李 榮 孫 凱 (江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學(xué)校 215151)

1 研究背景

數(shù)學(xué)建模是解決現(xiàn)實世界中諸多問題的關(guān)鍵,是學(xué)生未來發(fā)展必備的關(guān)鍵能力[1].模型觀念形成于數(shù)學(xué)建模的基本過程中,發(fā)展模型觀念是培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)建模能力的基本途徑.初中生數(shù)學(xué)建模能力(以下簡稱“建模能力”)是指初中學(xué)生利用形式化的數(shù)學(xué)模型去反映現(xiàn)實問題中的關(guān)系結(jié)構(gòu),通過對數(shù)學(xué)模型的求解和檢驗,解答現(xiàn)實原型中某些問題的能力[2].

模型觀念作為初中生(下稱“學(xué)生”)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一,理應(yīng)引起一線數(shù)學(xué)教師的重視.為更好地了解學(xué)生模型觀念的培養(yǎng)現(xiàn)狀及數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展狀況,以S市H區(qū)發(fā)布的2021年學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測報告為依據(jù),重點研究數(shù)學(xué)建模試題及得分情況,分析學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展狀況,以期提出切實可行的建模教學(xué)建議.

2 測評分析

2.1 測評對象

測評對象覆蓋S市H區(qū)全部初中學(xué)校的八年級學(xué)生,采用學(xué)科抽測和相關(guān)因素全測的方式采集樣本,從全區(qū)7 605名學(xué)生中抽測了2 572名學(xué)生,抽測比率為33.8%.

抽測試題為三道典型建模試題,分別涉及“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”兩個領(lǐng)域,滿分分別為6分、6分和8分.由于試題總分有所不同,根據(jù)學(xué)生的答題情況,按試題的得分率(即所得分數(shù)占總分的百分比)賦予0～100%.

2.2 測評維度

為了更好地了解學(xué)生在義務(wù)教育學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中數(shù)學(xué)建模能力的具體表現(xiàn),把學(xué)生在測試中表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)建模能力水平劃分成4個層級,按得分率劃分為4個得分段(表1)[3].

表1 初中生數(shù)學(xué)建模能力水平的具體表現(xiàn)

2.3 試題設(shè)計

試題1 貨梯搬運

某一貨梯的額定限載量為2 000 kg,甲、乙兩人要用此貨梯把每箱質(zhì)量為80 kg的100箱貨物從底層搬到頂層,已知甲、乙的質(zhì)量分別為80 kg和70 kg,且甲、乙隨貨梯同時上下.

(1)他們每次最多搬運多少箱貨物?

(2)他們至少要搬運幾次才能搬運完這批貨物?

試題說明該題基于“貨梯載物”的生活情境,是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的基礎(chǔ)型試題,難度中等.知識層面考查“一元一次不等式”,素養(yǎng)層面考查數(shù)學(xué)建模能力、計算能力、推理能力和數(shù)據(jù)處理能力.該題以文本的方式呈現(xiàn),題目比較簡潔.如何從簡潔的文字中發(fā)現(xiàn)不等關(guān)系,并且建立不等式的模型解決問題是一個難點;在第(2)問中,不等式求解完成后,如何確定搬運次數(shù)是另一個難點.

試題2 桌椅匹配

我國從2015年5月開始實施《學(xué)校課桌椅功能尺寸及技術(shù)要求》(GB/T3976-2014)的國家標準,該標準明確了學(xué)校課桌椅的技術(shù)指標(表2為其中部分數(shù)據(jù),單位:cm):

表2 學(xué)校課桌椅功能尺寸與技術(shù)要求

(1)小惠同學(xué)對表2中的數(shù)據(jù)進行探究,猜想桌面高y(cm)是椅面高x(cm)的一次函數(shù).假設(shè)小惠的猜想是正確的,請你求這個一次函數(shù)的表達式(不必寫出x的取值范圍),并用表格中的數(shù)據(jù)驗證小惠的猜想是正確的.

