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直觀想象素養(yǎng)導向的立體幾何教學研究

2023-07-13 14:13李靜依
數(shù)學之友 2023年4期
關鍵詞:直觀想象

李靜依

摘 要:《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》提出要發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng),但在課堂教學中如何培養(yǎng)核心素養(yǎng)仍是一大難題.本研究以新教材立體幾何證明的開篇課“直線與平面平行”為例,通過借助幾何直觀幫助學生認識引入判定定理的必要性,構建幾何直觀模型發(fā)現(xiàn)和論證判定定理與性質定理,嘗試將內隱的直觀想象核心素養(yǎng)外顯化到具體的教學環(huán)節(jié)中,借助幾何直觀使抽象問題形象化,構建數(shù)學問題的直觀模型使復雜問題簡單化,從而落實直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

關鍵詞:直觀想象;線面平行;內隱素養(yǎng)外顯化

《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》(下稱《高中數(shù)學新課標》)提出要在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中,學生能發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學核心素養(yǎng)[1].課堂教學是落實核心素養(yǎng)的主要陣地,但在實際教學中,教師如何落實培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教學目標?

《高中數(shù)學新課標》強調:直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理、構建抽象結構的思維基礎[1].立體幾何是提升直觀想象素養(yǎng)的重要載體,“直線與平面平行”是高中立體幾何證明學習的開篇課,對后續(xù)建立線線、線面、面面平行與垂直的知識體系,培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)具有示范引領作用.因此研究首先明確直觀想象素養(yǎng)的內涵,以“直線與平面平行”為例,嘗試將內隱的直觀想象素養(yǎng)外顯化到教學活動中,進一步落實培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的教學目標,為后續(xù)立體幾何教學提供參考.

1 “直觀想象”素養(yǎng)的內涵

《高中數(shù)學新課標》將直觀想象素養(yǎng)的內涵概括為:借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學問題.其外延包括:借助空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系,構建數(shù)學問題的直觀模型,探索解決問題的思路[1].

學者們在研究中也提出了對直觀想象能力內涵的理解:徐德同和錢云祥認為直觀想象是依托、利用圖形進行數(shù)學的思考和想象,本質上是一種基于圖形展開想象的思維能力[2].胡鳳娟等認為“直觀想象”是運用圖形和空間想象思考問題、運用數(shù)形結合解決問題的能力;通過幾何直觀洞察表面現(xiàn)象的數(shù)學結構與聯(lián)系,抓住事物的本質[3].朱立明認為直觀想象即借助幾何直觀來生動形象地描述和分析數(shù)學問題,實現(xiàn)抽象思維與形象思維之間的轉換;空間想象則是掌握描述空間圖形的符號語言,空間圖形與直觀圖形之間的相互轉化,能夠對空間幾何體進行分解與組合,并分析新幾何體的數(shù)量和位置關系[4].

通過文獻梳理,學者們對直觀想象的內涵基本上都引用了教育部髙中新課標給出的界定.因此,本文將直觀想象能力的概念界定為:借助幾何直觀和空間想象理解和解決數(shù)學問題的能力.幾何直觀借助直觀化的圖形,將復雜問題簡單化;空間想象則對客觀事物的空間形式進行觀察、分析、抽象及思考和構造創(chuàng)新,包括認識事物的構成要素、結構特征、位置關系、形態(tài)變化和運動規(guī)律等.

2 “直線與平面平行”教學設計

新教材對“空間直線、平面的平行”的內容編排進行了調整,以往2003版是將線面平行的判定和性質分開,在單元教學中先完成線面平行、面面平行的判定再轉向性質的探究,而新教材則將兩課時合并,在研究線面平行的判定后轉向性質的研究,更注重思維的連續(xù)性.本節(jié)課的教學目標之一是發(fā)現(xiàn)并論證線面平行的判定定理和性質定理,需要解決三個關鍵點:一是線面平行判定定理引入的必要性;二是如何引導學生發(fā)現(xiàn)并論證線面平行的判定定理;三是在學習判定定理后如何自然過渡到性質定理的發(fā)現(xiàn)和論證.

根據(jù)直觀想象素養(yǎng)的內涵,建立數(shù)與形的聯(lián)系、借助幾何直觀使抽象問題形象化、構建直觀模型使復雜問題簡單化是落實直觀想象素養(yǎng)的幾個關鍵環(huán)節(jié),本文借助幾何直觀幫助學生認識學習判定定理的必要性,構建幾何直觀模型發(fā)現(xiàn)和論證判定定理和性質定理,從而解決三個關鍵問題并落實直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).

2.1 借助幾何直觀形成認知沖突,明確學習判定定理的必要性

在教學導入時,引導學生回顧直線與平面的位置關系及判定方法,為了明確學習判定定理的必要性,提出以下問題.

