李齊榮

［摘要］ 以一節(jié)試題講評教學過程設計為例，探索思維進階策略，通過預設問題，鋪設臺階，經(jīng)歷過程，引導學生思維由淺表向本源進階；通過追問啟發(fā)，一題多解，引導思維由應用向分析進階；通過引導學生利用從特殊到一般地解決問題，引導學生思維深度進階；通過歸納思想，深度學習，引導學生思維從分析到創(chuàng)新進階，發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)，讓創(chuàng)新意識的培養(yǎng)貫穿數(shù)學教育的始終。

［關鍵詞］ 深度學習；數(shù)學思維進階；創(chuàng)新意識

弗賴登塔爾在《作為教有任務的數(shù)學》中提出了“再創(chuàng)造”這一數(shù)學教學思想。筆者認為，學生的“再創(chuàng)造”應該從思維進階開始。教師在平時的教學活動中，要以實例引導學生利用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等，表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義；再使用類比、歸納、從特殊到一般、從一般到特殊等邏輯方法將問題一般化，探索規(guī)律，培養(yǎng)興趣，促進學生主動學習、深度學習、思維進階，幫助學生脫離題海，形成模型思想和應用意識，激發(fā)創(chuàng)新思維，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)。本文以泰州市姜堰區(qū)2021-2022學年度第一學期期末測試九年級數(shù)學最后壓軸題的教學設計為例，闡述嘗試引導學生思維深度進階的方案。

如圖1，已知點P是拋物線y=-x²+1的頂點，矩形ABCD中，頂點A、B在該拋物線上（其中點A在第一象限），頂點C、D在x軸上，連接線段BD、PD、BP，DP、AB交于點E。

（1）若點D坐標為（m，0），則點A、B、P坐標分別為A（▲，▲）、B（▲，▲）、P（▲，▲）。

（2）①求證：∠BPD=90°；②連接PA，求證：PA²=PD·PE。

（3）解決完以上問題后，小明不禁自問：是不是只有拋物線y=-x²+1才有（2）中的結(jié)論呢？善于思考的小明將y=-x²+1作一般化處理，并提出了如下兩個問題：①如圖1拋物線y=-ax²+c（a＜0）中字母a、c滿足什么條件才能使∠BPD=90°，并說明理由；②如圖2拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）中字母a、b、c滿足什么條件才能使∠BPD=90°，請直接寫出結(jié)論。

一、教學分析

（一）題目分析

新課標指出，發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎；獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。本題主要考查學生對二次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、相似三角形、勾股定理等知識點的綜合運用能力，以拋物線為載體，以點的坐標為橋梁，以坐標的幾何意義為媒介，建立數(shù)與圖形之間的聯(lián)系，領會數(shù)形結(jié)合、方程、函數(shù)等數(shù)學思想，指向數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)。同時，出題者希望借助本題再次引導學生回顧蘇科版初中數(shù)學教材“二次函數(shù)圖像及性質(zhì)”中的探究方法，突出對學生閱讀分析能力、推理探究能力的考查；引導學生不要只顧埋頭刷題，要抽空抬頭靜思，從特殊到一般地進行探索、推理、實踐，培養(yǎng)學生的自主探索、推理、實踐能力和創(chuàng)新思維。

（二）學情分析

本題整體得分率較低，存在的主要問題有頂點坐標寫錯、過程中計算出錯、時間不夠未能答全等。對此，給出的解決方法有：一先想后算，審清題目，理清思路，避免中途更改；二多想少算，解法優(yōu)化，擇優(yōu)書寫，少走彎路，完整過程不丟分。

（三）目標分析

一是經(jīng)歷自主探究的過程，培養(yǎng)學生獨立探究和分析問題的能力。二是經(jīng)歷合作探究過程，培養(yǎng)學生合作意識和創(chuàng)新能力。三是經(jīng)歷類比、猜想、論證的數(shù)學思維過程，讓學生體會從特殊到一般、從一般到特殊的歸納演繹推理過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法和數(shù)學建模能力。四是經(jīng)歷這些數(shù)學問題探究過程，讓學生感受數(shù)學的神奇魅力，提高學生學習數(shù)學的興趣。

（四）重點與難點

二次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、相似三角形、勾股定理等知識點的綜合運用能力及擇優(yōu)書寫解題過程的辨析能力培養(yǎng)；從特殊到一般、從一般到特殊的歸納總結(jié)建模，促進思維進階，進行深度學習。

