劉傳澤

求菱形中變量線段和的最小值，是中考試題中的一個(gè)重要考點(diǎn). 解答這類題，常把一個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸所在直線的對(duì)稱點(diǎn)作為突破口.

例（2022·湖南·婁底）如圖1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC = 45°，點(diǎn)P，Q分別是BC，BD上的動(dòng)點(diǎn)，CQ + PQ的最小值為________.

解析：如圖2，連接AQ，作AH⊥BC于H.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴點(diǎn)C關(guān)于對(duì)角線BD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為A，

∴AQ = CQ，∴CQ + PQ = AQ + PQ.

當(dāng)點(diǎn)A，Q，P共線時(shí)，AQ + PQ的值最小，最小值為AH的長(zhǎng)（垂線段最短）.

反思：一般地，動(dòng)點(diǎn)在哪一條直線上，多以這條直線為對(duì)稱軸，進(jìn)行變量線段的等量轉(zhuǎn)換. 本題以直線BD為對(duì)稱軸，用AQ替換CQ，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的問題，再結(jié)合垂線段最短的性質(zhì)求解. 其中等線段轉(zhuǎn)化是解答問題的切入點(diǎn).

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時(shí)間：3分鐘

如圖3，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC = 60°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BD上的一動(dòng)點(diǎn)，CQ + PQ的最小值為_____. （答案見第27頁）

（作者單位：天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué)）