線的距離定義可知，點P到直線l的距離為點P到直線l的垂線段的長. 設(shè)過點P的直線l的垂線為l′，垂足為H，則l′的方程為y-y=（x-x），與l的方程聯(lián)立成方程組，解得點H的坐標(biāo)為

，

，則PH2=

-x

+

-x

=

+

=+=，故d=PH=.

師：上述方法雖然運算過程煩瑣，但其思路簡單，易于理解. 你們是否還有其他求距離的方法呢？

生3：等積法.

師：具體說一說你是如何推導(dǎo)的.

生3：如圖3所示，過點P作PM∥y軸，過點P作PN∥x軸，PM=

，PN=

（易證）. 在Rt△MPN中，PH為斜邊MN的高，所以PH==.

師：大家預(yù)習(xí)的效果非常好，思路清晰.

設(shè)計意圖 借助問題檢查學(xué)生對教材的掌握情況，從課堂反饋來看，大多數(shù)學(xué)生對課本內(nèi)容較為熟悉，給出了不同的推導(dǎo)方案，學(xué)生的反應(yīng)和回答都在預(yù)設(shè)之中. 以上分別運用代數(shù)法和幾何法完成了公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生感悟到了不同方法的價值. 在教學(xué)中，教師與學(xué)生一同經(jīng)歷了公式的推導(dǎo)過程，拉近了師生間的距離，有效地提升了學(xué)生的解題信心. 同時在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了直觀觀察、動手實踐、思考分析等學(xué)習(xí)過程，有效鍛煉了學(xué)生的思維，讓學(xué)生感受到了用數(shù)形結(jié)合思想方法解決解析幾何問題的價值.

2. 師生互動，合作探究

在教師引導(dǎo)學(xué)生回顧推導(dǎo)方法時，有些學(xué)生躍躍欲試想要表達什么，可見他們有了新想法. 雖然學(xué)生的新想法可能會打亂教學(xué)預(yù)設(shè)的節(jié)奏，但教師還是選擇尊重課堂生成，給學(xué)生充分展示自己的機會.

師：現(xiàn)在有的學(xué)生又有了新的發(fā)現(xiàn)，我們一起來看一看都發(fā)現(xiàn)了什么.

生4：不求H點的坐標(biāo)也可以求出距離d.

師：哦，是嗎？這個我并未嘗試過，請你說一說具體應(yīng)該怎么做.

生4：設(shè)點H（x，y），則Ax+By+C=0，而k=，所以=，則B（x-x）-A（y-y）=0①. 由Ax+By+C=0可得Ax-Ax+By-By=-C-Ax-By，所以A（x-x）+B（y-y）= -（Ax+By+C）②……

師：非常好，這是一個非常不錯的想法，看來生4在課前有過深入思考. 請生4先坐下，大家思考一下接下來該如何求距離d. （教師適時打斷生4說話，給其他學(xué)生預(yù)留一定的思考空間，讓其他學(xué)生能夠通過獨立思考完成下面內(nèi)容的探究）

師：大家以小組為單位交流一下自己的想法. （學(xué)生積極交流，教師巡視，課堂氣氛熱烈）

師：現(xiàn)在請生5完成剩下的內(nèi)容. （教師點名讓學(xué)生完成）

生5：由Ax+By+C=0知Ax-Ax+By-By=-C-Ax-By，所以A（x-x）+B（y-y）=-（Ax+By+C）②. 又B（x-x）-A（y-y）=0 ①，①和②分別平方后相加得（A2+B2）[（x-x）2+（y-y）2]=（Ax+By+C）2，所以d==.

師：非常完美的解答過程，感謝生4給我們提供了這么精彩的解題思路，現(xiàn)在我們一起回顧一下以上求解過程.

師：注意到d=PH=，因此求（x-x）2+（y-y）2即可. 在整個解題過程中是否需要求點H的坐標(biāo)呢？

學(xué)生齊聲答：不需要.

師：我們雖然設(shè)了點H的坐標(biāo)，但是在求解過程中卻不需要求出H的坐標(biāo)，這樣的數(shù)學(xué)思想方法叫什么？

學(xué)生齊聲答：“設(shè)而不求”思想方法.