二、教學過程設計

（一）鋪設臺階，經(jīng)歷過程，思維由淺表向本源進階

問題1：抓住關鍵詞，特殊引入，回答下列問題：

（1）點P是拋物線y=-x²+1的頂點，則P（___，___）。

（2）矩形ABCD中，頂點A、B在該拋物線上（其中點A在第一象限），頂點C、D在x軸上，若點D坐標為（1/2，0），則點A、B、P坐標分別為A（___，___）、B（___，___）、P（___，___）。

（3）指出（2）中A、B、C、D四點坐標間的關系。

（4）①在滿足（2）的情況下，求證：∠BPD=90°；②連接PA，求證：PA²=PD·PE。

【設計意圖】從特例引入。

問題2：（1）若點D坐標為（m，0）（由點A在第一象限，隱含m﹥0的條件），則點A、B、P坐標分別為A（___，___）、B（___，___）、P（___，___）。

（2）對比各點坐標間關系，哪些有變化？哪些不變？

（3）①求證：∠BPD=90°；②在此基礎上，連接PA，求證：PA²=PD·PE。

（4）上面用的方法在這里可以同理應用嗎？

【設計意圖】由特殊定點到動點，對比歸納，類比學習。

問題3：善于思考的小明將y=-x²+1作一般化處理為y=-x²+c（c﹥0），當c滿足什么條件才能使得∠BPD=90°，并說明理由。

【設計意圖】引入一個參量，讓函數(shù)逐步走向一般。

問題4：如圖1拋物線y=ax²+c（a＜0）中，字母a、c滿足什么條件，才能使∠BPD=90°，并說明理由。

【設計意圖】再引入一個參量，讓函數(shù)更加一般化，引導學生思維逐步進階。

問題5：拋物線y=ax²+bx+c可否化為拋物線y=ax²+c的形式？

【設計意圖】為解決下面問題鋪設臺階，引導學生思考二次函數(shù)y=ax²、y=ax²+k和y=ax²+bx+c間的關系，課本中是如何探索這類問題的，引導學生思維進階。

問題6：如圖2拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）中字母

a、b、c滿足什么條件才能使∠BPD=90°，請直接寫出結(jié)論。

【設計意圖】從二次函數(shù)的特殊形式到一般式，引導學生由特殊到一般，層層進階。

筆者在引導學生思維進階前了解到，蘇科版數(shù)學九年級下冊《教師教學用書》中提出“第5章第2節(jié)，從描點法畫二次函數(shù)y=x2的圖像開始，用運動、變化的觀點，由特殊到一般運用數(shù)形結(jié)合的思想逐步探討二次函數(shù)y=ax²、y=ax²+k和y=ax²+bx+c的圖像和基本性質(zhì)，這是二次函數(shù)的核心內(nèi)容，也是應用二次函數(shù)知識解決相關問題的基礎”。本題命制的主導思想亦是如此。由具體二次函數(shù)及具體數(shù)解決問題，只是淺顯的應用，其本源要深度追溯到在一般式中的應用。因此，筆者預設問題，層層深入，讓學生親身體驗知識的發(fā)生、發(fā)展過程，最大限度地引導學生投入觀察、思考、操作、推理、抽象的活動中，引導學生思維由表及里進階，由簡單識記條件的反射式思維向理解實踐的應用型思維進階，在活動中讓思維自由生長。

（二）追問啟發(fā)，一題多解，思維由應用向分析進階

問題1中第（4）問，筆者通過追問引導學生思考一題多解，啟發(fā)學生思維由應用向分析進階。

追問1：求證：∠BPD=90°有哪些常用方法？

生：勾股定理的逆定理。（這是這次考試中用得最多的方法）

證法1（生分享證明思路）：如圖3，當點D坐標為（1/2，0）時，則點A（1/2，3/4）、B（-1/2，3/4）、P（0，1）、

M（0，3/4）、C（-1/2，0）。

基于以上求得的坐標，在Rt△ODP、Rt△BCD、在Rt△BPM中，利用勾股定理，可求得PD²、BD²、BP²，又因為PD²+BP²=5/4+5/16=25/16，且BD²=25/16，所以PD²+BP²=BD²，則∠BPD=90°，證畢。

