王旭東

空間幾何體的外接球半徑問題側重考查圓柱、圓錐、圓臺、棱柱、棱錐、棱臺、球等簡單空間幾何體的結構特征、性質、體積公式的應用，這類問題對同學們的數(shù)學運算、邏輯推理和空間想象能力都有著較高的要求.如何選用一種適合的方法，簡單便捷地求得外接球的半徑，也是我們需重點關注的.本文主要探討一下求空間幾何體外接球半徑的兩種措施.

一、采用轉化法

轉化法是解答高中數(shù)學問題的一種常用方法.在求空間幾何體外接球的半徑時，可將空間中的點、半徑、線段等看作某一個平面圖形上的點、半徑、線段，采用轉化法，將復雜的空間幾何體外接球的半徑問題轉化為簡單的平面距離問題.再在各個平面內(nèi)，根據(jù)勾股定理、正弦定理、余弦定理等平面幾何知識求解.這樣便可將復雜的問題簡單化.

例1.

解：

通過分析題目中所給的條件，可發(fā)現(xiàn)只要構造 Rt△OO1A ，就可以利用直三棱柱的性質，將直三棱柱外接球的半徑看作 Rt△OO1A 中的 OA 長.這樣利用勾股定理和正弦定理求出 OA 的長度，即可求得直三棱柱 ABC - A1B1C1 外接球的半徑.

二、利用定義法

球的半徑是球心到球面上各個點的距離.在求空間幾何體外接球的半徑時，可根據(jù)球的定義，將問題轉化為求空間幾何體外接球的球心到幾何體各個頂點的距離.因此只要能夠確定幾何體外接球球心的位置，求得球心到幾何體各個頂點的距離，問題就能夠迎刃而解.

例2

解：

解答本題，需根據(jù)球的定義以及三棱錐 P - ABC 的特征，明確直線 l 上的點到 A、B、C 的距離均相等，且直線 l 與 O1O2 交于 O1 ，進而確定三棱錐 P - ABC 外接球的球心就是 O1 ，O1C 即為球的半徑.

總之，求空間幾何體外接球的半徑，需把握球的定義以及空間幾何體的特征，靈活運用定義法和轉化法，將問題簡化為空間距離和平面距離問題來求解.