毛秋琴

［摘? 要］ 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》再次強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)教育應(yīng)注重育人功能，要關(guān)注學(xué)生的全面發(fā)展. 實(shí)踐證明，“過程教育”是踐行這一理念的重要舉措. 文章以“一元二次方程”的教學(xué)為例，從多維度進(jìn)行教學(xué)分析，并從如下幾方面談具體措施：明確研究對象，形成核心概念，生成表示方法，總結(jié)提煉提升.

［關(guān)鍵詞］ 過程教育；概念；教學(xué)

“過程教育”是指關(guān)注結(jié)論形成、應(yīng)用過程與解決問題后反思的教育方式，它能滿足學(xué)生全面發(fā)展的需要. 但當(dāng)前仍有部分教師對數(shù)學(xué)“過程教育”的理解不夠透徹，只關(guān)注學(xué)生所掌握的知識結(jié)論，忽視結(jié)論的形成與反思過程，導(dǎo)致失去了促進(jìn)學(xué)生成長的契機(jī). 為此，本文以“一元二次方程”的教學(xué)為例，從“過程教育”的教學(xué)分析與具體措施兩個方面展開闡述，與同行共勉.

教學(xué)分析

1. 剖析核心概念

概念是數(shù)學(xué)的基石，剖析單元核心概念是實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的第一步. 將核心概念分解、整合成完整的知識網(wǎng)絡(luò)可便于學(xué)生更好地理解與記憶. 以一元二次方程的研究為出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行教學(xué)前的問答（為什么要研究？怎樣研究？有什么特征？怎么表示？怎么求解？有什么用處）分析，可提升教學(xué)成效.

2. 分析教學(xué)結(jié)果

教學(xué)結(jié)果是數(shù)學(xué)活動的思維或經(jīng)驗(yàn)結(jié)果，如數(shù)學(xué)概念、定理、法則、公式、規(guī)律等是教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分. 將一節(jié)課可能涉及的所有結(jié)果清晰地羅列出來，能增強(qiáng)教師的教學(xué)底氣，能讓教師更好地應(yīng)對課堂中的突發(fā)事件. 一元二次方程涉及的數(shù)學(xué)結(jié)果的邏輯關(guān)系較為復(fù)雜（如圖1所示）.

3. 論證結(jié)果形成過程

數(shù)學(xué)結(jié)果的形成與數(shù)學(xué)思想方法之間有著密不可分的聯(lián)系，論證結(jié)果形成過程是指對教學(xué)任務(wù)進(jìn)行精致分析，對數(shù)學(xué)結(jié)果形成的必備條件與支持性條件逐個分析與驗(yàn)證的過程，也可以理解為對學(xué)生的認(rèn)知策略、活動經(jīng)驗(yàn)、態(tài)度與所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行論證的過程［1］.

關(guān)于“一元二次方程”的結(jié)果形成過程的論證，可從如下幾方面著手：結(jié)合奧蘇貝爾的概念獲得過程理論，將一元二次方程視為從生活實(shí)際問題中抽象而來或與一元一次方程類比而來，那么“會分析數(shù)量關(guān)系”就是必備條件，而“生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)抽象思想、模型思想”則為支持條件；一元二次方程的定義形成遵循“觀察—特征歸納—抽象—獲得本質(zhì)—符號表達(dá)—提煉數(shù)學(xué)思想方法—反思”的過程，那么“會觀察相關(guān)的數(shù)或式子”就是必要條件，而“經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)思想方法、反思”則為支持條件；概念求解思維的演繹，求一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)都是將一元二次方程轉(zhuǎn)化成一般形式進(jìn)行分析，那么“一次項(xiàng)系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)”則為必備條件，而“演繹思想與化歸思想”則為支持條件.

4. 概述學(xué)習(xí)成果

結(jié)合新課標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，所有學(xué)習(xí)成果分成“結(jié)果性成果”與“過程性成果”兩大類. 一元二次方程的結(jié)果性成果，主要有事實(shí)性知識、概念性知識、元認(rèn)知性知識等，并在知識技能、概念理解、運(yùn)用規(guī)則、解決問題上達(dá)到相應(yīng)的要求；過程性成果，主要有發(fā)現(xiàn)一元二次方程的特征、與之有關(guān)的想法、解決問題中的表現(xiàn)、反思體驗(yàn)與感觸等.

5. 預(yù)估認(rèn)知障礙

充分了解學(xué)生的身心特征、知識儲備情況以及學(xué)習(xí)方式等，可對學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)有明確的了解，還可以從學(xué)生的不足之處預(yù)測到學(xué)生獲得數(shù)學(xué)結(jié)果的過程會遇到怎樣的障礙.