(2)小惠和爸爸在家具商場看中了一張書桌和一把椅子,椅子的高度可以調(diào)節(jié),但是書桌的高度不能調(diào)節(jié),經(jīng)測量,書桌的桌面高是72 cm.請問:身高170 cm的小惠是否適合這張書桌?如果不適合,請說明理由;如果適合,請計算椅面應(yīng)調(diào)節(jié)到多少高度才能和書桌配套.(結(jié)果精確到1 cm)

試題說明該題基于“課桌椅功能尺寸”的科學(xué)情境,是一道“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的典型建模試題,難度較大.知識層面考查一次函數(shù),主要包括函數(shù)概念、解析式求法,運用解析式分析和解決問題.素養(yǎng)層面主要考查模型觀念、運算能力、數(shù)據(jù)處理能力、推理能力、創(chuàng)新意識、運用模型分析問題和解決問題的能力等.該題以文本和表格的形式呈現(xiàn),如何選取合適的數(shù)據(jù)解決問題是一個難點;第二個難點是驗證猜想;第三個難點是對表格中并未出現(xiàn)的數(shù)據(jù)“72”的處理.如何根據(jù)表格數(shù)據(jù)建立模型分析和解決問題,對學(xué)生的創(chuàng)新應(yīng)用能力提出了較高的要求.

試題3 隔離區(qū)面積

如圖1,一個小區(qū)有一處墻角,DM和DN是墻面,∠D=90°.疫情期間物業(yè)利用墻面作為兩邊,建立了一個五邊形隔離區(qū)ABCED,其中AB,BC,CE是隔離欄,已知AB=6 m,DE=10 m,AD=CE=2 m,∠B=90°,CE⊥DM.

圖1 圖2

(1)求五邊形ABCED的面積.

(2)小區(qū)業(yè)主覺得這個隔離區(qū)不規(guī)則,利用物業(yè)原有的隔離欄,依然利用墻面作為兩邊,建立了一個如圖2的正方形FGHD,其中FG和GH是隔離欄,試判斷經(jīng)過這樣改造,面積是增大還是減小了?并計算增大或減小的面積是多少平方米.

試題說明該題是以“疫情隔離區(qū)”的生活情境為載體而設(shè)計的一道“圖形與幾何”領(lǐng)域的典型試題,難度適中.知識層面主要考查勾股定理、矩形的判定、圖形面積的求法.素養(yǎng)層面主要考查幾何直觀、空間觀念、推理能力、計算能力、模型觀念等.學(xué)生需用割補法求不規(guī)則圖形的面積,把五邊形分割成一個直角三角形和一個矩形,然后通過建立“勾股定理”“矩形(正方形)”模型去解決問題.該題注重圖形與幾何領(lǐng)域內(nèi)容與現(xiàn)實生活的聯(lián)系,凸顯數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用.

3 結(jié)果與分析

3.1 答題情況

試題1答題情況分析如下:一是約33.0%的學(xué)生未能成功把現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,沒有抽象出題目中蘊含的不等關(guān)系,也就不能建立不等式模型;二是近一半的學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)題目中隱含的不等關(guān)系,建立“一元一次不等式”模型;三是部分學(xué)生能夠建立模型,但是對“最多”“至少”等字眼理解不透徹,導(dǎo)致最后下結(jié)論的時候出現(xiàn)錯誤.答題分數(shù)統(tǒng)計如圖3所示,數(shù)學(xué)建模水平分布如圖4所示.學(xué)生建模水平具體分布如下:處于水平一的占比32.0%,其中零分率高達28.3%;處于水平二的學(xué)生占比3.0%,所有學(xué)生都能得到2分;處于水平三的占比16.5%,得3分的學(xué)生居多;處于水平四的學(xué)生占比48.5%,得6分的學(xué)生居多,滿分率為39.5%.

圖3 試題1答題情況統(tǒng)計

圖4 試題1學(xué)生建模水平分布

試題2答題情況分析如下:首先,本題給學(xué)生鋪墊了一次函數(shù)的模型,降低了解題難度,只需選擇合適的數(shù)據(jù),用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達式即可,部分學(xué)生在驗證猜想環(huán)節(jié)考慮不全;其次, 第(2)問中出現(xiàn)了表格中沒有的數(shù)據(jù),讓部分學(xué)生不知如何下手,究其根本原因,還是對函數(shù)的概念理解不深入,沒有深刻理解函數(shù)是在一個變化過程中產(chǎn)生的,導(dǎo)致答題失誤.

