汪俊 謝剛

【摘要】新高考中，向量知識(shí)有很強(qiáng)的“工具性”，本文通過一道?？碱}，試圖通過牽手“向量”，鏖戰(zhàn)有正余弦定理知識(shí)的三角函數(shù)大題.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；向量；正余弦

思維水平層次指向 關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu).試題線索豐富，在三角形背景下，利用向量、正余弦定理、解析幾何等知識(shí)解決相關(guān)問題.

思維類型 深刻理解三角形邊與角、向量表示的結(jié)構(gòu)化形式，內(nèi)化由向量知識(shí)推演出余弦定理和正弦定理的數(shù)學(xué)能力和智慧，熟練運(yùn)用向量的符號(hào)語言和坐標(biāo)語言，適時(shí)建系.

差異性分析 60%學(xué)生能完成第（1）小問，但是通過轉(zhuǎn)化向量結(jié)構(gòu)采用方法1的解答不多；采用方法2的學(xué)生較多，道路曲折，解題過程不嚴(yán)密；方法3有“建系”意識(shí)的學(xué)生不多.

第（2）小問，學(xué)生采用方法1利用“兩次”正弦定理求解的較多，但是在處理和轉(zhuǎn)化邊與角的過程不夠順暢，其中轉(zhuǎn)化成∠CAD=π2-∠B是個(gè)思維“盲點(diǎn)”；利用方法2“建系”的學(xué)生不多.

5 歸根分析

題目出處 兩小問分別是蘇教版必修5課本中利用余弦定理和正弦定理研究.

三角形中線和角分線性質(zhì)例題的換種呈現(xiàn)方式.三角形中線AD滿足AD=12AB+12AC，同理.由AD=25AB+35AC就可以確定點(diǎn)D在邊BC的位置，這種互換條件和結(jié)論的思維方式，學(xué)生處理起來思維比較“鈍化”.兩小問中，第（1）問是特殊情形，第（2）問是一般情形.第（1）問已知角求距離（有余弦定理立意傾向），第（2）問已知距離求角（有正弦定理傾向）.但兩問都可以通過建系代數(shù)化解決，本質(zhì)其實(shí)是向量符號(hào)語言和坐標(biāo)語言的統(tǒng)一，兩種問題、兩種解法相得益彰.

歸根流變 一個(gè)三角形變成兩個(gè)三角形，兩個(gè)三角形還可以變成三個(gè)三角形.

這樣就引申出三角形的外心、內(nèi)心、垂心和重心，而這些都可以通過向量形式呈現(xiàn).三角形中AB+ BC+ CD= 0這一向量“回路”蘊(yùn)含的很多數(shù)學(xué)精髓，同時(shí)由正弦定理可以推導(dǎo)余弦定理就讓正余弦合二為一，緊密融合.“牽手”向量，“帶上”正余弦定理，不忘“建系”，三角形的求解會(huì)更精彩.