許梅容

［摘? 要］ 文章結(jié)合新課標(biāo)，以圖形的旋轉(zhuǎn)變換專題復(fù)習(xí)課為例，闡述如何用“五字法”分析專題復(fù)習(xí)教學(xué)的基本流程，并獲得教學(xué)啟示，以期為專題復(fù)習(xí)的教研工作提供有價(jià)值的參考與建議.

［關(guān)鍵詞］ 圖形與旋轉(zhuǎn)；專題復(fù)習(xí)；五字法

近期，筆者所在的城市開展了學(xué)習(xí)展播課活動(dòng)，筆者認(rèn)真學(xué)習(xí)了陳麗珊教師的《以旋轉(zhuǎn)為載體的幾何探究題》. 這是一節(jié)以圖形旋轉(zhuǎn)變換為載體的專題復(fù)習(xí)課. 旋轉(zhuǎn)變換在初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”內(nèi)容中占有非常重要的地位，它貫穿在相交線、三角形、四邊形、圓等重要的幾何內(nèi)容之中，是福建省中考的高頻考點(diǎn). 課堂中，陳老師自信從容的教學(xué)風(fēng)格讓筆者在聽課過程中如沐春風(fēng)，筆者充分感受到了她對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解與把握，對(duì)教學(xué)目標(biāo)的合理制定與有效達(dá)成. 下面，筆者從教學(xué)基本流程、啟示與借鑒、思考與建議三個(gè)方面進(jìn)行探討、交流.

教學(xué)基本流程

這節(jié)課，首先由師生共同梳理旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)：

教師用幾何畫板演示旋轉(zhuǎn)變換的動(dòng)態(tài)過程，學(xué)生直觀感受旋轉(zhuǎn)變換過程中變與不變的量，接著教師呈現(xiàn)例1.

例1? 如圖1所示，△AEF是△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC上，EF交AC于點(diǎn)G. 若∠B=50°，∠C=45°，求∠FGC的度數(shù).

學(xué)生先自主思考，教師邊巡視邊指點(diǎn)學(xué)生如何思考. 學(xué)生完成自主思考后，生1上臺(tái)演示自己的思路：利用旋轉(zhuǎn)得到等腰三角形，再結(jié)合三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系求∠FGC的度數(shù).

師：生1在表達(dá)自己的分析思路過程中，應(yīng)加上度數(shù)符號(hào). 我巡視時(shí)發(fā)現(xiàn)你們基本上是通過旋轉(zhuǎn)得到等腰三角形后進(jìn)行計(jì)算的，那還有別的做法嗎？

生2上臺(tái)演示自己的思路：利用旋轉(zhuǎn)角相等與三角形的內(nèi)角和求∠FGC的度數(shù).

師：很好. 但我還有一步到位的做法——抓住旋轉(zhuǎn)角相等，直接得到結(jié)果.（全班恍然大悟）

接著，教師呈現(xiàn)例2.

例2? 如圖2所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)C′處，求C′C的長(zhǎng).

學(xué)生先自主思考，教師邊巡視邊指點(diǎn)學(xué)生如何思考. 學(xué)生完成自主思考后，生3上臺(tái)表達(dá)自己的思路：首先標(biāo)明圖形中各條線段的長(zhǎng).

師：為什么要標(biāo)出這些線段的長(zhǎng)？這是為解決這道題做什么鋪墊？

生3：求線段的長(zhǎng)主要有兩種方法，一種是利用相似，另一種是利用勾股定理. 可通過作△ABC中AB邊上的高CH，然后利用相似與勾股定理求出C′C的長(zhǎng).

師：講得太好了！生3把整個(gè)解題思路都展示出來了. 沒錯(cuò)，求線段的長(zhǎng)，方法一是用相似，方法二是用勾股定理. 那有沒有直接用相似求解的做法呢？

生4：連接BB′，得到△ACC′與△ABB′相似，于是可求出C′C的長(zhǎng).

師：很好，生4運(yùn)用了我們今天所學(xué)的變當(dāng)中的不變. 變，是圖形旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的變化；不變，是角與邊的量不變. 大家對(duì)比一下，解這道題時(shí)，是運(yùn)用勾股定理簡(jiǎn)單呢，還是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)簡(jiǎn)單？

生（齊）：運(yùn)用旋轉(zhuǎn)簡(jiǎn)單.

