高宏

［摘 要］文章以維納過(guò)程定義為例，分析隨機(jī)過(guò)程理論在研究單個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)，將質(zhì)點(diǎn)位移與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為隨機(jī)變量的基本概念錯(cuò)誤，以及使用描述大量質(zhì)點(diǎn)空間位置分布的隨機(jī)變量數(shù)字特征來(lái)刻畫單個(gè)質(zhì)點(diǎn)位移隨時(shí)間變化規(guī)律的方法錯(cuò)誤。文章將布朗粒子位移與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系還原為時(shí)間函數(shù)，根據(jù)愛因斯坦“同一個(gè)布朗粒子在不同微小時(shí)間間隔中的運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立”的基本假設(shè)，從理論上證明了布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度為白噪聲過(guò)程，并基于白噪聲樣本函數(shù)重新定義了維納過(guò)程，建立了可正確描述單個(gè)布朗粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的樣本函數(shù)模型。

［關(guān)鍵詞］隨機(jī)過(guò)程；隨機(jī)變量；樣本函數(shù)；維納過(guò)程

［中圖分類號(hào)］ G644.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 2095-3437（2023）02-0052-05

隨機(jī)過(guò)程理論是一種利用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和研究方法，探討和揭示客觀世界動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律并解決自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域?qū)嶋H問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué)理論。隨機(jī)過(guò)程理論最早源于愛因斯坦1905年對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的定量研究，隨機(jī)過(guò)程、隨機(jī)變量和樣本函數(shù)等數(shù)學(xué)概念是從質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象中抽象出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是人腦對(duì)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象數(shù)量關(guān)系及空間形式的思維反映。隨機(jī)變量基本概念雖然遠(yuǎn)離了直觀的經(jīng)驗(yàn)世界，卻能更深刻地反映隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)。由于隨機(jī)變量定義及基本概念的抽象性和復(fù)雜性，維納（Wiener）在研究單個(gè)布朗粒子所走曲線的數(shù)學(xué)性質(zhì)時(shí)，將單個(gè)布朗粒子的位移與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為隨機(jī)變量[1-4]，無(wú)形中改變了布朗粒子位移函數(shù)的定義域和值域，導(dǎo)致研究對(duì)象從單個(gè)質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)集合，并用隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性來(lái)描述樣本函數(shù)的曲線性質(zhì)，從而得出了“布朗粒子位移服從正態(tài)分布”“布朗粒子位移與時(shí)間的平方根成正比”和“布朗運(yùn)動(dòng)路徑處處不可導(dǎo)”等一系列與物理學(xué)理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果嚴(yán)重不符的結(jié)論，為自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)提供了錯(cuò)誤的理論、方法及工具。

本文擬分析維納過(guò)程定義中的基本概念錯(cuò)誤和研究方法錯(cuò)誤，基于愛因斯坦“布朗粒子在不同時(shí)間間隔中的運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立”的基本假設(shè)，推導(dǎo)出布朗粒子的瞬時(shí)速度為白噪聲過(guò)程，利用白噪聲樣本函數(shù)重新定義維納過(guò)程，建立可正確描述單個(gè)布朗粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。

一、概率論中的隨機(jī)變量定義

隨機(jī)變量是概率論中一個(gè)極為重要的基本概念，也是研究隨機(jī)現(xiàn)象的基本工具。引入隨機(jī)變量的主要目的是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，將隨機(jī)事件的結(jié)果映射為實(shí)數(shù)，這樣就可以利用數(shù)學(xué)分析方法來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象。

隨機(jī)變量的定義涉及隨機(jī)試驗(yàn)、樣本點(diǎn)和樣本空間三個(gè)基本概念。

隨機(jī)試驗(yàn)是指人們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的觀察或觀測(cè)，隨機(jī)試驗(yàn)具有以下三個(gè)特征：

（1）可重復(fù)性：在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行。

（2）多結(jié)果性：試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè)，但所有可能的結(jié)果都是事先明確可知的。

（3）不確定性：每次試驗(yàn)之前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果，但可以肯定會(huì)出現(xiàn)所有可能結(jié)果中的一個(gè)。

