任靜靜,梅雪暉,羅續(xù)鵬,常忠雪

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

隨著互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展,謠言在社交網(wǎng)絡(luò)上的傳播變得越來越廣.謠言是一種沒有任何事實(shí)依據(jù)且被任意捏造的虛假信息,會造成不良的社會影響.因此,對謠言傳播機(jī)制的研究意義重大.二十世紀(jì),謠言傳播模型就被國內(nèi)外學(xué)者廣泛研究.Daley 和Kendall[1]于1965 年提出了經(jīng)典的DK 謠言傳播模型,為研究謠言傳播奠定了基礎(chǔ).隨后,Maki 和Thompson 在1973 年改進(jìn)DK 謠言模型,并提出了MT 謠言傳播模型[2].隨著研究的深入,學(xué)者們開始考慮復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì).例如,Zanette[3－4]建立了小世界網(wǎng)絡(luò)的謠言傳播模型,并指出網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會極大地影響謠言傳播.Moreno 等[5]建立了基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的謠言傳播模型,并推導(dǎo)出謠言的傳播速率受網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響.隨后,越來越多的學(xué)者開始研究網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲械闹{言傳播模型,并取得了優(yōu)異的成果[6－7].然而,大多數(shù)研究是基于單一語言環(huán)境下的謠言傳播機(jī)制[8－10],多語言環(huán)境很少被考慮.

通常情況下,多語言會增加謠言傳播的復(fù)雜性.研究表明,在多語言環(huán)境中可以更準(zhǔn)確地模擬真實(shí)世界的情況.例如,Li 等[11]建立并分析了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的2I2SR 謠言傳播模型,并通過平均場方程研究了模型的動力學(xué).Wang 等[12]根據(jù)不同的語言將所有個體分成不同的組,并建立新的具有雙線性發(fā)生率的交叉?zhèn)鞑C(jī)制模型來分析和研究謠言的傳播過程.值得注意的是,發(fā)生率在謠言傳播中起著重要作用,它主要包括雙線性發(fā)生率和非線性發(fā)生率.雙線性發(fā)生率的特點(diǎn)是傳播者數(shù)量是線性增加的,然而,謠言傳播與個人心理素質(zhì)密切相關(guān),每個人心理素質(zhì)不同,傳播謠言的概率就會不同.使用雙線性發(fā)生率則會有一定的局限性,而非線性發(fā)生率是將個體差異考慮在內(nèi),從而能更好地研究謠言的傳播.

除了考慮到時滯對謠言傳播和控制的影響,許多學(xué)者還考慮多種機(jī)制來控制謠言傳播.例如,猶豫機(jī)制[13]、懷疑機(jī)制[14]等等.然而,懲罰機(jī)制很少被提出,因此本文提出了一種懲罰機(jī)制來控制謠言的傳播.同時,我們還需要控制懲罰措施的成本,在控制謠言的基礎(chǔ)上將成本降到最低,所以提出了最優(yōu)化控制策略.

基于以上分析,本文提出了一種多語言環(huán)境下具有懲罰機(jī)制和時滯的謠言傳播模型,并利用優(yōu)化理論對懲罰機(jī)制進(jìn)行控制.本文的主要工作如下:

(i) 建立了具有非線性發(fā)生率的謠言傳播模型,考慮到謠言傳播與人們心理素質(zhì)密切相關(guān),不同的人相信謠言的概率不同,使用非線性發(fā)生率更有利于謠言傳播的研究;

(ii) 從理論上分析了時滯對謠言傳播的影響,并在數(shù)值模擬中得以驗證;

(iii) 引入了懲罰機(jī)制,對傳播者實(shí)施相應(yīng)的懲罰措施,可以更好地抑制謠言的傳播;

(iv) 為了降低傳播者的密度和成本,提出了帶有時滯的最優(yōu)化控制.

1 模型建立

隨著在線社交網(wǎng)絡(luò)平臺的發(fā)展,用戶可以在平臺上發(fā)布和轉(zhuǎn)發(fā)一些信息,其中包括世界各地的語言.假設(shè)在線社交網(wǎng)絡(luò)的總?cè)藬?shù)用N(t)來表示,我們將總?cè)丝诜譃槲孱?無知者IH(t)代表不知道謠言但易感染且受教育程度高的用戶,無知者IL(t)代表不知道謠言但易感染且受教育程度低的用戶,傳播者S1(t)代表知道并可以通過母語和外語傳播謠言的用戶,傳播者S2(t)代表知道但只能通過母語傳播的用戶,R(t)代表知道謠言但對謠言失去興趣不再傳播謠言的用戶.同時我們有以下關(guān)系IH(t)+IL(t)+S1(t)+S2(t)+R(t)N(t).