核心問題1:“線在面內和線與面相交從直觀上易判斷直線與平面的公共點個數(shù),如何判斷線面平行呢?”在得到學生用線與平面沒有公共點的方法判斷線面平行時,追問:“圖1中直線a與平面α平行嗎?直線是無限延伸的,平面也是無限延展的,用直線與平面沒有公共點來判斷線面平行是否方便?”

將圖1設置成動畫,展示直線無限延伸、平面無限延展的運動過程,啟發(fā)學生用定義去判定線面平行存在困難,需要引進一個更易于操作的方法來判斷線面平行,明確學習判定定理的必要性.

【設計意圖】在導入環(huán)節(jié)中,回顧直線和平面的三種位置關系及判斷依據(jù),結合圖形發(fā)現(xiàn)通過公共點個數(shù)判斷線在面內、線面相交較為容易,但構建的“直線無限延伸、平面無限延展”幾何直觀與學生已有的判斷線面平行的方法形成認知沖突,明確學習判定定理的必要性.

2.2 從實例中抽象出幾何直觀模型,發(fā)現(xiàn)判定定理的關鍵要素

線面平行判定定理的證明難度不大,關鍵在于如何明確判定定理的關鍵要素,以往教師在授課時大多數(shù)是讓學生觀察實例,從而得出判定定理及證明,但定理條件的發(fā)現(xiàn)較為突兀,本文則通過構建幾何直觀模型,通過“直觀感知—操作確認—推理論證—思辨分析”,小步子引導學生發(fā)現(xiàn)判定定理.

2.2.1 直觀感知

結合教材中“觀察門和書本轉動”判斷線面平行位置關系的具體實例,引導學生初步感知直線與平面平行的模型,將感性認識轉化為理性思考.

2.2.2 操作確認

核心問題2:我們觀察到上述兩個例子,直線和平面是平行的,那是什么因素讓我們有這樣的感受呢?借助直角梯形紙板做個小實驗:

(1) 將直角梯形的下底邊BC緊靠桌面,并繞BC轉動,觀察上底邊AD所在直線與桌面所在平面的位置關系.

(2) 將直角梯形的直角腰AB緊靠桌面,并繞AB轉動,觀察斜腰CD所在直線與桌面所在平面的位置關系.

學生易觀察出第一個實驗中直線AD和平面平行,第二個實驗直線CD和平面不平行.

追問:上述演示的直線與平面的位置關系為何不同?關鍵是什么要素在起作用?

學生易發(fā)現(xiàn),兩個實驗結果不同的原因在于第一個實驗中直線AD和BC平行,第二個實驗直線CD和AB不平行.從而確定判定直線與平面平行關鍵在三個要素:① 平面外一條線;② 平面內一條直線;③ 這兩條直線平行,進一步得出線面平行的判定定理:aα,bα且a∥ba∥α.

2.2.3 推理論證

猜想 如果平面外一條直線與平面內的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.

2.2.4 思辨分析

核心問題3:能否從定義的角度對判定定理進行辨析?

因為a∥b,所以兩條直線沒有公共點;在平面α內平移b,得到直線c,根據(jù)平行公理可得a∥c.前面我們已經學習過推理3:經過兩條平行直線有且只有一個平面.無數(shù)條與a平行的直線“鋪滿”平面α,則平面α內的任一點均在直線a的某條平行線上,于是直線a與平面α沒有公共點,即a∥α.

【設計意圖】通過“直觀感知—操作確認—推理論證—思辨分析”的認識方法,讓學生經歷線面平行判定定理的發(fā)現(xiàn)過程,將空間問題轉化為平面問題,進一步滲透化歸與轉化的數(shù)學思想.其中在判定定理的發(fā)現(xiàn)過程中,除了對生活實例進行抽象,還設計了“梯形實驗”,抽象出幾何直觀模型引導學生發(fā)現(xiàn)判斷線面平行的關鍵要素,培養(yǎng)學生借助直觀模型和空間想象分析、解決問題的意識.

2.3 引入線、面構建幾何直觀模型,發(fā)現(xiàn)并論證性質定理

新教材將“線面平行判定定理和性質定理”進行合并,在研究線面平行的判定后轉向性質的研究,更注重思維的連續(xù)性,在教學中如何建立性質定理與判定定理的緊密聯(lián)系?本文將在原有模型中引入線、面,構建新的幾何直觀模型,從而引導學生發(fā)現(xiàn)并論證線面平行的性質定理.

核心問題4:已知a∥α,直線a與平面α內的直線有怎樣的位置關系?由定義易發(fā)現(xiàn)平面α內的直線與直線a平行或異面.追問:那么在什么條件下,平面α內的直線與直線a平行呢?

追問:在上述模型中,我們引入的是過直線a的平面β,從而發(fā)現(xiàn)了線面平行的性質定理,是否可以加入其他的直線或平面,它們與已知的直線、平面會有怎樣的位置關系?