師：很好，這個方法之前我們也接觸過，那么運用“設(shè)而不求”思想方法解題時，往往還涉及什么思想方法呢？

學(xué)生齊聲答：整體代換思想方法.

師：非常好，運用“設(shè)而不求”思想方法減少了運算量，這一思想方法在解決解析幾何問題時有著重要作用，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.

設(shè)計意圖 該班學(xué)生的基礎(chǔ)較好，有著良好的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣，為了能夠調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，教師改變傳統(tǒng)的講授式教學(xué)，而將研究性學(xué)習(xí)引入課堂，充分展現(xiàn)了學(xué)生的思維過程，使學(xué)生真正成了課堂的主人. 在教學(xué)中，教師為學(xué)生提供了自我展示的舞臺，鼓勵學(xué)生表達不同的看法. 生4給出解題思路后，教師適時打斷了他發(fā)言，為其他學(xué)生提供了一定的思考時間，以此讓大多數(shù)學(xué)生都能參與其中，積累豐富的活動經(jīng)驗.

課堂教學(xué)是動態(tài)的，在課堂上可能會出現(xiàn)許多的“突發(fā)奇想”，教師對這些“突發(fā)奇想”的處理方式直接影響著課堂效果. 在教學(xué)中，教師如果僅按照預(yù)設(shè)教學(xué)，講授完兩種不同的推導(dǎo)方法后就直接運用公式解決問題，課堂上就會錯失剛才的精彩. “生成”是寶貴的教學(xué)資源，教師應(yīng)用心摘取，這樣既有利于激發(fā)學(xué)生的主觀能動性，又能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維. 在教學(xué)中，教師應(yīng)尊重課堂生成，通過“教”與“學(xué)”的協(xié)同發(fā)展，激發(fā)學(xué)生的思維火花，優(yōu)化學(xué)生的認知. 總之，在教學(xué)過程中，教師不要一味地追時間、趕進度，要學(xué)會放慢腳步，為學(xué)生提供獨自思考和合作交流的時間與空間，為學(xué)生搭建平等交流的舞臺，使學(xué)生的思維水平和學(xué)習(xí)能力在獨立思考和互動交流中不斷上升.

3. 乘勝追擊，拓展提升

經(jīng)過剛才探究，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情高漲，教師抓住機會乘勝追擊，進一步深化學(xué)生的認知.

師：當(dāng)點H在直線l上運動時，PH的長有何變化特點？

生6：PH有最小值，即當(dāng)PH與直線l垂直時取最小值.

師：很好，那么如何求PH的最小值呢？（學(xué)生陷入沉思）

生7：PH2=（x-x）2+（y-y）2=（x-x）2+

-

x-

-y，這樣將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值.

師：很好，利用函數(shù)法能否求PH的最小值？（學(xué)生深思）

生8：上式展開得PH2= x2+x-2x0x+x2+

+

y+

+

yx. 接下來繼續(xù)展開，但我還沒有想清楚展開后該如何處理.

生9：可以分別合并含有x2，x的項和常數(shù)項，整理后得PH2=x2+

+

y

-2xx+

+

y+x.

（接下來師生合作共同完成公式的推導(dǎo)，學(xué)生積極參與，課堂氣氛活躍）

設(shè)計意圖 教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進行思考，運用不同的方法解決問題，通過解法的拓展來豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，將學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)興趣在積極參與的過程中激發(fā)出來.

師：以上我們分別利用定義法、三角形面積法、“設(shè)而不求”法、函數(shù)法等方法進行了公式推導(dǎo)，其實該公式的推導(dǎo)并不限于以上幾種方法，因限于時間，課上不再一一講解如向量法、轉(zhuǎn)化法等方法，請同學(xué)們課下通過小組探究的方式探尋其他方法.

設(shè)計意圖 學(xué)生具有無限的創(chuàng)造力，不過學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)離不開教師的引導(dǎo)和激發(fā). 教師鼓勵學(xué)生課后繼續(xù)探尋其他的推導(dǎo)方法，以此通過適度拓展激發(fā)思維活力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)信心.