緊接著，教師呈現(xiàn)例3.

例3? 如圖3所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=k·AC，△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度后得到的，BC與DE交于點(diǎn)F，直線BD與直線EC交于點(diǎn)G，求∠CGD的度數(shù).

學(xué)生先自主思考，教師邊巡視邊指點(diǎn)學(xué)生如何思考. 學(xué)生完成自主思考后，生5表達(dá)了自己的求解方法：利用旋轉(zhuǎn)和四點(diǎn)共圓可求.

師：剛才我巡視了一圈，發(fā)現(xiàn)很多人都用的這種方法. 有同學(xué)運(yùn)用其他方法嗎？請(qǐng)上臺(tái)講解一下.

生6：所求的角在△EDG中，要求∠CGD的度數(shù)，只需要求出另外兩個(gè)角的度數(shù)即可. 可以通過設(shè)角，利用旋轉(zhuǎn)和三角形的內(nèi)角和列等式求解.

師：很好. 旋轉(zhuǎn)帶來了等式，下面聽聽我的做法——利用旋轉(zhuǎn)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°來求解.

師：對(duì)比上面幾種方法，哪一種更簡(jiǎn)單？考試時(shí)我們要盡量采用更簡(jiǎn)單的方法，以節(jié)省時(shí)間.

講解完例3之后，教師又給出了例4.

例4? 如圖4所示，△AOB和△MON都是等腰直角三角形，且∠AOB=∠MON=90°. 將Rt△MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，MN交AO于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)N恰好落在AB邊上時(shí)，求證：PM 2+PN 2=2OP 2.

師生共同分析，將所求結(jié)論與勾股定理聯(lián)系起來，考慮通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造直角三角形來證明.

生7：把△OPN繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△OP′M，可得到等腰直角三角形OPP′和直角三角形PP′M，于是可證得結(jié)論.

師：這種方法跟我們剛才所用的方法一致，不過是反方向旋轉(zhuǎn). 你們還有其他方法嗎？

生8：過點(diǎn)P分別作OM，ON的垂線段得到矩形后求證.

師：這種方法是由結(jié)論結(jié)合勾股定理分析出來的，采用的是旋轉(zhuǎn)前后的互逆思維. 同學(xué)們回去后，好好整理一下這節(jié)課所用到的思路.

教學(xué)的最后，教師請(qǐng)全班學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲，并布置分層作業(yè).

啟示與借鑒

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提到，要讓學(xué)生經(jīng)歷探索物體與圖形的旋轉(zhuǎn)變換過程，并掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)變換的基本性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究圖形，理解圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)的變化規(guī)律和變化中的不變量. 學(xué)生基于前面幾節(jié)課對(duì)平移與對(duì)稱變換知識(shí)的積累，能夠初步解決圖形變換的基礎(chǔ)問題，但仍然缺乏用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)研究幾何圖形的能力. 下面筆者通過“引、思、比、導(dǎo)、評(píng)”五字法提出本節(jié)課對(duì)自己的啟示與借鑒.

1. 有引入 ——引之有“根”

教師利用導(dǎo)學(xué)案以填空的形式與學(xué)生共同復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)旋轉(zhuǎn)變換的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連的線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角等性質(zhì). 接著利用幾何畫板對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)的過程進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)演示，要求學(xué)生仔細(xì)觀察圖形旋轉(zhuǎn)過程中變與不變的量，讓學(xué)生直觀感受到旋轉(zhuǎn)過程中雖然圖形位置發(fā)生了變化，但圖形的形狀與大小不變，幫助學(xué)生更透徹地理解旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，為接下來旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用做了充分的引入工作，夯實(shí)了旋轉(zhuǎn)變換的基礎(chǔ).