如圖6,在原有線面平行模型的基礎上,引入與直線a平行的平面β,且平面β與平面α相交,那么直線a與兩個平面的交線b平行.如圖7,在平面α外引入與直線a平行的直線b,那么直線b也與平面α平行.

【設計意圖】從尋找線面平行的必要條件出發(fā),通過猜想能否從線面平行推出線線平行,將平面問題轉化為空間問題,再一次滲透化歸與轉化的數(shù)學思想.性質定理的發(fā)現(xiàn)是在原有線面平行的模型中,引入過直線a且與平面α相交的平面β,進一步引導學生思考能否從已有的位置關系出發(fā),加入同類元素(線、面)組成新的直觀模型,發(fā)現(xiàn)模型中的一些確定關系.

3 教學思考

3.1 教學設計的思路

為了解決前文提到的三個關鍵問題,教學設計結合新教材做了如下處理:① 在課程導入時動態(tài)展示直線無限延伸,平面無線延展,發(fā)現(xiàn)用定義判斷線面平行不易操作,明確學習線面平行判定定理的必要性,從而解決關鍵問題一.② 在判定定理的發(fā)現(xiàn)過程中,除了引用教材中讓學生觀察門和書本轉動的具體實例,還構建了“直角梯形”直觀模型,抽象出幾何直觀模型引導學生進一步發(fā)現(xiàn)線面平行的三個關鍵要素;在判定定理的論證過程中,采用反證法和思辨論證分析相結合.根據(jù)平行線的傳遞性,直線平行于平面無數(shù)條直線,由“線動成面”得出直線與平面沒有交點,從而證明線面平行,此過程學生可以接受,但根據(jù)學生已有的認知,由直線判斷直線是否平行于平面,大部分學生的認知起點是會從直線與平面沒有交點的角度來論證,因此本教學設計在思辨分析的前面增加了反證法,即先通過交點個數(shù)論證,再結合“線動成面”回歸定義進一步解釋,比較符合學生的認知規(guī)律,從而解決關鍵問題二.③ 對于性質定理的發(fā)現(xiàn)與論證,則通過邏輯推理引導學生探究在線面平行條件下線線的位置關系(異面或平行),再過渡到線線平行這種特殊的位置關系.在論證過程中,通過在原有線面平行的模型中,加入同類元素(線、面)組成新的模型,借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)并論證線面平行的性質定理,邏輯清晰容易理解,從而解決關鍵問題三[5].教學結合數(shù)學問題串的設計,拋出關鍵問題,教學過程層層遞進、環(huán)環(huán)相扣,符合學生原有的認知基礎和基本認知規(guī)律.

3.2 教學中滲透直觀想象素養(yǎng)

本節(jié)課的另一教學目標是在教學過程中發(fā)展學生的直觀想象核心素養(yǎng),在本節(jié)課的教學中,從課程導入(借助線面位置關系幾何直觀分析問題)——判定定理的發(fā)現(xiàn)及論證(借助梯形實驗抽象出線面平行的直觀模型,明確判定定理的關鍵要素)——性質定理的發(fā)現(xiàn)及論證(引入不同的線、面構建不同的直觀模型),將內隱的直觀想象素養(yǎng)外顯化到具體的教學環(huán)節(jié)中,借助幾何直觀理解問題、運用空間想象認識事物、構建幾何直觀模型探索問題等,較好地培養(yǎng)學生直觀想象這一核心素養(yǎng).

數(shù)學核心素養(yǎng)目標的落實是一線教師的難題,核心素養(yǎng)不能停留在內隱層面,不能只是空洞的理念,而應當積極走向外顯,用顯性的行為實踐隱性的意圖[6].本設計在確立素養(yǎng)目標后將其分解到一個個具體的教學環(huán)節(jié)中,教師必須對課標進行深入的分析,結合具體的教學內容明確本單元、本課時的核心素養(yǎng)目標,將具體目標和教學內容相結合,把核心的理念轉化為外顯的數(shù)學問題與數(shù)學活動,讓學生親身經歷數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展過程,從而隱性地發(fā)展核心素養(yǎng).

參考文獻:

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.

[2] 徐德同,錢云祥.基于質量監(jiān)測的初中學生直觀想象發(fā)展狀況的調查研究[J].數(shù)學教育學報,2017,26(1):2224.

[3] 胡鳳娟,保繼光,任子朝,陳昂.高中數(shù)學核心素養(yǎng)測評案例研究[J].中國考試,2017(11):1016.

[4] 朱立明,胡洪強,馬云鵬.數(shù)學核心素養(yǎng)的理解與生成路徑——以高中數(shù)學課程為例[J].數(shù)學教育學報,2018,27(1):4246.

[5] 韓麗英.立足學法建構 提升核心素養(yǎng)——以“直線與平面平行的判定及其性質”教學活動設計為例[J].中學數(shù)學教學參考,2021(25):3337.

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