盡管一次隨機(jī)試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的，但其所有可能結(jié)果是明確的。我們把大量重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)的每一種可能的結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，一般記為ω；全部樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間，一般記為Ω。

定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為Ω={ω}，若X（ω）為定義在樣本空間Ω上的單值實(shí)數(shù)函數(shù)，則稱X（ω）為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為X。

隨機(jī)變量的取值可以是連續(xù)的，也可以是離散的，根據(jù)隨機(jī)變量取值的不同，可以分為連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量。

通常用大寫英文字母X，Y，Z，…來(lái)表示隨機(jī)變量，用小寫英文字母x，y，z，…表示實(shí)數(shù)。如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是一個(gè)實(shí)數(shù)x，即樣本點(diǎn)ω本身是一個(gè)實(shí)數(shù)，這時(shí)常定義X= X（ω）= ω= x。

對(duì)于拋硬幣試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果可能是硬幣正面向上，也可能是硬幣反面向上，即有兩種可能的結(jié)果，而且只有這兩種結(jié)果，事先可以明確。因此該試驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的樣本空間Ω由ω1和 ω2兩個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，我們指定實(shí)數(shù)1和-1分別與樣本點(diǎn)ω1和 ω2對(duì)應(yīng)（見圖1），則隨機(jī)變量可寫成

[X=Xω=? ?1，ω=ω1-1，ω=ω2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）]

從上述隨機(jī)變量的定義可以看出，隨機(jī)變量X的取值由樣本點(diǎn)ω決定，也就是說(shuō)，隨機(jī)變量X是樣本點(diǎn)ω的函數(shù)，即有X= X（ω）。因此，隨機(jī)變量的定義域?yàn)闃颖究臻gΩ。

隨機(jī)變量實(shí)質(zhì)上是一個(gè)定義在“隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果集合”上的單值實(shí)數(shù)函數(shù)，隨機(jī)變量的不同取值與隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果一一對(duì)應(yīng)，隨機(jī)變量的值隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化。從數(shù)學(xué)上講，隨機(jī)變量就是一個(gè)從隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集的映射。

二、隨機(jī)過(guò)程與隨機(jī)變量的關(guān)系

在現(xiàn)實(shí)世界中，許多隨機(jī)現(xiàn)象都是隨著時(shí)間的進(jìn)程變化發(fā)展的，這類動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象就是所謂的隨機(jī)過(guò)程。例如在相同條件下重復(fù)10次觀察一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的布朗粒子位移x隨時(shí)間t的變化過(guò)程，可得到如圖2所示的10條布朗粒子位移曲線，這10次測(cè)量結(jié)果也可分別用10個(gè)時(shí)間函數(shù)x1（t），x2（t），…，x10（t）表示。盡管每次的試驗(yàn)結(jié)果各不相同，但每次的結(jié)果卻是一個(gè)確定性的時(shí)間函數(shù)xi（t）。若同時(shí)觀測(cè)10個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的布朗粒子位移x隨時(shí)間t的變化過(guò)程，也會(huì)得到與圖2類似的試驗(yàn)結(jié)果曲線。

顯然，每個(gè)布朗粒子的觀測(cè)結(jié)果，均為一個(gè)隨時(shí)間變化的實(shí)數(shù)，亦即隨機(jī)過(guò)程的試驗(yàn)結(jié)果是一族時(shí)間函數(shù)x1（t），x2（t），…，xi（t），…，也就是說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程試驗(yàn)的樣本點(diǎn)ωi與時(shí)間函數(shù)xi（t）一一對(duì)應(yīng)（見圖3）。

由于隨機(jī)過(guò)程的試驗(yàn)結(jié)果是一族時(shí)間函數(shù)，因此我們可用定義在Ω×T上的二元函數(shù)X（ω，t）來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的所有試驗(yàn)結(jié)果。下面給出X（ω，t）在四種不同情況下的含義：