從答題得分統(tǒng)計情況來看,學(xué)生之間分差較大,零分率超30.0%,也有30.0%的學(xué)生總分是滿分.學(xué)生建模水平具體分布如下:第(1)問中,水平一占比38.6%,零分率35.9%;水平二占比3.7%;水平三占比23.4%;水平四占比34.3%,滿分率26.1%.第(2)問中水平一占比38.0%,其中零分率高達38.0%;水平二占比12.8%;水平三占比9.8%;水平四占比39.4%,滿分率39.4%.

試題3答題情況分析如下:近一半的學(xué)生能夠從不規(guī)則圖形中利用“割補法”建立直角三角形和矩形模型解決問題.少部分學(xué)生在矩形的判定中出現(xiàn)失誤,說明這部分學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴謹性和嚴密性有所欠缺;少部分學(xué)生審題失誤,導(dǎo)致第(2)問解題失敗.從答題分數(shù)統(tǒng)計來看,學(xué)生得分情況如圖5所示,數(shù)學(xué)建模水平分布情況如圖6所示.

圖5 試題3答題情況統(tǒng)計

圖6 試題3學(xué)生建模水平分布

學(xué)生建模水平具體分布如下:水平一占比17.4%,其中零分率12.4%;水平二占比15.8%;水平三占比35.7%;水平四占比31.1%,滿分率21.1%.

3.2 結(jié)果分析

數(shù)學(xué)建模能力包括閱讀理解能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)化能力、計算能力和自我監(jiān)控能力[4].從學(xué)生的答題情況和建模水平分布情況來看,主要有以下幾方面的問題:教師對數(shù)學(xué)模型教學(xué)重視不足;學(xué)生的圖文閱讀理解能力有待加強;學(xué)生求解數(shù)學(xué)模型能力有待提高.

3.2.1 教師對數(shù)學(xué)建模教學(xué)重視不足

由于教學(xué)時間有限,數(shù)學(xué)課以上新課和處理新課配套的習(xí)題為主,留給練習(xí)和系統(tǒng)復(fù)習(xí)的時間比較少.教師課上花很長時間講一道數(shù)學(xué)建模的題目,總感覺“性價比”不高,索性不講或者碰到題目就題論題.教師的不重視自然就不能引起學(xué)生的重視,在試卷上反映出來的就是滿分率低,高分率低.不重視模型意識和數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng),數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值就體現(xiàn)不出來.

3.2.2 學(xué)生的圖文閱讀理解能力有待加強

從學(xué)生答題情況來看,只有約33.0%的學(xué)生能夠從題目提供的文本、表格、圖形中快速準確地找到關(guān)鍵信息,完成數(shù)學(xué)建模.閱讀理解能力不足主要體現(xiàn)在:漏讀、忘讀和不讀.漏讀是指學(xué)生忽略了題目中很重要的細節(jié),或者細節(jié)關(guān)注到了,但是未能實現(xiàn)從實際問題向數(shù)學(xué)問題的“轉(zhuǎn)化”;忘讀是指面對文字較多,涉及圖、文、表等多種形式的信息時,部分學(xué)生不能把題目的信息全部關(guān)注到,忘記或忽略一些重要的信息或條件,導(dǎo)致分析和解決問題出現(xiàn)障礙;不讀是指學(xué)生對應(yīng)用類問題排斥,不進行任何閱讀和理解,更談不上建立模型.