結(jié)合學(xué)情與一元二次方程的特點(diǎn)，可預(yù)計學(xué)生會出現(xiàn)如下思維障礙：因生活閱歷與經(jīng)驗(yàn)不足，導(dǎo)致生活體驗(yàn)不夠，出現(xiàn)根據(jù)生活情境列一元二次方程的障礙，無法將現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系與模型聯(lián)系起來；缺乏多角度觀察生活事物的習(xí)慣，無法實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的思維變化，難以抽象出一元二次方程的概念；難以理解復(fù)雜的方程變形過程.

6. 明晰課標(biāo)要求

課標(biāo)是實(shí)施教學(xué)的依托. 教學(xué)分析時，教師應(yīng)查閱新課標(biāo)對本章節(jié)教學(xué)的具體要求，尤其關(guān)注行為動詞與性能動詞的含義，據(jù)此明確教學(xué)方向. 新課標(biāo)對本章節(jié)的教學(xué)要求是［2］：能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，理解方程的意義；能根據(jù)一元二次方程的特征，選擇配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根及兩個實(shí)根是否相等，會將一元二次方程根的情況與一元二次方程根的判別式相聯(lián)系；知道利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以解決一些簡單的問題；能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理.

從課標(biāo)要求來看，本節(jié)課應(yīng)注重“過程教育”，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，充分感知一元二次方程是刻畫數(shù)量關(guān)系的重要模型，且會多維度發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)事物的特征.

“過程教育”的實(shí)施

1. 明確研究對象

問題1? 又到了紅薯豐收的季節(jié)，據(jù)調(diào)查，2020年紅薯的售價為2元/斤.

（1）2021年紅薯的售價是2.5元/斤，將2020年到2021年紅薯的售價增長率設(shè)為x，可列出怎樣的方程？

（2）2022年紅薯的售價是3元/斤，假設(shè)2020年到2022年紅薯售價的年平均增長率是x，可列出怎樣的方程？

問題2? 紅薯的價格近年來持續(xù)上漲，薯農(nóng)李大伯準(zhǔn)備增擴(kuò)一塊面積為800 m2的地種紅薯，假設(shè)這塊地的寬比長少12 m，求這塊地的長與寬. 假設(shè)這塊地的寬為x m，可列出怎樣的方程？

問題3? 假設(shè)在這塊地的四周圍一圈柵欄，留下一個長方形的門，已知門的對角線長為1丈（1丈=10尺），寬比高矮6尺，分別求門的寬與高. 設(shè)門寬為x尺，可列出怎樣的方程？

設(shè)計意圖? 這幾個問題覆蓋了增長率、面積、勾股定理等內(nèi)容，為揭示一元二次方程奠定了基礎(chǔ). 該設(shè)計從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動下進(jìn)行思考與分析，形成良好的建模能力，培養(yǎng)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題的能力（四能），充分體現(xiàn)“過程教育”促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的作用.

2. 形成核心概念

學(xué)生在問題驅(qū)動下，自主列出如下幾個方程：2（x+1）=2.5；2（x+1）2=3；x（x+12）=800；x2+（x+6）2=102.

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生分析這幾個方程的異同點(diǎn). 經(jīng)思考，學(xué)生自主獲得如下結(jié)論：這幾個方程都只含有一個未知數(shù)，且等號兩邊都是整式；第一個方程為一元一次方程，未知數(shù)的最高次數(shù)為1，另外兩個方程的未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

基于以上探索，通過類比思想的應(yīng)用，師生、生生互動與交流后獲得了一元二次方程的概念：方程僅有一個未知數(shù)，等號的兩邊均為整式，未知數(shù)的最高次數(shù)為2. 在交流過程中，學(xué)生還得出了一元二次方程的根的概念：讓一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值.

一元二次方程的定義與方程的根是本節(jié)課的重點(diǎn)，為了進(jìn)一步深化學(xué)生對定義與方程根的認(rèn)識，教師可繼續(xù)用問題驅(qū)動學(xué)生的思維：得出一元二次方程的概念主要經(jīng)歷了哪些步驟？研究過程涉及哪些數(shù)學(xué)思想方法？類比研究一元一次方程的過程，想要進(jìn)一步深入理解一元二次方程，我們還需要研究哪些問題？

學(xué)生再次合作交流，針對以上問題獲得如下結(jié)論：定義形成的過程是從生活情境中抽象出相應(yīng)的方程→觀察方程特征→文字表達(dá)方程特點(diǎn)；研究過程涉及函數(shù)思想、建模思想、歸納思想與類比思想等；類比研究一元一次方程的過程，還要研究一元二次方程的解法與應(yīng)用.

設(shè)計意圖? 新舊知識的溝通讓學(xué)生自主通過類比法獲得本節(jié)課的核心知識，教師適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)讓學(xué)生通過與一元一次方程的類比，深化了對一元二次方程的認(rèn)識. 反思的目的在于進(jìn)一步深化學(xué)生對一元二次方程定義的理解，讓學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)歷知識的形成過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用. 最后一個問題的提出，讓學(xué)生自主探尋出了接下來課堂研究的方向.

