張銘洋

重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 400067

1 引 言

光學(xué)連續(xù)譜束縛態(tài)(bound states in the continuum,BIC)是指位于連續(xù)譜中的導(dǎo)模,其不能與輻射場耦合,沒有能量輻射,被完美地束縛在結(jié)構(gòu)中[1-3]。數(shù)學(xué)上,光學(xué)連續(xù)譜束縛態(tài)是指開結(jié)構(gòu)中麥克斯韋方程組的一類頻率位于連續(xù)譜內(nèi)的平方可積特征解。通常,導(dǎo)模(即平方可積特征解)的特征頻率位于連續(xù)譜外。1929年馮諾依曼等[4]從數(shù)學(xué)模型上發(fā)現(xiàn)在一些特殊的結(jié)構(gòu)中存在特征頻率位于連續(xù)譜內(nèi)的導(dǎo)模。直到1985年文獻(xiàn)[5]才構(gòu)造出具有連續(xù)譜束縛態(tài)的真實(shí)物理系統(tǒng)。2008年,文獻(xiàn)[3]研究了光子晶體結(jié)構(gòu)中的連續(xù)譜束縛態(tài)。此后,連續(xù)譜束縛態(tài)受到廣泛關(guān)注,與之有關(guān)的研究快速發(fā)展。目前,連續(xù)譜束縛態(tài)的概念和研究已推廣到水波、聲波等其他波動(dòng)現(xiàn)象[1]。

連續(xù)譜束縛態(tài)可看成為品質(zhì)因子為無窮大的共振,只存在于若干離散的頻率上。連續(xù)譜束縛態(tài)由共振模式所包圍。通過擾動(dòng)波矢,可在連續(xù)譜束縛態(tài)附近找到任意大小品質(zhì)因子的共振模式[6]。此性質(zhì)使得連續(xù)譜束縛態(tài)在光學(xué)、光子學(xué)等領(lǐng)域都擁有廣闊的應(yīng)用前景。目前,連續(xù)譜束縛態(tài)已在波導(dǎo)、光柵、光子晶體及超材料等結(jié)構(gòu)中被廣泛研究[7],光子晶體中的連續(xù)譜束縛態(tài)現(xiàn)在已經(jīng)被用于傳感器,激光器和濾波器的設(shè)計(jì)當(dāng)中[8-10]。通常,共振模式的品質(zhì)因子與波矢之差的平方成反比。文獻(xiàn)[6]證明了存在特殊的連續(xù)譜束縛態(tài)使得附近共振模式的品質(zhì)因子與波矢之差的四次方和六次方成反比,并給出了兩類特殊連續(xù)譜束縛態(tài)的條件。從實(shí)際應(yīng)用角度來講,在這些特殊的連續(xù)譜束縛態(tài)附近更容易構(gòu)造出高品質(zhì)因子的共振模式。

連續(xù)譜束縛態(tài)可以大致分為兩類:對稱保護(hù)的連續(xù)譜束縛態(tài)[11-15]和非對稱保護(hù)的連續(xù)譜束縛態(tài)[2,16-19]。對稱保護(hù)的連續(xù)譜束縛態(tài)(Symmetry Protected Bound states in the continuum,SPBIC)的機(jī)理是:在對稱結(jié)構(gòu)中,布洛赫模的對稱性與結(jié)構(gòu)中輻射場的對稱性不相容,從而與輻射場不耦合,變成一個(gè)連續(xù)譜束縛態(tài)[3]。而非對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)的存在機(jī)理是:共振模式的輻射場之間發(fā)生干涉相消現(xiàn)象,造成沒有輻射,成為連續(xù)譜束縛態(tài)[3]。