追問2：上圖3中，除熟悉的平面直角坐標系、拋物線、矩形外，你能找出一些我們常見（考）的組合模型嗎？（讓學生用不同筆色畫出來，投影分享，主要有圖4和圖5兩種情況）

追問3：如圖4，由題意知∠BMP=∠POD=90°，

若已知∠BPD=90°，則可得出哪些結(jié)論？

生：△PBM與△DPO相似。

追問4：如圖4，若已知∠MBP=∠OPD，可否證出

∠BPD=90°？如何證明？

生：可證。由∠BMP=90°，可知∠MBP+∠BPM=

90°，又∠MBP=∠OPD，則∠OPD+∠BPD=90°，即∠BPD=90°。

追問5：又該如何證明∠MBP=∠OPD？

生：由圖5，由OP//AD得∠OPD=∠ADP，由“八字型”模型得∠ABP=∠ADP，故∠MBP=∠OPD。

追問6：“八字型”中∠BPD=90°可用嗎？

生：不能。

追問7：又該如何證明∠MBP=∠OPD？∠MBP、

∠OPD可分別置于哪兩個三角形中，它們特殊嗎？三邊可以表示嗎？可以表示這兩個角的三角函數(shù)嗎？兩個角的三角函數(shù)相等，則這兩個角相等嗎？

生：（討論、交流）證法2：

通過正切函數(shù)的連等變換不難得出∠MBP=

∠OPD，再由∠BMP=90°，知∠MBP+∠BPM=90°，又有∠MBP=∠OPD，則∠OPD+∠BPM=90°，即∠BPD=90°。

追問8：比較各種解法優(yōu)劣，歸納總結(jié)：方法1引入字母后運算量更大，解題時許多學生因運算量大，做一半就放棄了，有的運算出錯了；方法2中引入字母后，邊OD、OP、PM、BM均可表示，且運算量不大。

至于問題②連接PA，求證：PA2=PD·PE，正確率較高，在講解中略去。

學習的意義在于學習者學到越來越多認識事物的程序，認清事物之間的聯(lián)系，主動建構(gòu)認知圖式的過程。因此，筆者以如何證明直角的追問，引導學生對所學內(nèi)容進行橫向與縱向聯(lián)結(jié)化思考，從而提高學生應用知識解決問題的能力。并且，筆者并不僅僅停留在知識應用及問題解決上，還通過一題多解，引導學生在感受解決問題多樣化的同時，分析、比較、總結(jié)，優(yōu)化了解題方法。這樣不僅培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，還培養(yǎng)了學生的辨析思維、判斷能力和辯證思維。同時，優(yōu)化解決問題方案的過程又是引導學生思維走向深度的過程，是引導學生由簡單實踐應用型思維向分析、辨析優(yōu)劣的辯證思維進階的過程。

（三）歸納思想，深度學習，思維從分析到創(chuàng)新進階

問題1涉及當m=1/2時的特殊點，問題2涉及滿足條件的任意一點，用含m的代數(shù)式表示動點A、D、B的坐標及線段BM、PM、OD等信息。計算tan∠OPD、tan∠PBM屬于一般問題，適合用類比特殊情況的解題思想去完成，學生完成情況較好。

問題3開始將二次函數(shù)一般化，要使∠BPD=90°，只要∠MBP=∠OPD，即有tan∠PBM=tan∠OPD即可，此處訓練了學生在圖形和函數(shù)兩個維度下切換思維的能力。

問題4則引導學生類比自主解決，當a、c滿足ac=-1時，能使∠BPD=90°。

問題5的設計意圖是，筆者了解到學生對問題6無處入手，只知道y=ax²+c是y=ax²+bx+c當b=0時的特殊形式，只注意到表面的“形”，而沒能將y=ax²+c看成頂點式y(tǒng)=a（x+m）²+n中m=0這種特殊情況的“實”。部分學生甚至說“老師這里若寫出提示，我就能想到了?！边@也從側(cè)面說明學生關注“形”，側(cè)重形象性思維，思維需要進階。而學生知道拋物線y=ax²+bx+c可化為拋物線y=a（x+b/2a）²+4ac-b²/4a線的形式，又知道函數(shù)y=ax²+4ac-b²/4a的圖像與函數(shù)y=a（x+b/2a）²+4ac-b²/4a圖像間的平移關系，問題6就能迎刃而解。再類比問題4知，當a·4ac-b²/4a=-1時，即b²- 4ac=4時，即可使∠BPD=90°。

這道試題，命題者參照教材中二次函數(shù)圖像及性質(zhì)的學習經(jīng)歷而命制，考查了由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，解決問題時考查了學生閱讀、探索、觀察、思考、操作、推理、抽象、概括等數(shù)學思想方法及關鍵能力。筆者深刻體會到：具體內(nèi)容的教學與數(shù)學思維的教學應有效結(jié)合，可最大限度地體現(xiàn)教學的價值，促進學生高階思維的發(fā)展需要。本題作為壓軸題，時間短，探究跳躍大，難度明顯增大。這啟發(fā)筆者，今后的教學不能就題講題，要注重變式、拓展與創(chuàng)新；要注重引導學生從低階思維向綜合、拓展、創(chuàng)新型高階思維進階，真正落實課程標準中“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應該從義務教育階段做起，貫穿數(shù)學教育的始終”。