2. 有思考——學(xué)之有“道”

美國(guó)數(shù)學(xué)家G·波利亞曾說過，老師講什么不重要， 學(xué)生想什么比這重要一千倍. 教師要想提高數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效性，就應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)過程，且教師必須了解學(xué)生的真實(shí)思考過程，也就是教師必須“讓”出時(shí)間暴露學(xué)生的思維過程. 本節(jié)課，教師呈現(xiàn)了四道例題，均由學(xué)生自主思考后現(xiàn)場(chǎng)板演評(píng)析，這就讓學(xué)生的思維過程充分暴露了出來，此時(shí)，教師不僅知道了學(xué)生的思維已經(jīng)“到哪里了”，還可以確定學(xué)生的解題“能到哪里”. 據(jù)此，教師便準(zhǔn)確地掌握了學(xué)生的困難點(diǎn)，接下來便對(duì)癥下藥地進(jìn)行整理與歸納. 這種通過自主思考、演示說明的方法，讓學(xué)生感悟解決旋轉(zhuǎn)問題的門道，既有助于學(xué)生加深對(duì)旋轉(zhuǎn)的理解，又有助于提高學(xué)生的思維能力與解題能力，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主體地位.

3. 有對(duì)比——教之有“方”

教學(xué)本節(jié)課時(shí)，教師在讓學(xué)生直觀感受圖形旋轉(zhuǎn)變換中變與不變的量的基礎(chǔ)上，開展學(xué)以致用的解題活動(dòng). 本節(jié)課所呈現(xiàn)的四道例題均由師生分別展示自己的解題思路后進(jìn)行對(duì)比分析，這能讓學(xué)生感受到旋轉(zhuǎn)變換的不同應(yīng)用. 如例1是共頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后求∠FGC的度數(shù)的問題，教學(xué)時(shí)教師先讓兩名學(xué)生板演自己的思維過程，教師再展示自己利用旋轉(zhuǎn)角相等直接得到結(jié)論的解法，隨后讓學(xué)生對(duì)比幾種不同解法的優(yōu)劣，感受不同思維的解題過程，這種教學(xué)模式活化了學(xué)生的思維，拓寬了學(xué)生的解題思路，能讓學(xué)生掌握高效的解題方法，能增強(qiáng)他們的解題自信.

4. 有指導(dǎo)——導(dǎo)之有“術(shù)”

美國(guó)心理學(xué)家布魯納曾說，學(xué)習(xí)最大的刺激是對(duì)所學(xué)知識(shí)產(chǎn)生興趣. 學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性、積極性的調(diào)動(dòng)關(guān)鍵在于教師的“導(dǎo)”. 本節(jié)課，教師呈現(xiàn)的四道例題從旋轉(zhuǎn)角相等、旋轉(zhuǎn)邊相等、旋轉(zhuǎn)帶來四點(diǎn)共圓、旋轉(zhuǎn)前后的互逆思維出發(fā)，讓學(xué)生通過觀察圖形，分析旋轉(zhuǎn)前后的邊角關(guān)系，自主思考條件與結(jié)論之間的聯(lián)系. 學(xué)生自主思考時(shí)，教師不斷巡視，幫助有需要的學(xué)生；學(xué)生展示思維時(shí)，教師在關(guān)鍵點(diǎn)處進(jìn)行指點(diǎn)、引導(dǎo)，比如講解例2時(shí)，學(xué)生標(biāo)出各條線段的長(zhǎng)之后，教師馬上問“為什么要標(biāo)出這些線段的長(zhǎng)？這是為解決這道題做什么鋪墊”；當(dāng)學(xué)生的分析思路不夠規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)時(shí)，教師及時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)并得出最后的結(jié)論，此時(shí)學(xué)生異口同聲的“哦”，以及他們恍然大悟的表情都說明教師的指導(dǎo)恰到好處. 教師藝術(shù)性地指導(dǎo)，能把學(xué)生的思維導(dǎo)到問題關(guān)鍵處，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

5. 有評(píng)價(jià)——評(píng)之有“據(jù)”

現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為，有兩條對(duì)應(yīng)主線存在于教學(xué)之中，一條是知識(shí)，一條是情感，二者互相作用，互相制約. 本節(jié)課，學(xué)生完美呈現(xiàn)自己的思維過程后，教師自然流露出的贊許笑容是對(duì)學(xué)生積極的情感動(dòng)員；教師情不自禁的評(píng)語“講得太好了，他把整個(gè)解題思路都展現(xiàn)出來了”“好，很好，你們講得都很好，比老師講得還到位”，給予了學(xué)生極好的思維評(píng)價(jià)，且能讓學(xué)生感受到當(dāng)小老師的成就感. 整個(gè)教學(xué)過程，教師捕捉到了學(xué)生智慧的火花，并適時(shí)給予有實(shí)據(jù)的表揚(yáng)和鼓勵(lì)，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們真正地積極參與課堂，做學(xué)習(xí)的主人.