（1）固定ω，X（ω，t）是一個(gè)自變量為t、定義域?yàn)門的普通函數(shù)，它是一次隨機(jī)過(guò)程試驗(yàn)（即在T上進(jìn)行一次全程觀測(cè)）所得到的一條記錄曲線或一個(gè)時(shí)間函數(shù)x（t），通常稱為隨機(jī)過(guò)程的一次物理實(shí)現(xiàn)或一個(gè)樣本函數(shù)（軌道）。樣本函數(shù)x（t）是確定性的時(shí)間函數(shù)，從時(shí)間角度刻畫了隨機(jī)過(guò)程。

（2）固定t，X（ω，t）是一個(gè)定義在樣本空間Ω上的單值實(shí)數(shù)函數(shù)，也就是概率論中的隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為X（t）。從概率論的觀點(diǎn)來(lái)看，隨機(jī)過(guò)程就是一族有時(shí)間標(biāo)記的隨機(jī)變量X（t）。隨機(jī)變量X（t）從空間角度刻畫了大量布朗粒子在某一時(shí)刻的位置分布規(guī)律。

（3）固定ω，固定t，X（ω，t）是一個(gè)實(shí)數(shù)，表示某次隨機(jī)過(guò)程試驗(yàn)在t時(shí)刻的觀測(cè)值。

（4）當(dāng)ω和t均變化時(shí)，隨機(jī)過(guò)程試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成一族樣本函數(shù)，因此，所有這些樣本函數(shù)的總體或集合就構(gòu)成了隨機(jī)過(guò)程。

綜上所述，我們可以從兩個(gè)不同的角度給出隨機(jī)過(guò)程的兩種等價(jià)定義。

定義1：隨機(jī)過(guò)程是一族依賴于樣本空間的時(shí)間函數(shù)集合。

定義2：隨機(jī)過(guò)程是一族依賴于時(shí)間的隨機(jī)變量集合。

定義1把隨機(jī)過(guò)程看成是一族樣本函數(shù)的集合，這是概率論隨機(jī)變量定義的推廣。概率論將樣本空間中的樣本點(diǎn)映射成實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，而隨機(jī)過(guò)程則是將樣本空間中的樣本點(diǎn)映射成一個(gè)時(shí)間函數(shù)（隨時(shí)間變化的實(shí)數(shù)）。

定義2把隨機(jī)過(guò)程看成是概率論中多維隨機(jī)變量的推廣，可以把多維隨機(jī)變量的理論作為隨機(jī)過(guò)程理論的基礎(chǔ)。

以上兩種定義從不同的角度描述了隨機(jī)過(guò)程，其本質(zhì)是相同的，互為補(bǔ)充。在工程技術(shù)領(lǐng)域?qū)﹄S機(jī)過(guò)程做實(shí)際觀測(cè)常用定義1，觀測(cè)次數(shù)越多，所得樣本函數(shù)數(shù)量也越多，則越能掌握隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。定義2與概率論中的隨機(jī)變量定義相聯(lián)系，因此在數(shù)學(xué)領(lǐng)域做隨機(jī)過(guò)程理論分析時(shí)，常用定義2。時(shí)間分割越小，多維隨機(jī)變量的維數(shù)n就越大，也就越能細(xì)致描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

在實(shí)際應(yīng)用中，樣本函數(shù)x（t）用來(lái)記錄或描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化過(guò)程，隨機(jī)變量X（t）則用來(lái)描述大量質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的空間位置分布。所有質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的位置，或所有樣本函數(shù)x（t）在t時(shí)刻的函數(shù)值，就是t時(shí)刻隨機(jī)變量X（t）的取值。

隨機(jī)變量符號(hào)X（t）并不表示X（t）是時(shí)間t的函數(shù)，X（t）是定義在樣本空間Ω上的單值實(shí)數(shù)函數(shù)，它只表示t時(shí)刻所有樣本函數(shù)的取值，即X（t）={ x1（t），x2（t），…，xi（t），…}。但是在隨機(jī)過(guò)程理論中，卻出現(xiàn)了用隨機(jī)變量X（t）來(lái)描述單個(gè)質(zhì)點(diǎn)位移x（t）的基本概念錯(cuò)誤，無(wú)形中改變了樣本函數(shù)x（t）的定義域和值域，導(dǎo)致研究對(duì)象從單個(gè)質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)榇罅抠|(zhì)點(diǎn)，從而得出了一系列與事實(shí)不符的錯(cuò)誤結(jié)論。