3.2.3 學(xué)生求解數(shù)學(xué)模型能力有待提高

學(xué)生通過圖文的閱讀理解,成功把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,并且建立了適當?shù)臄?shù)學(xué)模型,但在用模型求解環(huán)節(jié)出現(xiàn)失誤,如在試題1中建立起了不等式模型,但是在解不等式時出現(xiàn)失誤,或者不等式求解正確,但是在數(shù)據(jù)處理下結(jié)論時出現(xiàn)失誤.再比如,在試題3中出現(xiàn)正方形面積求解錯誤,甚至有部分學(xué)生出現(xiàn)了前后兩個圖形面積計算正確,但是在求差值的時候出現(xiàn)了失誤或者下結(jié)論時出現(xiàn)錯誤,這實屬不應(yīng)該.在平時的模型練習(xí)中我們也發(fā)現(xiàn),試題情境或數(shù)據(jù)越復(fù)雜,錯誤率越高,因此如何利用已經(jīng)建立的模型去正確解決問題,也是教師和學(xué)生亟待關(guān)注的問題.

4 教學(xué)建議

4.1 提高模型教學(xué)意識

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界,其核心表現(xiàn)是數(shù)學(xué)建模能力.教師在平時的教學(xué)中要重視學(xué)生建模意識的培養(yǎng),提高模型教學(xué)意識,設(shè)計適切的數(shù)學(xué)建?；顒?驅(qū)動學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的基本過程,發(fā)展學(xué)生的模型觀念,逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.初中階段的數(shù)學(xué)模型可分為概念性數(shù)學(xué)模型、方法型數(shù)學(xué)模型和結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型[5],教師在平時的教學(xué)中應(yīng)以數(shù)學(xué)模型教學(xué)為載體組織建模教學(xué).比如,在一元一次方程的教學(xué)中,設(shè)計真實的問題情境,驅(qū)動學(xué)生建立一元一次方程的概念模型,為解決實際問題,進一步探究模型求解的方法,從而形成一元一次方程的解法模型,獲得數(shù)學(xué)結(jié)果并闡釋實際問題.在模型教學(xué)的過程中使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)建模的基本過程.

4.2 提升閱讀理解能力

真實情境之下的數(shù)學(xué)應(yīng)用類問題對學(xué)生的閱讀理解能力提出了更高的要求.數(shù)學(xué)閱讀對象主要為文本、圖形和表格三類,如何從中獲取有效的信息并且將其數(shù)學(xué)化,是每位教師和學(xué)生都應(yīng)該思考的問題.對“漏讀”的學(xué)生,可以指導(dǎo)他們?nèi)Ξ嬯P(guān)鍵詞或者關(guān)鍵數(shù)據(jù);對“忘讀”的學(xué)生,要讓他們養(yǎng)成反復(fù)讀題的好習(xí)慣,擺脫只讀一遍題目的思維定勢,多讀幾遍其義自見;對于“不讀”的學(xué)生,可以培養(yǎng)他們的閱讀意識和閱讀習(xí)慣,對他們不要提出太高的要求.教師要做好示范引領(lǐng)工作,幫助學(xué)生克服對應(yīng)用類問題的恐懼.在平時教學(xué)中,注重對學(xué)生閱讀理解的訓(xùn)練和指導(dǎo),逐步提高綜合情境下的閱讀理解能力.

4.3 開展數(shù)學(xué)建模活動

如果說課堂內(nèi)的建模是對數(shù)學(xué)知識的鞏固和再認識,那課堂外的、基于真實情境的數(shù)學(xué)建模就是知識的靈活運用和創(chuàng)新.真實的現(xiàn)實情境是千變?nèi)f化的,要想成功進行數(shù)學(xué)建模,學(xué)生須從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,通過建立方程、不等式、函數(shù)、幾何圖形等模型描述問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,再用求得的結(jié)果進一步去解釋實際問題,對模型進行修正和優(yōu)化,這是一個充滿趣味性和挑戰(zhàn)性的過程.教師要把握建模教學(xué)的整體性、階段性和系統(tǒng)性[6].從課堂上的階段性建模,到生活中的完整性建模,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)實原型—實際模型—數(shù)學(xué)模型—模型求解—檢驗解釋”等建模過程[7].鑒于此,教師要組織開展指向現(xiàn)實生活的數(shù)學(xué)建?；顒?提出有價值的問題,進行有意義的建構(gòu),讓每個學(xué)生都能親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程[8],形成模型觀念,逐步提升以數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模為主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力.