如圖1 所示,IH(t)是通曉母語和其它國外語言的高教育者,可以與S1(t)或S2(t)接觸,成為傳播者.而IL(t)是只懂母語的低教育者,只有與S2(t)接觸才能成為傳播者.又因為教育不能在短時間內(nèi)得到改善,所以我們需要對低教育者進(jìn)行短期在線視頻教育γL,幫助他們了解真相識別謠言.同時,無知者IH(t)和IL(t)本身具有一定的分析識別謠言的能力,可以自行恢復(fù)成免疫者R(t).

圖1 2I2SR 謠言傳播倉室圖

設(shè)IH(t),IL(t),S1(t),S2(t)和R(t)分別表示在t 時刻五類狀態(tài)的密度,則由圖1 可知,其模型表示如下:

模型(1) 中參數(shù)含義如表1所示.結(jié)合實(shí)際情況,所有參數(shù)均存在且為正,其初始條件為:

表1 2I2SR 謠言傳播模型參數(shù)含義

注1從圖1 可以看出,與Yu 等[15]中的模型不同,我們根據(jù)受教育程度對謠言無知者進(jìn)行分類,分為高教育者IH(t)和低教育者IL(t).同時,無知者自身有一定的能力識別謠言恢復(fù)成R(t).但是IL(t)的自愈能力較低,需要對其采取短期在線視頻教育.

注2由于受教育程度不同,他們識別謠言的能力會有所不同.受教育程度高的人比受教育程度低的人更容易辨別謠言.即IL(t)的自恢復(fù)能力低于IH(t),因此移出率αH＞αL.

對于模型(1)解的非負(fù)性,可以得出以下結(jié)論.

引理1對任意t ≥0,模型(1)滿足初始條件(2)的解(IH(t),IL(t),S1(t),S2(t),R(t))為正.

證明根據(jù)模型(1)第一個方程

類似的,可以證明IL(0)＞0,S1(0)＞0,S2(0)＞0,并且R(0)＞0.因此,對任意的t ≥0,模型(1)具有初始條件(2)的解(IH(t),IL(t),S1(t),S2(t),R(t))都是正的.

2 2I2SR 模型的動力學(xué)分析

接下來,我們利用下一代矩陣計算模型(1)的平衡點(diǎn)和基本再生數(shù),并且利用Routh-Hurwitz 判據(jù)和LaSalle不變原理討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.

2.1 模型的平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

將S1(t)S2(t)0 帶入模型(1)中,可以得到無謠言平衡點(diǎn)E0(Λ1/(d+αH),Λ2/(d+αL+γL),0,0),接著用下一代矩陣法計算基本再生數(shù)R0.設(shè)χ(S1(t),S2(t),IH(t),IL(t))T,則模型(1)可簡化為

定義基本再生數(shù)R0為矩陣FV－1的譜半徑,其中基本再生數(shù)R0max{R01,R02},并且R01(β1〈k〉Λ1)/(d+αH)(φ1+μ1+d),R02〈k〉/(φ2+μ2+d)[(Λ1β1)/(d+αH)+Λ2β2/(d+αL+γL)].

2.2 穩(wěn)定性分析

為了進(jìn)一步研究多語言環(huán)境下謠言傳播的過程,將對模型(1)的平衡點(diǎn)進(jìn)行分類討論.定理1 和定理2 分別對無謠言平衡點(diǎn)E0的局部和全局穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)討論,定理3 和定理4 分別討論了謠言盛行平衡點(diǎn)E*的穩(wěn)定性.

接下來,我們首先給出一個定理來解決模型(1)的無謠言平衡的局部穩(wěn)定性.

定理1若R0＜1,則模型(1)的無謠言平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.若R0＞1,則無謠言平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.

證明

因此,當(dāng)R0＜1 時,無謠言平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.當(dāng)R0＞1 時，E0則是不穩(wěn)定的.

定理1 證明了無謠言平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的,但只研究局部穩(wěn)定性是不夠全面的.因此,我們還需要研究無謠言平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

定理2若R0＜1,則模型(1)的無謠言平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.若R0＞1,則無謠言平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.

證明構(gòu)造Lyapunov 函數(shù):

對V(t)求導(dǎo),可以得到

顯然,如果R0＜1,我們有dV(t)/dt ＜0 并且dV(t)/dt0 當(dāng)且僅當(dāng)S1(t)S2(t)0.根據(jù)LaSalle 不變原理.當(dāng)R0＜1 時,無謠言平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定.

