肖剛　魏苗　劉藝　馬杰

摘 要：文章在已有研究的基礎(chǔ)上，對2016-2021年全國大部分地區(qū)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷中的數(shù)列試題進行了分析探究.文章將數(shù)列試題歸納整理成了求通項公式、數(shù)列求值、數(shù)列求和、與函數(shù)方程結(jié)合、與不等式結(jié)合、概率計算、存在性問題、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列創(chuàng)新定義及其他探究類型十大類.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽；數(shù)列；試題研究

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）18-0005-03

收稿日期：2023-03-25

作者簡介：肖剛（1990-），男，四川人，碩士，助教，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

劉藝（1998-），女，四川人，碩士，助教，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

魏苗（2000-），女，四川人，在讀本科，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

馬杰（1978-），男，四川人，本科，高級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項目：宜賓學(xué)院校級一流本科專業(yè)“數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)”項目（項目編號：409-XYLZY202101）

1 研究緣起

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽的必考內(nèi)容之一，由于數(shù)列知識的命題靈活度高，成為數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一大難點，參賽選手若能夠攻克這一難點，相信對提高其競賽成績定有所幫助.另外，國內(nèi)關(guān)于專門研究高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽數(shù)列試題的文章較少，因此筆者希望通過文章的論述，能夠為此問題的研究提供一些參考.最后，數(shù)列試題往往知識容量大，題目的綜合性較高，對學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力以及運算能力有較高要求，若是學(xué)生對數(shù)列試題有所突破的話，相信能很大程度地提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 研究設(shè)計

2.1 研究對象

文章以2016-2021近六年的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽數(shù)列試題作為研究對象，主要從高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽概述及要求、高中數(shù)列知識綱要、高中數(shù)學(xué)競賽數(shù)列問題的十大題型這幾個方面進行分析.

2.2 研究思路及方法

文章主要采用了文獻研究法和實踐分析法.

采用文獻研究法，從而全方位地、準(zhǔn)確地了解研究者們對數(shù)列問題的歷史研究進展.

采用實踐分析法，文章收集了2016-2021近六年的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽中的數(shù)列試題，通過對其考核規(guī)則與能力要求、題型、題目的數(shù)量、題目的分值、各省份出現(xiàn)的數(shù)列題目異同等方面進行分析比較.

3 研究結(jié)論

文章選取2016-2021近六年里，全國大部分地區(qū)自行組織的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽的真題進行統(tǒng)計分析，數(shù)據(jù)來源于中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會及各省市數(shù)學(xué)會聯(lián)合編寫的《高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊》.

3.1 橫向數(shù)據(jù)對比

通過統(tǒng)計2016-2021近六年的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽數(shù)列試題發(fā)現(xiàn)，可以將試題的提問方式歸類為以下幾種類型：求通項公式、數(shù)列求值、數(shù)列求和、與函數(shù)方程結(jié)合、與不等式結(jié)合、概率計算、存在性問題、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列創(chuàng)新定義以及其他探究類型.下面，對2016-2021年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽數(shù)列試題題量進行統(tǒng)計分析，具體見表1.

對上述表格的內(nèi)容進行分析，可以得到以下一些信息：

從每年數(shù)列試題題量的占比上看，2016年的占比約為20.87%，其中，數(shù)列求值類考查了11道，考查次數(shù)最多，約占2016年的25.58%；2017年的占比約為21.84%，其中，數(shù)列求值類考查了19道，考查次數(shù)最多，約占2017年的42.22%；2018年的占比約為15.53%，其中，數(shù)列求和類類考查了10道，考查次數(shù)最多，約占2018年的31.25%；2019年的占比約為11.17%，其中，數(shù)列求值類和數(shù)列求和類考查了6道，考查次數(shù)最多，都約占2019年的26.09%；2020年的占比約為16.50%，其中，數(shù)列求值類考查了10道，考查次數(shù)最多，約占2020年的29.41%；2021年的占比約為14.08%，其中，數(shù)列求值類考查了10道，考查次數(shù)最多，約占2021年的34.48%.

從題型的集中與分散程度上來看，2016-2021年每年考查的題型大致相同.

從表1中的信息可以看出，近六年來的數(shù)列試題考查數(shù)量較為失衡，具體見圖1.

從圖1可以看出，2016-2021近六年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽中數(shù)列題的考查數(shù)量波動較大.2016年、2017年都多于了40題，2018年和2019年都少于了40題.到了2020年突然上升，達到了34題.2021年又突然減少，與2020年相比，少了5道題.