三、各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程

研究隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，從理論上說(shuō)需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到所有樣本函數(shù)x（t），然后才能用統(tǒng)計(jì)方法求出不同時(shí)刻隨機(jī)變量X（t）的數(shù)學(xué)期望、方差和自相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征，但這在實(shí)際研究工作中往往辦不到，因?yàn)檫@需要對(duì)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)或觀察，甚至需要實(shí)驗(yàn)次數(shù)N趨于無(wú)窮大時(shí)才能滿足要求。

有一種平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，對(duì)其任何一個(gè)樣本函數(shù)x（t）所做的各種時(shí)間平均，從概率意義上趨近于隨機(jī)變量X（t）的各種統(tǒng)計(jì)平均，則稱之為具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程。

各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程的任何一個(gè)樣本函數(shù)x（t）都經(jīng)歷了隨機(jī)過(guò)程X（ω，t）的所有可能狀態(tài)，因此可用任何一個(gè)樣本函數(shù)x（t）的時(shí)間平均來(lái)代替X（t）的統(tǒng)計(jì)平均或集合平均，簡(jiǎn)化隨機(jī)現(xiàn)象的測(cè)量和計(jì)算過(guò)程，給解決實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)極大的方便。

例如，分析電子產(chǎn)品中的白噪聲時(shí)，用常規(guī)方法，需要在同一條件下，同時(shí)測(cè)量并記錄所有電子產(chǎn)品中的白噪聲電壓或電流波形，再用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算出白噪聲過(guò)程的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征。而利用白噪聲過(guò)程的各態(tài)歷經(jīng)性，則只需要在同一條件下，長(zhǎng)時(shí)間測(cè)量并記錄一臺(tái)電子產(chǎn)品的白噪聲，然后用求時(shí)間平均的方法，即可獲得白噪聲過(guò)程的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等數(shù)字特征，大大簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題的研究過(guò)程。

對(duì)于隨機(jī)游走和布朗運(yùn)動(dòng)這類非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，各個(gè)樣本函數(shù)具有不同的上升或下降趨勢(shì)，整個(gè)過(guò)程不具有各態(tài)歷經(jīng)性。因此，研究隨機(jī)游走和布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)變量和樣本函數(shù)時(shí)，要分別采用概率分析方法和函數(shù)分析方法來(lái)研究它們的空間統(tǒng)計(jì)特性和時(shí)間變化規(guī)律。

四、維納過(guò)程定義的概念錯(cuò)誤分析

維納過(guò)程是隨機(jī)過(guò)程理論中一種重要的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，是刻畫一系列復(fù)雜隨機(jī)過(guò)程的基本工具。維納過(guò)程不僅在隨機(jī)過(guò)程理論中占有相當(dāng)重要的地位，而且也是自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)研究動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)工具。液體中懸浮微粒的布朗運(yùn)動(dòng)、光纖陀螺中的隨機(jī)游走誤差和股票市場(chǎng)中的價(jià)格波動(dòng)等隨機(jī)現(xiàn)象均可用維納過(guò)程進(jìn)行描述。

（一）愛因斯坦布朗運(yùn)動(dòng)理論

布朗運(yùn)動(dòng)是物理學(xué)中的一個(gè)著名現(xiàn)象。愛因斯坦于1905年首先對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了定量研究，為隨機(jī)過(guò)程理論的建立和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

由于宏觀可觀測(cè)物理量與大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律有關(guān)，因此愛因斯坦的研究對(duì)象并不是一個(gè)布朗粒子，而是由大量粒子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)，愛因斯坦關(guān)注的是大量布朗粒子在某一時(shí)刻的空間位置分布規(guī)律。