模型(1)的無謠言平衡點(diǎn)E0在R0＜1 時局部漸近穩(wěn)定.在R0＞1 時,則不穩(wěn)定.

我們討論了無謠言平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，為了全面地了解謠言傳播過程,并有利于采取一定措施來控制謠言的傳播.接下來我們將分類討論謠言盛行平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性.

定理3 討論了R01＞1 且R02＜1 時謠言盛行平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定情況,當(dāng)R01＞1,R02＞1 時我們有如下定理.

3 具有時滯的謠言傳播模型的動態(tài)分析

隨著社會的進(jìn)步,互聯(lián)網(wǎng)已經(jīng)和人們的生活緊密相連,無論是真實(shí)還是虛假的信息,我們都可以從網(wǎng)絡(luò)（Facebook、Twitter、微博等) 獲取.由于每個人在接觸謠言時對信息的敏感度不同,他們會考慮是否接收和傳播謠言.這個過程需要足夠的時間來識別和判斷,就會產(chǎn)生時滯.因此我們需要進(jìn)一步研究具有時滯的謠言傳播,模型如下:

其中,模型(9)的初始條件為:

不失一般性,我們給出了具有時滯的無謠言平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性條件.

定理5對于模型(9),若R0＜1,則無謠言平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.若R0＞1,則無謠言平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.

證明根據(jù)模型(9),可以得出無謠言平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣,并求出J(E0)的特征方程為:

當(dāng)R0＜1 且τ0 時,無謠言平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)τ ＞0 時,我們用反證法.假設(shè)模型有純虛根λ3iω3和λ4iω4,則有

將等式(11)和(12)兩邊的平方相加得到如下結(jié)果:

若R0＜1,則沒有正實(shí)根的ω3和ω4滿足模型(13).因此,模型(10)沒有純虛根λ3iω3和λ4iω4.由λ1＜0,λ2＜0,λ3＜0 和λ4＜0,可以得到當(dāng)R0＜1 時,無謠言平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)R0＞1 時,我們可以得到:

則有F1(0)-(φ1+μ1+d)(R01-1) 和F2(0)-(φ2+μ2+d)(R02-1),由于:

可以很容易地得到limt→∞F1(λ)∞和limt→∞F2(λ)∞.所以F1(λ)0 和F2(λ)0 至少有一個正實(shí)根,并且當(dāng)R0＞1 時,無謠言平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.

上面討論了關(guān)于謠言盛行平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性.接下來給出謠言盛行平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性條件.

證明構(gòu)造Lyapunov 泛函:

計算V2(t)的導(dǎo)數(shù),可以得到:

4 最優(yōu)化控制

眾所周知,當(dāng)謠言繼續(xù)傳播時,政府需要采取可行的措施來遏制謠言的傳播.這一部分中,我們將介紹一種懲罰機(jī)制來控制謠言的傳播.該措施不僅可以有效減少謠言傳播,還可以最大限度地降低控制成本.因此,我們建立帶有懲罰機(jī)制的最優(yōu)化控制系統(tǒng)模型如下:

目標(biāo)函數(shù)定義如下:

Hamiltonian 函數(shù)為:

根據(jù)Pontryagin 的極大原理,得出以下結(jié)論.

對式(23)和(24)求解得:

這意味著加入懲罰控制μ1(t)和μ2(t)有利于相關(guān)部門遏制謠言的傳播,并且通過計算我們也得到了最優(yōu)控制的區(qū)間.因此,政府及有關(guān)部門既可以有效遏制謠言的傳播,同時也降低了謠言傳播成本.

5 數(shù)值模擬

本節(jié)中,我們將進(jìn)行一些數(shù)值模擬,以驗證我們提出的理論結(jié)果的有效性.

例1選擇〈k〉4,Λ10.017 1,Λ20.022 1,b10.178,b20.398,γL0.021,φ1+μ10.049,φ2+μ20.129,β10.04,β20.06,αH0.012 9,αL0.006,d0.039 2,通過計算,R10.595 4 ＜1,R20.788 6 ＜1.無謠言平衡點(diǎn)E0是局部和全局漸近穩(wěn)定的,如圖2(a)和圖2(b)所示.

圖2 模型(1) 無謠言平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

例2選擇〈k〉4,Λ10.020 1,Λ20.020 1,b10.058,b20.048,γL0.059 5,φ1+μ10.007 3,φ2+μ20.049 6,β10.073,β20.078,αH0.028 9,αL0.014 9,d0.040 2,通過計算,R11.837 1 ＞1,R21.581 2 ＞1.謠言盛行平衡點(diǎn)E1(IH,IL,S1,S2) 是漸近穩(wěn)定的,如圖3 所示.