3. 生成表示方法

有些方程呈現(xiàn)的形式比較繁雜，需要經(jīng)過化簡才能識別出類別，這也是數(shù)學(xué)簡潔美的體現(xiàn). 仍以學(xué)生自主生成的方程為例：教師要求學(xué)生將方程2（x+1）2=3與x2+（x+6）2=102轉(zhuǎn)化成等號右側(cè)為0的形式. 學(xué)生轉(zhuǎn)化的結(jié)論為：2x2+4x－1=0與x2+6x－32=0.

教師充分肯定了學(xué)生的轉(zhuǎn)化方法，并表示此為一元二次方程的一般形式，即等號左側(cè)為含有未知數(shù)的二次三項(xiàng)式，右側(cè)為零. 我們可用a表示二次項(xiàng)的系數(shù)，用b表示一次項(xiàng)的系數(shù)，c表示常數(shù)項(xiàng)，那么用含有字母系數(shù)的方式來表達(dá)一元二次方程，該怎么表示呢？

有學(xué)生說出“ax2+bx+c=0（a，b，c均為常數(shù)）”的答案，又有學(xué)生表示這種說法不完整，還要添加“a≠0”這個條件，原因是當(dāng)a=0時，該方程沒有二次項(xiàng)，與一元二次方程的定義不相符，不屬于一元二次方程.

教師高度贊揚(yáng)了學(xué)生的這一補(bǔ)充，并提出問題“b，c是否可以為零呢”，學(xué)生繼續(xù)從一元二次方程的定義出發(fā)，認(rèn)為可以.

師生、生生經(jīng)過有效的溝通與交流，最終歸納出了一元二次方程的表達(dá)式：ax2+bx+c=0（a≠0），且存在如下幾種形式：ax2=0（a≠0，b=0，c=0）；ax2+c=0（a≠0，b=0，c≠0）；ax2+bx=0（a≠0，b≠0，c=0）. 也就是說，要判別一個式子是否為一元二次方程，關(guān)鍵在于二次項(xiàng)系數(shù)是否為零.

設(shè)計意圖? 學(xué)貴有疑. 教師以疑激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生全身心地投入一元二次方程一般形式的探索中，有效地提升了學(xué)生的邏輯思維. 通過一元二次方程一般形式幾種類型的歸納，學(xué)生對一元二次方程的本質(zhì)屬性有了更進(jìn)一步的理解，也感知了從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想.

辨析、判別等過程意在深化學(xué)生對一元二次方程定義與根的理解，學(xué)生一旦從本質(zhì)上掌握了一元二次方程的內(nèi)涵與外延，那么在后續(xù)實(shí)際應(yīng)用時就能靈活應(yīng)對各種場景下的一元二次方程相關(guān)問題［3］. 若想進(jìn)一步拓寬學(xué)生的視野，教師可帶領(lǐng)學(xué)生將新建構(gòu)的表示方法應(yīng)用在一些常見問題中，以培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界的能力，并促進(jìn)學(xué)生“四基與四能”的發(fā)展，這也是“過程教育”理念的價值所在.

4. 總結(jié)提煉提升

課堂結(jié)束之前，教師可針對性地提出幾個問題供學(xué)生思考：一元二次方程是什么？列方程的步驟有哪些？它的一般形式是什么？將其他方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程應(yīng)遵循怎樣的基本步驟？

如圖2所示，學(xué)生梳理完以上幾個問題后，將本節(jié)課的研究過程、思路等繪制成簡潔明了的知識結(jié)構(gòu)圖，以完善認(rèn)知體系.

設(shè)計意圖? 課堂尾聲的幾個問題起到回顧、梳理、總結(jié)與提升的作用，知識結(jié)構(gòu)圖的繪制不僅能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生掌握最基本的學(xué)習(xí)技巧與方法，還能為后續(xù)學(xué)習(xí)更多的知識夯實(shí)基礎(chǔ).

弗賴登塔爾認(rèn)為：反思是最重要的教學(xué)活動，是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的核心動力. “過程教育”注重課堂的總結(jié)與反思，這是促使學(xué)生學(xué)會多角度觀察與分析問題的關(guān)鍵，也是強(qiáng)化學(xué)生形成獨(dú)立思考習(xí)慣與良好探究精神的關(guān)鍵.

總之，“過程教育”是新課改的需要，它能滿足學(xué)生全面可持續(xù)發(fā)展的需求. 值得注意的是，關(guān)注“過程教育”同樣不能忽略結(jié)果，作為教師，應(yīng)不斷更新教學(xué)理念，提升自身的業(yè)務(wù)水平，進(jìn)一步做好教育教學(xué)工作.

參考文獻(xiàn)：

［1］邵志芳. 思維心理學(xué)［M］. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2007.

［2］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］任丹丹. 基于“過程教育”的“一元二次方程”教學(xué)實(shí)錄及說明［J］. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（05）：29-30+38.