愛因斯坦認(rèn)為布朗粒子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)是由于受到大量液體分子的高速碰撞而引起的，并提出了“同一個(gè)布朗粒子在不同微小時(shí)間間隔中的運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立”和“不同布朗粒子之間的運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立”兩個(gè)假設(shè)。

愛因斯坦對(duì)一維布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了定量研究，假設(shè)所有布朗粒子同時(shí)從x軸的原點(diǎn)出發(fā)，根據(jù)熱分子運(yùn)動(dòng)擴(kuò)散方程推導(dǎo)出了大量布朗粒子在t時(shí)刻空間位置的概率分布函數(shù)

式中D為擴(kuò)散系數(shù)。

顯然，所有布朗粒子在t時(shí)刻的空間位置服從數(shù)學(xué)期望為零、方差為2Dt的正態(tài)分布。圖2所示的布朗運(yùn)動(dòng)仿真試驗(yàn)結(jié)果也表明，大量布朗粒子在某一時(shí)刻的空間位置服從正態(tài)分布，其方差與時(shí)間成正比。

（二）維納過(guò)程定義

維納在研究愛因斯坦布朗運(yùn)動(dòng)理論后，發(fā)現(xiàn)愛因斯坦僅從統(tǒng)計(jì)的角度成功地解釋了大量布朗粒子的擴(kuò)散現(xiàn)象，但是并沒有給出單個(gè)布朗粒子的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述。

維納對(duì)單個(gè)布朗粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的數(shù)學(xué)性質(zhì)感興趣，首先設(shè)X（t）為布朗粒子在t時(shí)刻的位移[1-4]，然后根據(jù)愛因斯坦的“同一個(gè)布朗粒子在不同微小時(shí)間間隔中的運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立”假設(shè)和大量布朗粒子在t時(shí)刻的位置服從正態(tài)分布的結(jié)論，給出了如下的維納過(guò)程定義：

若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程{ X（t），t≥0}滿足

（1）X（t）是獨(dú)立增量過(guò)程。

（2）X（t）～N（0，σ2t）。

（3）X（t）關(guān)于t是連續(xù)函數(shù)。

則稱X（t）是布朗運(yùn)動(dòng)或維納過(guò)程。

（三）維納過(guò)程定義中的概念錯(cuò)誤

維納過(guò)程首先用X（t）表示一個(gè)布朗粒子在t時(shí)刻的位移，因此X（t）是定義在時(shí)域T上的一般函數(shù)，表明X（t）只是隨機(jī)過(guò)程X（ω，t） 固定ω時(shí)的一個(gè)樣本函數(shù)x（t），映射的是樣本空間Ω中的一個(gè)樣本點(diǎn)，亦即布朗運(yùn)動(dòng)的一次試驗(yàn)結(jié)果。

維納過(guò)程在定義中又假定X（t）為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，表明X（t）是定義在樣本空間Ω上的函數(shù)，也就是t時(shí)刻的隨機(jī)變量，映射的是樣本空間Ω上的所有樣本點(diǎn)，亦即布朗運(yùn)動(dòng)的所有試驗(yàn)結(jié)果。

隨機(jī)變量和樣本函數(shù)是兩個(gè)具有完全不同定義域和值域的函數(shù)（見表1），描述的是完全不同的隨機(jī)現(xiàn)象。維納過(guò)程定義使用同一函數(shù)符號(hào)X（t）來(lái)表示樣本函數(shù)和隨機(jī)變量，從根本上混淆了樣本函數(shù)和隨機(jī)變量所表達(dá)的內(nèi)涵和外延。

維納過(guò)程的研究對(duì)象是一個(gè)布朗粒子在t時(shí)刻的位移X（t），因此X（t）是時(shí)間t的一般函數(shù)。但是維納過(guò)程定義卻將X（t）又當(dāng)作隨機(jī)變量，無(wú)形中改變了X（t）的定義域和值域，導(dǎo)致研究對(duì)象從單個(gè)質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)集合，加之用愛因斯坦描述大量布朗粒子空間位置正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)特性來(lái)刻畫單個(gè)布朗粒子的位移性質(zhì)，勢(shì)必會(huì)得出一系列與事實(shí)不符的錯(cuò)誤結(jié)論。