連續(xù)譜束縛態(tài)的存在性與結(jié)構(gòu)的對稱性具有密切聯(lián)系。早期研究結(jié)果都是在對稱結(jié)構(gòu)中研究連續(xù)譜束縛態(tài),學(xué)術(shù)界一度認(rèn)為連續(xù)譜束縛態(tài)只存在于對稱結(jié)構(gòu)中。目前數(shù)學(xué)上還沒有非對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)的存在性理論。非對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)關(guān)于結(jié)構(gòu)對稱性的依賴關(guān)系非常復(fù)雜。文獻(xiàn)[20-23]從數(shù)值和實(shí)驗(yàn)上演示了破壞二維結(jié)構(gòu)的C2旋轉(zhuǎn)對稱性后,連續(xù)譜束縛態(tài)演化為共振模式。這間接說明了結(jié)構(gòu)的對稱性對非對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)的存在性具有重要影響。但是破壞對稱性后連續(xù)譜束縛態(tài)是否一定會(huì)演化為共振模式并沒有明確的結(jié)論。最近,文獻(xiàn)[24-26]證明了只要引入足夠多的結(jié)構(gòu)擾動(dòng)參數(shù),連續(xù)譜束縛態(tài)可以連續(xù)存在于非對稱的結(jié)構(gòu)中,且對于不同類型的連續(xù)譜束縛態(tài),所需要引入的最小參數(shù)的數(shù)量是不同的。上述結(jié)論表明,非對稱保護(hù)連續(xù)束縛態(tài)可以存在于非對稱結(jié)構(gòu)中,只要結(jié)構(gòu)的自由參數(shù)足夠多。

對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)只存在于對稱結(jié)構(gòu)中。光子晶體平板可具有四類旋轉(zhuǎn)對稱性:C2、C3、C4和C6旋轉(zhuǎn)對稱性,即分別旋轉(zhuǎn)180、120、90和60度后結(jié)構(gòu)不變。文獻(xiàn)[11-12]首先從數(shù)學(xué)理論上證明了在具有C2旋轉(zhuǎn)對稱的二維介質(zhì)結(jié)構(gòu)中對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)的存在性,在非對稱結(jié)構(gòu)中一定不存在對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)。研究對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)對上述四種不同類型對稱性的連續(xù)依賴性具有十分重要的意義。文獻(xiàn)[21]研究了C6旋轉(zhuǎn)對稱性對具有拓?fù)潆姾蔀閝=-2的對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)存在性的影響。通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)破壞C6對稱保持C2對稱,對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)依然存在,但是變成拓?fù)潆姾蓂=-1;破壞C6對稱保持C3對稱,對稱連續(xù)譜束縛態(tài)演化為共振模式,而且會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)非對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)。上述研究結(jié)果給出了一種產(chǎn)生非對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)的方法。目前,對于拓?fù)潆姾蔀閝=-1或q=1的對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)關(guān)于結(jié)構(gòu)對稱性的依賴關(guān)系沒有進(jìn)行系統(tǒng)討論,缺乏嚴(yán)格系統(tǒng)的依賴性理論。

研究C4旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)中對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)關(guān)于對稱性的依賴關(guān)系。建立了嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論證明破壞C4對稱保持C2對稱,對稱保護(hù)連續(xù)譜依然存在。并利用有限元軟件FreeFEM進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。相比于以前的研究,研究既有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論,又有數(shù)值驗(yàn)證。研究成果具有一般性,可推廣到分析對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)關(guān)于C6對稱性的依賴性,有利于深入理解連續(xù)譜束縛態(tài)關(guān)于對稱性的依賴關(guān)系,為其實(shí)際應(yīng)用提供理論指導(dǎo)。

2 連續(xù)譜束縛態(tài)

考慮一個(gè)在x與y方向?yàn)橹芷?在z方向上厚度有限的光子晶體平板。光子晶體平板通過在平板上構(gòu)造正方形空氣柱晶格所構(gòu)成。設(shè)平板厚度為2D,晶格常數(shù)為L,平板的介電常數(shù)為ε1,空氣的介電常數(shù)為ε0=1。記整個(gè)結(jié)構(gòu)的介電常數(shù)為ε(r),其中r=(x,y,z),則|z|>D時(shí)有ε(r)=1,且ε(r)滿足

ε(r)=ε(x+mL,y+nL,z)

(1)

其中,m與n為任意整數(shù)。

設(shè)光子晶體平板是無磁性、各向同性的,由麥克斯韋方程組可知,具有時(shí)間依賴e-iwt的時(shí)諧波的電場E滿足如下的控制方程:

××E-k2εE=0

·(εE)=0

E(r)=Φ(r)eik·r

其中,k=(α,β,0)為布洛赫波矢,實(shí)數(shù)α與β分別為x與y方向的布洛赫波速,Φ(r)滿足周期條件式(1)。

由于在|z|>D時(shí),結(jié)構(gòu)是均勻的,由傅立葉展開式與分離變量法可知,滿足向外輻射條件的布洛赫模可以展開為[18]

