王玉花　劉新柱

摘? ? 要：文章以擺線教學(xué)為載體，從培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)獲取能力、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、實(shí)踐動(dòng)手能力等方面著手，提出實(shí)踐路徑。課上教師要重視數(shù)學(xué)思想的滲透，注重知識(shí)的延伸拓展，給學(xué)生更多的機(jī)會(huì)掌握多種數(shù)學(xué)思想和方法；課外要開設(shè)專題講座，拓展知識(shí)的輻射范圍，提升工科學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力；課下要成立討論小組，通過實(shí)踐環(huán)節(jié)激發(fā)學(xué)生的潛能，提升學(xué)生的創(chuàng)新能力；建立課程網(wǎng)站，設(shè)置建模專欄，定期推送建模案例，豐富學(xué)生的知識(shí)底蘊(yùn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；擺線；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；教學(xué)實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G642? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? 文章編號(hào)：1002-4107（2023）05-0016-03

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020

年）》第七章高等教育部分提出了“重點(diǎn)擴(kuò)大應(yīng)用型、復(fù)合型、技能型人才培養(yǎng)規(guī)模”的培養(yǎng)目標(biāo)；同時(shí)，為適應(yīng)新時(shí)代對(duì)人才的要求，高等院校越來越重視對(duì)學(xué)生能力和素質(zhì)的培養(yǎng)，新工科建設(shè)對(duì)工科學(xué)生的綜合素質(zhì)有了更高的要求。數(shù)學(xué)是工科學(xué)生解決實(shí)際問題的重要工具，是一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是工科學(xué)生必備的基本素養(yǎng)之一。近年來，眾多教育工作者都致力于提高工科學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中更加關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，更加重視數(shù)學(xué)實(shí)踐能力的培養(yǎng)，更加注重學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升[1]。

一、工科學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力現(xiàn)狀分析

為培養(yǎng)應(yīng)用型人才，新工科建設(shè)要求工科學(xué)生要具有較強(qiáng)的專業(yè)技能，特別是具備解決實(shí)際問題的能力。這就要求學(xué)生要理解數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)方法，能夠?qū)?shí)際問題進(jìn)行合理的量化，用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)公式建立模型并求解模型。但是，目前工科學(xué)生的建模能力普遍不高。教師在教學(xué)過程中更關(guān)注學(xué)生的邏輯思維和運(yùn)算技能訓(xùn)練，而忽略建模能力的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)課程考核方式和考核內(nèi)容也多以計(jì)算證明為主。在日常的學(xué)習(xí)中，學(xué)生也更注重運(yùn)算技巧、理論推導(dǎo)的練習(xí)，而忽略了建模知識(shí)的學(xué)習(xí)，從而導(dǎo)致其數(shù)學(xué)建模能力不高。為了培養(yǎng)學(xué)生的建模能力和應(yīng)用情感，教師有必要對(duì)課堂教學(xué)進(jìn)行改革，在課堂上引入與專業(yè)相關(guān)的工程實(shí)踐知識(shí)，初步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生解決問題的能力。

二、提升工科學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的理論研究

數(shù)學(xué)建模是工科學(xué)生必須掌握的一項(xiàng)數(shù)學(xué)技能，因此，教師應(yīng)在授課過程中滲透建模思想、講授建模方法、培養(yǎng)建模興趣，提高工科學(xué)生的建模能力。

（一）重視數(shù)學(xué)思想，萌發(fā)建模意識(shí)

數(shù)學(xué)思想是建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，蘊(yùn)含在知識(shí)的生成過程中，教師要善于挖掘和分析教學(xué)內(nèi)容，巧妙地將數(shù)學(xué)思想融入教學(xué)環(huán)節(jié)。通過理論教學(xué)幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)思想，萌發(fā)建模意識(shí)。教師還可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)引入數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)悖論、數(shù)學(xué)家的軼事，于知識(shí)的發(fā)展史過程中探尋數(shù)學(xué)思想，于數(shù)學(xué)家的故事中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，于數(shù)學(xué)悖論中分析數(shù)學(xué)思想，特別是在探析知識(shí)的生成過程中提取數(shù)學(xué)思想，以便學(xué)生有更多機(jī)會(huì)掌握多種思想和方法，為分析問題提供準(zhǔn)確思路，為建立模型提供高效的方法。