五、維納過(guò)程性質(zhì)與事實(shí)不符

維納過(guò)程將單個(gè)布朗粒子在t時(shí)刻的位移X（t）當(dāng)作隨機(jī)變量，改變了時(shí)間函數(shù)X（t）的定義域和值域，從而得出“布朗粒子位移服從正態(tài)分布”“布朗粒子位移與時(shí)間的平方根成正比”和“布朗運(yùn)動(dòng)路徑處處不可導(dǎo)”等一系列與物理學(xué)理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果嚴(yán)重不符的結(jié)論。

（一）正態(tài)分布假設(shè)與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)不符

假設(shè)布朗粒子位移X（t）服從（0，σ2t）正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，布朗粒子位移曲線X（t）應(yīng)具有如下兩個(gè)特點(diǎn)：

（1）對(duì)稱性：在每一時(shí)刻t，絕對(duì)值相等的正、負(fù)位移出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。

（2）集中性：在每一時(shí)刻t，布朗粒子在0點(diǎn)附近出現(xiàn)的次數(shù)最多。

根據(jù)維納過(guò)程定義X（t）關(guān)于t是連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，可畫出維納過(guò)程描述的布朗粒子位移曲線（見圖4）。

顯然，維納過(guò)程描述的布朗粒子位移曲線與圖2所示的布朗粒子位移曲線完全不符。圖2所示的布朗粒子位移曲線均隨時(shí)間向遠(yuǎn)離原點(diǎn)的方向持續(xù)擴(kuò)散，既不呈現(xiàn)正態(tài)分布的對(duì)稱性，也不具有正態(tài)分布的集中性。

事實(shí)上，愛因斯坦關(guān)于“布朗運(yùn)動(dòng)服從正態(tài)分布”的結(jié)論指的是大量布朗粒子在某一時(shí)刻的空間位置服從正態(tài)分布。觀察圖2所示的布朗粒子位移曲線可以發(fā)現(xiàn)，所有布朗粒子在同一時(shí)刻的位置均服從正態(tài)分布，并具有正態(tài)分布的對(duì)稱性和集中性。

（二）路徑處處不可導(dǎo)性質(zhì)與物理學(xué)實(shí)驗(yàn)不符

維納基于“布朗粒子位移服從正態(tài)分布”的假設(shè)，還得出了“布朗運(yùn)動(dòng)路徑處處不可導(dǎo)（瞬時(shí)速度無(wú)窮大）”的著名論斷，并認(rèn)為測(cè)量布朗粒子“瞬時(shí)速度”的任何努力都是徒勞的。

2010年，美國(guó)得克薩斯大學(xué)的李統(tǒng)藏成功地利用激光光鑷技術(shù)首次實(shí)驗(yàn)測(cè)量到了布朗粒子的瞬時(shí)速度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了單個(gè)布朗粒子的瞬時(shí)速度波形為白噪聲[5]，表明布朗運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)數(shù)（瞬時(shí)速度）不僅存在，而且可觀測(cè)。

李統(tǒng)藏的研究成果在《科學(xué)》雜志上發(fā)表后，在全球引起了極大的轟動(dòng)?！犊茖W(xué)》雜志將李統(tǒng)藏的布朗粒子瞬時(shí)速度測(cè)量實(shí)驗(yàn)推薦為大學(xué)及高中教學(xué)內(nèi)容，美國(guó)明尼蘇達(dá)大學(xué)等學(xué)校的相關(guān)課程已經(jīng)將該實(shí)驗(yàn)作為教學(xué)內(nèi)容。

六、重新定義維納過(guò)程

（一）布朗運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度

設(shè)x（t）為布朗粒子在t時(shí)刻的位移，根據(jù)愛因斯坦“同一個(gè)布朗粒子在不同微小時(shí)間間隔中的運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立”假設(shè)，可知單個(gè)布朗粒子的瞬時(shí)速度v（t）在不同時(shí)刻互不相關(guān)，因此v（t）的自相關(guān)函數(shù)可表示為

[Rvτ=vt-τv（τ）=N0δτ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）]