從每年數(shù)列題目的提問方式上來看，數(shù)列求值問題是近六年數(shù)列題中最?？嫉念}目類型，其次是與不等式結(jié)合的問題.具體見圖2.

從圖2可以得出，2016-2021近六年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽的數(shù)列題中，“求通項公式”類考了16道，其中，占比約為7.77%；“數(shù)列求值”類考了62道，其中，占比約為30.10%；“數(shù)列求和”類考了32道，其中，占比約為15.53%；“與函數(shù)方程結(jié)合”類考了9道，其中，占比約為4.37%；“與不等式結(jié)合”類考了38道，其中，占比約為18.45%；“概率計算”類考了7道，其中，占比約為3.40%；“存在性問題”類考了9道，其中，占比約為4.37%；“數(shù)學(xué)歸納法”類考了3道，其中，占比約為1.46%；“數(shù)列創(chuàng)新定義”類考了24道，其中，占比約為11.65%；其他探究類型考了6道，其中，占比約為2.91%.

下面，對2016-2021年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽數(shù)列試題的分值進行統(tǒng)計分析，具體見表2.

對表2的內(nèi)容進行分析，可以得到以下一些信息：

從每年考查數(shù)列試題的分值上看，2016年共計502分，2017年共計516分，2018年共計424分，2019年共計263分，2020年共計388分，2021年共計324分，總共2417分.

從每年考查數(shù)列試題分值的占比上看，2016年的占比約為20.77%，其中，與不等式結(jié)合類查了105分，分值最高，約占2016年的20.92%；2017年的占比約為21.35%，其中，數(shù)列求值類考查了149分，分值最高，約占2017年的28.88%；2018年的占比約為17.54%，其中，數(shù)列求和類考查了129分，分值最高，約占2018年的30.42%；2019年的占比約為10.88%，其中，數(shù)列求和類考查了68分，分值最高，約占2019年的25.86%；2020年的占比約為16.05%，其中，與不等式結(jié)合類考查了154分，分值最高，約占2020年的39.69%；2021年的占比約為13.41%，其中，數(shù)列求值類考查了68分，分值最高，約占2021年的20.99%.

從表2中的信息可以看出，近六年來的數(shù)列試題所占分值較為失衡，具體見圖3.

從圖3可以得出，2016-2021近六年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽中數(shù)列試題所占分值波動較大.2016年、2017年所占分值相對高一些，大于500分，2018年其次，大于400分，2020年、2021年大于300分，2019年所占分值相對低一些，小于300分.

從每年數(shù)列題目的提問方式上來看，與不等式結(jié)合問題是近六年數(shù)列題中所占分值最高的，其次是數(shù)列求值的問題，而概率計算的問題所占分值較低.具體見圖4 ：

從圖4可以得出，2016-2021近六年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽的數(shù)列題中，“求通項公式”類所占分值為152，其中，占比約為6.29%；“數(shù)列求值”類所占分值為466，其中，占比約為19.28%；“數(shù)列求和”類所占分值為393，其中，占比約為16.26%；“與函數(shù)方程結(jié)合”類所占分值為169，其中，占比約為6.99%；“與不等式結(jié)合”類所占分值為562，其中，占比約為23.25%；“概率計算”類所占分值為46，其中，占比約為1.90%；“存在性問題”類所占分值為187，其中，占比約為7.74%；“數(shù)學(xué)歸納法”類所占分值為56，其中，占比約為2.32%；“數(shù)列創(chuàng)新定義”類所占分值為308，其中，占比約為12.74%；其他探究類型所占分值為78，其中，占比約為3.23%.

參考文獻：

[1]葉誠理.新課程下開展高中數(shù)學(xué)競賽的實踐和認識[D].福州：福建師范大學(xué)，2009：1-2.

[2] 楊茜.全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之?dāng)?shù)列問題研究[D].西安：西北大學(xué)，2016：1-2.

[3] 姜瑩瑩.融合高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)競賽思想方法提升中學(xué)師生素養(yǎng)的研究[D].南寧：廣西民族大學(xué)，2019：8-9.

[4] 逢萌.高中數(shù)學(xué)競賽中的數(shù)列問題研究[D].開封：河南大學(xué)，2020：2-3.

[5] 孟祖國.高中數(shù)列的有效教學(xué)研究[D].武漢：華中師范大學(xué)，2011，19-20.

[責(zé)任編輯：李 璟]