（二）參透數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)建模興趣

工科學(xué)生在專業(yè)課程學(xué)習(xí)中，要用到很多數(shù)學(xué)理論，而有一些理論在教學(xué)大綱中并未提及，這就要求教師上課時(shí)要拓展這些內(nèi)容，可借助定義法、構(gòu)造法、向量法、微元法、數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生掌握理論知識(shí)，了解解決問題的方法。對(duì)于大一新生，教師要利用習(xí)題課對(duì)數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納總結(jié)，并通過實(shí)例講解讓學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用范圍有所了解，從而更易掌握準(zhǔn)確的建模方法，同時(shí)學(xué)生也能體驗(yàn)到探索知識(shí)的成功感。在教學(xué)過程中，教師要注重知識(shí)的聯(lián)系與拓展，使學(xué)生在生活實(shí)例中參透數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)發(fā)散思維，提高學(xué)習(xí)興趣，為科學(xué)研究提供必要的準(zhǔn)備。

（三）擴(kuò)展輻射范圍，提高建模能力

由于學(xué)時(shí)有限，教師在課堂上很難深入講解與工科學(xué)生密切相關(guān)的工程問題。教師有必要利用課外時(shí)間開設(shè)專題講座，詳細(xì)講解所授內(nèi)容在工程中的應(yīng)用，以提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。講座內(nèi)容既要與所學(xué)知識(shí)密切相關(guān)，又要在本科生的接受能力范圍之內(nèi)。教師可將講座內(nèi)容做成短視頻，方便學(xué)生自行學(xué)習(xí)。以專題講座為載體，豐富課外教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生后續(xù)課堂學(xué)習(xí)提供充分的理論基礎(chǔ)，也為學(xué)生研究專業(yè)理論提供必備的數(shù)學(xué)工具。

（四）發(fā)展建模潛能，培養(yǎng)創(chuàng)新精神

教師要豐富課外教學(xué)活動(dòng)，組建“本科生討論班”，設(shè)置與專業(yè)相關(guān)的建模問題或課程小論文，讓學(xué)生以小組形式加以探究，集思廣益，擴(kuò)展思路；還可以成立“師生討論組”，建立學(xué)習(xí)共同體，于日常的溝通交流中實(shí)現(xiàn)從知識(shí)傳承向創(chuàng)新能力的轉(zhuǎn)變。此外，教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極參加各級(jí)各類建模競(jìng)賽，指導(dǎo)他們申報(bào)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)創(chuàng)新項(xiàng)目，還要鼓勵(lì)學(xué)生加入教師的科研團(tuán)隊(duì)，以成果導(dǎo)向?yàn)槟繕?biāo)，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，創(chuàng)設(shè)有益于學(xué)生提高綜合素質(zhì)的情境。通過課外實(shí)踐環(huán)節(jié)，學(xué)生可以在體驗(yàn)知識(shí)的形成過程中逐漸提高自主學(xué)習(xí)意識(shí)，激發(fā)潛能，提高建模能力和創(chuàng)新能力。

（五）建設(shè)課程網(wǎng)站，補(bǔ)充建模案例

搭建網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，構(gòu)建數(shù)學(xué)課程網(wǎng)站，設(shè)置數(shù)學(xué)建模專欄，編寫與工科專業(yè)相關(guān)的工程教學(xué)案例、實(shí)踐教學(xué)案例，定期在專欄里向?qū)W生推送，豐富學(xué)生的知識(shí)底蘊(yùn)；帶動(dòng)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿，重視所學(xué)知識(shí)在現(xiàn)代科學(xué)中的應(yīng)用，以崇尚科學(xué)為榮，樹立正確的科學(xué)觀。設(shè)置網(wǎng)絡(luò)答疑專欄，及時(shí)回答學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的疑惑，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。

三、提升工科學(xué)生建模素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐研究

文章以擺線的教學(xué)實(shí)踐為例，探討教學(xué)各環(huán)節(jié)中如何培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（一）探索知識(shí)的生成過程，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)