圖3 模型(1)中謠言盛行的穩(wěn)定性

例3選取和例2 相同的參數(shù),觀察傳播者S1(t)和S2(t)的變化.圖4(a)顯示了時滯對S1(t)的影響,圖4(b)顯示了時滯對S2(t)的影響.從中可以看出Si(t)(i1,2)的峰值隨著τ 的增加而逐漸減小,也就是說時滯會抑制傳播者密度的峰值.

圖4 S1(t)和S2(t)在不同時滯下密度的變化

注3由圖4 可知,無論τ 取什么值,傳播者S1(t)和S2(t)最終都會趨于穩(wěn)定.

例4通過這部分的數(shù)值模擬,我們發(fā)現(xiàn)最優(yōu)控制可以有效地控制謠言傳播.其它參數(shù)取值與例2 相同,取r11,r21,ν11,ν22,我們分別對IH(t),IL(t),S1(t)和S2(t)進(jìn)行模擬.在圖5 中,實(shí)線表示有控制,虛線表示沒有控制.我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)采取懲罰控制時,IH(t)和IL(t)的個體數(shù)量在增加,但傳播者的數(shù)量S1(t)和S2(t)則相反.這也驗證了我們理論分析的準(zhǔn)確性,當(dāng)對傳播者采取懲罰機(jī)制時,可以有效遏制謠言的傳播.

圖5 最優(yōu)化控制對謠言傳播的影響

例5最優(yōu)控制μi(t)(i1,2)的軌跡如圖6 所示.選擇T7,可以發(fā)現(xiàn)最優(yōu)化控制隨時間的推移逐漸減少到0,如圖6(a)所示.同時可以發(fā)現(xiàn),隨著控制力的降低,控制成本J(t)在一定時期內(nèi)逐漸增加,且前期增加速度快于后期.當(dāng)T10 時，控制成本J(t)達(dá)到最大值.

圖6 最優(yōu)控制μi(t)(i=1,2)和控制成本J(t)的軌跡

例6基于以上結(jié)論,我們模擬了最優(yōu)控制μi(t)(i1,2)和控制成本J(t)在不同時刻的變化過程,分別選擇T6,T8 和T10.可以發(fā)現(xiàn),最優(yōu)控制μi(t)(i1,2)軌跡隨時間的不同而不同,控制成本J(t)隨著時間的增加而逐漸增加.如圖7 所示.

圖7 最優(yōu)控制μi(t)(i=1,2)和控制成本J(t)在不同時刻的軌跡

注4由圖7 可知,對傳播者采取懲罰機(jī)制的策略,可以減少謠言的傳播,降低謠言的危害,具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.

6 結(jié)論

本文研究了多語言環(huán)境下帶有懲罰機(jī)制的2I2SR 謠言傳播模型.通過下一代矩陣方法計算了基本再生數(shù)R0,并根據(jù)Routh-Hurwitz 判據(jù)和LaSalle 不變原理判斷平衡點(diǎn)的局部和全局漸近穩(wěn)定性.由于無知者對信息敏感度的不同,本文提出了具有時滯的謠言傳播模型來研究時滯對傳播的影響.同時,為了約束傳播者肆無忌憚的行為,提出了具有懲罰機(jī)制的謠言傳播模型.然后根據(jù)Pontryagin 極大原則提出了最優(yōu)化控制,在減少控制成本的同時也減少謠言的傳播.最后,通過數(shù)值模擬得出以下結(jié)論:

1) 從數(shù)值模擬中可以看出,當(dāng)R0＜1 時,無謠言平衡點(diǎn)是局部和全局漸近穩(wěn)定的.當(dāng)R0＞1 時,謠言盛行平衡點(diǎn)是局部和全局漸近穩(wěn)定的.這與我們的理論分析是一致的.

2) 數(shù)值模擬表明,時間延遲越大,謠言傳播越廣,控制成本也就越高.因此,立即采取懲罰措施是非常有必要的,不僅可以懲罰傳播者而且可以遏制謠言傳播.同時,數(shù)值模擬的結(jié)果也驗證了結(jié)論的正確性.

3) 通過最優(yōu)控制的數(shù)值模擬,我們發(fā)現(xiàn)謠言傳播周期越短,傳播強(qiáng)度和范圍越小.與此同時,控制謠言的成本也會降低.