4. 學(xué)以致用，鞏固提升

師：剛剛大家利用不同方法推導(dǎo)出了點到直線的距離公式，思考以下問題如何求解. （教師用PPT給出例題）

例題1：已知點P的坐標(biāo)為（2，1），求點P到直線l：2x-3=0的距離.

例題2：已知點P的坐標(biāo)為（-3，4），求點P到直線l：4y=3x+10的距離.

例題3：已知直線l經(jīng)過點（-2，3），且原點到直線l的距離為2，求直線l的方程.

對于例題1和例題2，學(xué)生套用公式即可給出答案. 對于例題3，部分學(xué)生因忽視直線斜率是否存在而出現(xiàn)了漏解，教師對此進行了重點講解.

師：對于例題3，誰來說一說，應(yīng)該如何求解呢？

生10：根據(jù)已知，設(shè)直線l的方程為y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，由d==2，得k=-，即直線l的方程為5x+12y-26=0.

師：很好，靈活運用點到直線的距離公式解決了問題，那么對于這一過程，你們是否需要補充？

生11：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=-2，符合“原點到直線l的距離為2”這一條件，此時所求直線l的方程為x=-2.

設(shè)計意圖 公式的運用是學(xué)習(xí)公式的重要組成部分. 在完成公式的推導(dǎo)后，引導(dǎo)學(xué)生運用公式解決問題，通過具體應(yīng)用達到鞏固所學(xué)知識的目的. 在教學(xué)中，教師精心設(shè)計問題，通過具體應(yīng)用進一步強化學(xué)生的分類討論思想，培養(yǎng)其思維的嚴謹性. 在運用公式解決問題時，教師將主動權(quán)交給學(xué)生，靈活應(yīng)用解題時出現(xiàn)的“生成”，通過互動交流不斷完善學(xué)生的認知，避免單一講授所帶來的機械模仿，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性和深刻性，提升學(xué)生的解題能力.

5. 課堂小結(jié)，升華認知

師：回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，你有哪些收獲？

生12：我不僅掌握了點到直線的距離公式，而且理解了其推導(dǎo)過程.

生13：理解了設(shè)而不求、整體代換等思想方法重要的應(yīng)用價值.

生14：解決解析幾何問題時會經(jīng)常遇見一些復(fù)雜運算，面對復(fù)雜運算時應(yīng)重視方法.

生15：解決問題時要善于多角度分析，這樣可能會有不同的發(fā)現(xiàn).

……

師：大家說得非常好，在學(xué)習(xí)中不僅要思考，而且要敢于創(chuàng)新，要大膽地將自己的想法表達出來，這樣往往會收獲更多.

設(shè)計意圖 通過課堂小結(jié)幫助學(xué)生總結(jié)方法，提煉思想，提升認識. 課堂小結(jié)可謂數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的組成部分之一，不過在實踐教學(xué)中，受傳統(tǒng)“題?！钡挠绊?，教師常常側(cè)重“多講多練”，占據(jù)了學(xué)生反思小結(jié)的時間，這樣既不利于提升學(xué)生的概括能力，也不利于培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣. 因此，教師應(yīng)預(yù)留時間讓學(xué)生反思、交流，以此升華認知，提升綜合素養(yǎng).

教學(xué)思考

在本節(jié)課教學(xué)中，教師根據(jù)課堂生成靈活調(diào)整預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)，以公式的運用為點綴，將教學(xué)重點放在公式的推導(dǎo)上，雖然表面上偏離了教學(xué)目標(biāo)，未完成教學(xué)計劃，但是課堂上通過平等和互動的交流讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了解決問題的辦法，培養(yǎng)了學(xué)生的探究性思維，提高了學(xué)生的創(chuàng)造力.

在教學(xué)中，教師及時捕捉關(guān)鍵信息，引導(dǎo)學(xué)生展開積極思考，通過對知識的深度挖掘和拓展有效地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高了學(xué)生分析和解決問題的能力. 在教學(xué)中，教與學(xué)相互激發(fā)，協(xié)同發(fā)展，使課堂成就了別樣精彩.

總之，在課堂教學(xué)中，教師既要精心預(yù)設(shè)又要及時生成，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，鼓勵學(xué)生去思考、去實踐、去合作、去表達，以此打造有效、高質(zhì)的數(shù)學(xué)課堂.