擺線是生活中常見的曲線，也是工程應(yīng)用中的重要曲線。例如，過山車的軌跡曲線和許多構(gòu)件的形狀都呈擺線狀態(tài)，對(duì)擺線性質(zhì)的深入研究能為學(xué)生學(xué)習(xí)打下穩(wěn)固的基礎(chǔ)?！案叩葦?shù)學(xué)”課程中，很多理論都涉及擺線方程，如求解擺線一拱的長度、擺線一拱與橫軸圍成圖形的面積，以及此面積繞橫軸或縱軸旋轉(zhuǎn)一圈所得旋轉(zhuǎn)體的體積等。這些不規(guī)則量的求解過程就是一個(gè)簡單的建模過程，采用大化小、常代變、近似求和、取極限的數(shù)學(xué)思想建立積分模型，利用積分學(xué)的計(jì)算方法求解模型，解決實(shí)際問題。在建立積分模型的過程中，用到了化整為零的微元思想、以直代曲的線性化思想、以常代變的近似思想、積零為整的求和思想和無限逼近的極限思想。除了幾何意義外，擺線還有重要的物理意義。例如，忽略其他受力，在只有重力作用的情況下，物體從一個(gè)點(diǎn)降到比它低的點(diǎn)時(shí)，沿?cái)[線路徑用時(shí)最短，所以擺線又稱為最速降線。過山車車道的設(shè)計(jì)正是應(yīng)用了最速降線原理，讓游戲者體驗(yàn)快速運(yùn)動(dòng)。再如，滑雪運(yùn)動(dòng)員若能滑出擺線軌跡，也將會(huì)實(shí)現(xiàn)最短時(shí)間賽程。在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生在簡單的建模過程和生活實(shí)例中，體驗(yàn)了從具體到抽象、從有限到無限、從特殊到一般的探知過程，也可以了解到數(shù)學(xué)思想在解決問題過程中的重要性，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

（二）討論擺線的方程分類，提高學(xué)生的建模能力

高等數(shù)學(xué)教材的部分內(nèi)容是研究心臟線和星形線的，但對(duì)于這些曲線的形成則沒有介紹。心臟線方程是極坐標(biāo)系表達(dá)，雖然看似與擺線無關(guān)，但這些重要曲線方程卻是擺線理論的延伸和拓展。在進(jìn)行擺線理論教學(xué)時(shí)，教師可以根據(jù)學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行拓展，對(duì)擺線類型進(jìn)行分類討論。例如，有一個(gè)動(dòng)圓在直線上做無滑動(dòng)的純滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上、動(dòng)圓內(nèi)和動(dòng)圓外一點(diǎn)的軌跡方程分別稱為平擺線方程、短幅擺線方程和長幅擺線方程，長、短幅擺線又稱次擺線，都是以直線為基線；當(dāng)一個(gè)動(dòng)圓在一個(gè)定圓上無滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)，若兩圓相內(nèi)切，小圓在大圓上滾動(dòng)，動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡方程稱為圓內(nèi)旋輪線，也稱為內(nèi)擺線；若兩圓相外切，小圓在大圓外滾動(dòng)，動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡方程稱為圓外旋輪線，也稱為外擺線；而大圓在小圓外滾動(dòng)，動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡方程稱為環(huán)擺線方程，是以圓為基線[2]。常見的星形線方程就是內(nèi)擺線方程，而心臟線方程正是環(huán)擺線方程。此外，還有基線為橢圓的其他擺線。擺線的種類繁多，教師可根據(jù)生活常識(shí)簡要介紹這些擺線的形成過程。例如，講授次擺線理論時(shí)，讓學(xué)生想象火車前進(jìn)過程中車輪外一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)曲線狀態(tài)；講授內(nèi)擺線理論時(shí)，讓學(xué)生觀察公交車車門開關(guān)時(shí)劃過的曲線形狀。從生產(chǎn)生活中選取蘊(yùn)含數(shù)學(xué)本質(zhì)的實(shí)例進(jìn)行教學(xué)，并引導(dǎo)學(xué)生把方法遷移到其他問題上，從而提高學(xué)生的建模能力。