式中τ為時(shí)間間隔，N0為正實(shí)常數(shù)，δ（τ）為單位沖擊函數(shù)。

根據(jù)維納-辛欽定理，平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度是其自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，v（t）的功率譜密度

[Svf=-∞∞v（t）e-j2πftdt=N0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）]

即單個(gè)布朗粒子的瞬時(shí)速度v（t）的功率譜密度在整個(gè)頻率軸上均勻分布。

式（3）和式（4）表明v（t）為平均功率為N0的白噪聲，與李統(tǒng)藏的布朗粒子瞬時(shí)速度測(cè)量實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全相符。

（二）重新定義維納過(guò)程

由于單個(gè)布朗粒子的瞬時(shí)速度v（t）就是單個(gè)布朗粒子位移x（t）的導(dǎo)數(shù)，白噪聲的平均功率N0等于其方差σ2，因此，可給出如下的維納過(guò)程定義：

若n（t）為均值為零、方差為σ2的白噪聲樣本函數(shù)，則稱

[xt=0tntdt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（5）]

為從原點(diǎn)出發(fā)的布朗運(yùn)動(dòng)或維納過(guò)程。

白噪聲是一種理想化的數(shù)學(xué)模型，由于其自相關(guān)函數(shù)是一個(gè)“沖擊函數(shù)”，功率譜密度為“常數(shù)”，因此在數(shù)學(xué)上具有處理簡(jiǎn)單、計(jì)算方便等優(yōu)點(diǎn)，在隨機(jī)信號(hào)分析中占有相當(dāng)重要的地位。

根據(jù)式（5）的單個(gè)布朗粒子位移數(shù)學(xué)模型，可演繹推導(dǎo)出單個(gè)布朗粒子在時(shí)域及頻域的所有性質(zhì)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及大量布朗粒子在t時(shí)刻服從（0，σ2t）正態(tài)分布的結(jié)論，與愛因斯坦布朗運(yùn)動(dòng)理論完全一致[6]。

七、結(jié)論

由于隨機(jī)變量定義及概念的抽象性和復(fù)雜性，隨機(jī)過(guò)程理論中出現(xiàn)了將單個(gè)質(zhì)點(diǎn)位移假設(shè)為隨機(jī)變量的基本概念錯(cuò)誤。這一基本概念錯(cuò)誤不僅導(dǎo)致研究對(duì)象從單個(gè)質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)集合，而且導(dǎo)致只能使用描述大量質(zhì)點(diǎn)空間位置分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)刻畫單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移性質(zhì)，從而得出了一系列與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)不符的錯(cuò)誤結(jié)論，為自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)提供了錯(cuò)誤的理論、方法及工具?！芭c實(shí)際結(jié)合，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”是隨機(jī)過(guò)程等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的不竭動(dòng)力和重要特征，因此，隨機(jī)過(guò)程理論中關(guān)于質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的基本概念及研究方法將面臨重大范式變革，新的質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)理論將替代現(xiàn)有教科書中的內(nèi)容，把人類對(duì)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)提高到一個(gè)嶄新的水平，為中國(guó)的隨機(jī)過(guò)程學(xué)科進(jìn)入世界一流學(xué)科前列提供了千載難逢的歷史性發(fā)展機(jī)遇。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 卡林，泰勒.隨機(jī)過(guò)程初級(jí)教程[M]. 莊興無(wú)，陳宗洵，陳慶華，譯.北京：人民郵電出版社，2007.

[2] 王梓坤.布朗運(yùn)動(dòng)的若干結(jié)果[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，1993（6）：35-38.

[3] 錢敏平，龔光魯，陳大岳，等. 應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4] 樊平毅. 隨機(jī)過(guò)程理論與應(yīng)用[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[5] LI T C， KHEIFETS S， MEDELLIN D， et al. Measurement of the instantaneous velocity of a brownian particle[J]. Science， 2010，328（5986）：1673-1675.

[6] 高宏. 公理化方法重建布朗運(yùn)動(dòng)理論[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（23）：133-134.

［責(zé)任編輯：林志恒］