(2)

若結(jié)構(gòu)是無耗散的,即ε(r)為非負(fù)實(shí)函數(shù),則布洛赫?？梢苑譃槿?導(dǎo)模、共振以及連續(xù)譜束縛態(tài)。

(3)

式(3)是布洛赫模的一個(gè)附加條件,在一般情況下,連續(xù)譜束縛態(tài)不容易存在。

3 對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)

當(dāng)光子晶體平板具有旋轉(zhuǎn)對稱性時(shí),可能存在對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)。下面給出具有Cn旋轉(zhuǎn)對稱的光子晶體平板中對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)的定義,并分析其關(guān)于對稱性的依賴關(guān)系。利用旋轉(zhuǎn)對稱性下布洛赫模的性質(zhì),將連續(xù)譜束縛態(tài)的存在性問題轉(zhuǎn)變?yōu)樾D(zhuǎn)矩陣的特征值是否與一個(gè)簡單代數(shù)方程的解相同的問題;其次,給出了C4旋轉(zhuǎn)對稱的結(jié)構(gòu)中連續(xù)譜束縛態(tài)存在時(shí)所對應(yīng)的條件;然后,證明了破壞C4旋轉(zhuǎn)對稱保持C2旋轉(zhuǎn)對稱時(shí),連續(xù)譜束縛態(tài)依然存在;

具有Cn旋轉(zhuǎn)對稱性結(jié)構(gòu)的介電函數(shù)ε(r)滿足條件

ε(r)=ε(T-1r)

特別地,取α=β=0,即k=(0,0,0),有Tk=k,此時(shí)E(r)與TE(T-1r)是對應(yīng)同一個(gè)波矢與波速的兩個(gè)布洛赫模。若特征值問題是非退化的,則E(r)與TE(T-1r)線性相關(guān),即存在常數(shù)τ使得:

TE(T-1r)=τE(r)

(4)

將展開式(2)代入條件式(4)得:

(5)

具有C4旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)中的對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)都是由C2旋轉(zhuǎn)對稱所保護(hù)的,即破壞C4旋轉(zhuǎn)對稱,保持C2旋轉(zhuǎn)對稱,這些連續(xù)譜束縛態(tài)依然存在。

4 拓?fù)潆姾?/h2>

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

由于輻射邊界條件下的特征值問題定義在無窮區(qū)間上,無法用數(shù)值方法來計(jì)算。所以在實(shí)際計(jì)算連續(xù)譜束縛態(tài)的時(shí)候,可以用完美匹配層的方法來將無窮區(qū)域截?cái)酁橛邢迏^(qū)域。用完美匹配層截?cái)嗪蟮奶卣髦祮栴}是原特征值問題的一個(gè)近似,它們之間的誤差關(guān)于完美匹配層的參數(shù)σ*、H2-H1(即完美匹配層的厚度)指數(shù)衰退到零。所以只需要選擇合適的σ*與H2-H1,便可以得到足夠精確的特征解,即可以計(jì)算得到連續(xù)譜束縛態(tài)的頻率。

相對于擬周期邊界條件,在有限元方法中周期邊界條件更容易實(shí)現(xiàn)。用有限元方法求解偏微分方程最重要的是弄清楚解空間和變分形式。在用有限元求解時(shí),變分問題被近似為下列代數(shù)方程的特征值問題:

AΦ=k2BΦ

其中,A與B為矩陣。

圖1 光子晶體平板結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of photonic crystal plates

圖2 光子晶體平板結(jié)構(gòu)的俯視圖Fig. 2 Top view of the photonic crystal flat plate structure

圖3 PML截?cái)嗪蟮挠?jì)算區(qū)域Fig. 3 Computation region after PML truncation

若取h1=h2=0.15L,這時(shí)結(jié)構(gòu)具有C4旋轉(zhuǎn)對稱性。通過數(shù)值計(jì)算,可以找到5個(gè)TM-Like模式下(即Ez是z變量的奇函數(shù))的對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài),其頻率如表1的第2列所示。圖4(a)—圖8(a)分別是SPBIC1-SPBIC5在具有C4旋轉(zhuǎn)對稱的結(jié)構(gòu)中l(wèi)og10Q關(guān)于α與β的值。可以通過觀察得到當(dāng)(α,β)→(0,0)時(shí),Q的值趨近于無窮大。圖4(c)—圖8(c)分別是SPBIC1到SPBIC5在C4旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)中的磁場z分量Hz在z=0時(shí)的場圖。從下面的場圖可以觀察得到,SPBIC1與SPBIC5對應(yīng)于τ=1,其他3個(gè)對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)對應(yīng)于τ=-1。表1的最后一列表示為對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)的拓?fù)潆姾伞?/p>