（三）研究擺線的工程應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用情感

對(duì)于機(jī)械設(shè)計(jì)與制造專業(yè)學(xué)生來說，齒輪傳動(dòng)問題是必須掌握的重要知識(shí)，其中擺線齒輪傳動(dòng)尤為重要。擺線齒輪傳動(dòng)是將凸形外擺線與凹形內(nèi)擺線相嚙合，相比于一般的齒輪傳動(dòng)，擺線齒輪傳動(dòng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、磨損均勻、傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)。擺線齒輪傳動(dòng)方式多種多樣，除了普通的齒輪傳動(dòng)外，還有齒輪齒條傳動(dòng)、蝸輪蝸桿傳動(dòng)等[3]。這些傳動(dòng)在生活中隨處可見，如機(jī)械表的走針機(jī)構(gòu)采用的是普通的齒輪傳動(dòng)、電風(fēng)扇的擺風(fēng)機(jī)構(gòu)采用的是蝸輪蝸桿傳動(dòng)；此外，攪拌機(jī)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)和變速箱中的齒輪變速器機(jī)構(gòu)等復(fù)雜的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)都應(yīng)用了擺線原理。對(duì)于農(nóng)業(yè)機(jī)械化及其自動(dòng)化專業(yè)學(xué)生，講座中可增設(shè)余擺線理論。平擺線是圓輪在直線上無滑動(dòng)滾動(dòng)時(shí)圓周上固定點(diǎn)的軌跡曲線；而一些農(nóng)業(yè)機(jī)械作業(yè)時(shí)，工作部分一邊繞軸線勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，一邊隨機(jī)組做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即同時(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)和平移兩種運(yùn)動(dòng)，如插秧機(jī)的分插輪、收割機(jī)的拔禾輪的運(yùn)動(dòng)等，這種運(yùn)動(dòng)軌跡曲線稱為余擺線[4]。若將擺點(diǎn)由一點(diǎn)擴(kuò)展為動(dòng)點(diǎn)序列，序列擺點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡稱動(dòng)擺線。動(dòng)擺線的運(yùn)動(dòng)軌跡十分復(fù)雜，可以為安全底紋防偽設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)[5]，也為現(xiàn)代藝術(shù)設(shè)計(jì)提供神奇的創(chuàng)造力，創(chuàng)造出各種優(yōu)美的藝術(shù)曲線。此外，講座還可簡單涉及泛擺線，其理論雖超出本科生接受范圍，但依據(jù)泛擺線原理制作的泛擺線泵應(yīng)用于我國多種型號(hào)航空發(fā)動(dòng)機(jī)中[6]，在一些尖端項(xiàng)目中有著重要的作用，可以讓學(xué)生對(duì)泛擺線形成簡單的概念意識(shí)，儲(chǔ)備更多的專業(yè)知識(shí)。引入與專業(yè)相關(guān)的工程實(shí)踐知識(shí)，初步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，有利于學(xué)生對(duì)理論知識(shí)獲得更好的感性認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)踐相結(jié)合，培養(yǎng)其應(yīng)用情感和應(yīng)變能力。

課下，教師還可以讓學(xué)生分組完成課程小論文，如余擺線的建立過程、觀察工程中哪些機(jī)構(gòu)采用擺線齒輪傳動(dòng)等，讓學(xué)生以小組形式觀察、分析并解決問題。在問題的探究過程中拓展學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神。

在擺線的課堂和課外教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中，把教學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)思想統(tǒng)一，把理論基礎(chǔ)與建模能力統(tǒng)一，把知識(shí)傳承與創(chuàng)新意識(shí)統(tǒng)一。將抽象的、枯燥的授課內(nèi)容變?yōu)榫唧w的、活潑的教學(xué)活動(dòng)。在課堂上拓展延伸理論知識(shí)，通過實(shí)踐案例，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力；在課外成立學(xué)生討論組，組建學(xué)習(xí)共同體，進(jìn)一步提升學(xué)生的建模能力，從多角度培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)（圖1）。

四、結(jié)束語

提升工科學(xué)生的建模能力是培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力人才的重要措施之一，教師應(yīng)把提升工科學(xué)生建模素養(yǎng)的目標(biāo)融入教學(xué)環(huán)節(jié)和教學(xué)活動(dòng)全過程，從側(cè)重學(xué)生的知識(shí)獲取能力、實(shí)踐動(dòng)手能力、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)等方面著手，夯實(shí)理論基礎(chǔ)、拓展知識(shí)外延、培養(yǎng)應(yīng)用情感、提升建模能力，為培養(yǎng)新時(shí)代創(chuàng)新人才貢獻(xiàn)力量。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 杜鍵，胡紅娟，夏靜.大學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)探索與實(shí)踐[J].黑龍江科學(xué)，2021，12（23）：57.

[2]? 張麗娜.擺線及其相關(guān)問題[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2011（4）：30.

[3]? 吳林.新型擺線傳動(dòng)裝置關(guān)鍵技術(shù)與應(yīng)用研究[D].武漢：武漢理工大學(xué)，2016.

[4]? 刁海豐，張偉，付曉明，等.行星齒輪式旱地栽植機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡分析及優(yōu)化[J].農(nóng)機(jī)化研究，2012，34（6）：32.

[5]? 元文法，李曉龍，楊斌，等.動(dòng)擺線及其在安全底紋設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2008（2）：270.

[6]? 曹逸韜.高轉(zhuǎn)速航空泛擺線滑油泵的研究[D].南昌：南昌航空大學(xué)，2015.

編輯 李夢(mèng)迪