思考與建議

下面，筆者結(jié)合自己對(duì)圖形與幾何專題復(fù)習(xí)的理解和聽課感悟，對(duì)本節(jié)課提兩點(diǎn)建議.

1. 要加強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)解題示范

我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生曾指出：“教學(xué)的技藝，一方面要指示正規(guī)，另一方面要矯正錯(cuò)誤，必須兼施并用，才會(huì)有較好的效果. ”陳老師在本節(jié)專題復(fù)習(xí)課中只用析題的形式展示師生的解題思維過程，沒有發(fā)揮標(biāo)準(zhǔn)解答的板書示范作用，筆者建議板書一道例題的標(biāo)準(zhǔn)解答過程. 教學(xué)時(shí)可以先由學(xué)生板書自己的思維過程，再由教師用其他顏色的筆指出學(xué)生解答過程中的關(guān)鍵步驟和錯(cuò)誤點(diǎn)，或者由其他學(xué)生根據(jù)該生的板書情況進(jìn)行訂正和優(yōu)化，還可以由師生共同完成一道例題標(biāo)準(zhǔn)解答過程的規(guī)范板書，讓學(xué)生在解答類似問題時(shí)可以呈現(xiàn)規(guī)范的書寫格式、解題步驟和圖形作法等，提高學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)的能力.

2. 進(jìn)一步優(yōu)化例題設(shè)計(jì)

本節(jié)課4道例題的解決都以三角形為基本圖形，借助旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來完成，設(shè)問方式上則以求角、求邊、求邊與邊的關(guān)系進(jìn)行呈現(xiàn)，雖然在解題難度上有所遞進(jìn)，但每道例題之間沒有形成系列變式，每道題都需要學(xué)生花時(shí)間理解題意，若能在一道基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)上適度變式、高效聚合，更能達(dá)到專題復(fù)習(xí)做一題、會(huì)一類、通一片的效果.

比如，引例可以為：如圖5所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，將Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△AEF，使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC上，EF交AC于點(diǎn)G，求∠FGC的度數(shù).

可以將上述引例作為基礎(chǔ)題，設(shè)計(jì)如下系列變式問題.

變式1? 把引例中的已知條件“∠B=60°”改為“∠B=θ”，其他條件和結(jié)論都不變.

（變式1能讓學(xué)生感悟從特殊到一般的思想，解題時(shí)抓住旋轉(zhuǎn)角不變這一本質(zhì)即可）

變式2? 把引例中的“∠B=60°”改為“AB=1，AC=”，其他條件不變，結(jié)論變?yōu)椤扒驠C的長(zhǎng)”.

變式3? 將變式2中的條件“AB=1，AC=”變?yōu)椤癆B=kAC”，其他條件不變，結(jié)論變?yōu)椤澳芊袂蟪鯢C的長(zhǎng)”.

等學(xué)生完成求解后，教師可繼續(xù)追問“若旋轉(zhuǎn)中心不是直角頂點(diǎn)，還有以上結(jié)果嗎”“若△ABC不是直角三角形，上述結(jié)論還成立嗎”.

這樣的設(shè)計(jì)，能讓學(xué)生在解決系列變式中用最少的時(shí)間建立起已有經(jīng)驗(yàn)同新求問題之間有意義的關(guān)聯(lián). 通過旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等三角形或相似三角形或直角三角形，展現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，有助于學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì)，掌握一般化的求解方法，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵在課堂，提高課堂教學(xué)質(zhì)量的前提是教師進(jìn)行精心的備課. 針對(duì)復(fù)習(xí)課，教師需要不斷地思考如何夯實(shí)知識(shí)、精選典型例題、做好變式設(shè)計(jì)，從而深化學(xué)生的思維，讓學(xué)生做到舉一反三、融會(huì)貫通，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，達(dá)到高效課堂的目標(biāo).