表1 C4與C2旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)中對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)的頻率的值Table 1 Value the frequency of symmetrically protected bound states in the continuum in the rotationally symmetric structure of C4 and C2

(a)(b)

(a)(b)

(a)(b)

(a)(b)

(a)(b)

若保持h1=0.15L,令h2=0.1L,參數(shù)擾動(dòng)后結(jié)構(gòu)的C4旋轉(zhuǎn)對稱性被破壞,但保持了C2旋轉(zhuǎn)對稱性。通過數(shù)值計(jì)算表明,SPBIC1-SPBIC5在擾動(dòng)后的結(jié)構(gòu)中依然存在,其頻率如表1的第三列所示,可以發(fā)現(xiàn)兩種結(jié)構(gòu)下連續(xù)譜束縛態(tài)的頻率近乎相等。圖4(b)—圖8(b)分別是SPBIC1到SPBIC5在具有C2旋轉(zhuǎn)對稱的結(jié)構(gòu)中l(wèi)og10Q關(guān)于α與β的值?？梢酝ㄟ^觀察得到當(dāng)(α,β)→(0,0)時(shí),Q的值趨近于無窮大,并且可以發(fā)現(xiàn)兩種結(jié)構(gòu)下,log10Q關(guān)于α與β的值很相近。圖4(d)—圖8(d)分別代表的是擾動(dòng)后SPBIC1-SPBIC5在C2旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)中的磁場z分量Hz在z=0時(shí)的場圖。從下面的場圖可以觀察得到,SPBIC1與SPBIC5仍然對應(yīng)于τ=1,其他3個(gè)對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)也依舊對應(yīng)于τ=-1。通過對比,可以發(fā)現(xiàn)兩種結(jié)構(gòu)下的場圖幾乎一模一樣,并且可以發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)擾動(dòng)不改變對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)的拓?fù)潆姾伞?/p>

經(jīng)過數(shù)值計(jì)算,從擾動(dòng)前后不同結(jié)構(gòu)下對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)的頻率以及對比分析它們的Q因子圖和場圖可以觀察得到具有C4旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)的光子晶體平板中的對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)都是由C2旋轉(zhuǎn)對稱性所保護(hù)的。即若破壞C4旋轉(zhuǎn)對稱但保持C2旋轉(zhuǎn)對稱,原有的對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)依然存在。進(jìn)一步反映了C4旋轉(zhuǎn)對稱與C2旋轉(zhuǎn)對稱之間的依賴關(guān)系。

6 結(jié)束語

構(gòu)建了系統(tǒng)分析連續(xù)譜束縛態(tài)關(guān)于旋轉(zhuǎn)對稱性的依賴?yán)碚?并且重點(diǎn)研究了C4旋轉(zhuǎn)對稱的情況,分別從理論和數(shù)值兩個(gè)方面證明了具有C4旋轉(zhuǎn)對稱光子晶體平板中的對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)都是由C2旋轉(zhuǎn)對稱性所保護(hù)的。即破壞C4旋轉(zhuǎn)對稱但是保持C2旋轉(zhuǎn)對稱性,原對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)依然存在。

雖然只考慮了C4旋轉(zhuǎn)對稱光子晶體平板中的對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài),但提出的理論和數(shù)值分析方法都可以用于研究具有C6旋轉(zhuǎn)對稱的光子晶體平板,不過由于此結(jié)構(gòu)同時(shí)具有C2與C3旋轉(zhuǎn)對稱性,對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)與對稱性的依賴關(guān)系可能會(huì)更加復(fù)雜。提出的理論分析方法也可以適用于所有旋轉(zhuǎn)對稱的情況。由于是從麥克斯韋方程組出發(fā),沒有引入模型近似,并且分析過程根據(jù)嚴(yán)格。研究結(jié)果有利于深入理解對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)的性質(zhì),為其理論分析和實(shí)際應(yīng)用提供指導(dǎo)。