段存仙 余 闖 孔德宏 (云南師范大學數(shù)學學院 650500)

1 問題提出

2022年9月15日教育部召開“教育這十年” “1+1”系列第12場新聞發(fā)布會,會上教育部高校學生司司長王輝在介紹考試招生制度改革時指出:截至目前,全國29個省份已啟動高考綜合改革.教育部基礎(chǔ)教育司副司長李曉勇在介紹新課程、新教材時指出:進入高考綜合改革的29個省份均實現(xiàn)了新課程、新教材、新高考“三新同步”[1].在越來越多省份使用新高考卷的背景下,有必要探究新高考卷的命題趨勢和試題難度,發(fā)揮新高考對新課程教學的導(dǎo)向和推動作用.

武小鵬改編鮑建生的習題難度模型,得到影響數(shù)學高考試題難度的7個難度因素:有無背景、是否含參、運算水平、推理能力、知識含量、思維方向和認知水平.各因素劃分為不同水平,形成數(shù)學高考試題綜合難度模型,并用該模型對中韓高考試題進行對比分析[2];李保臻[3]、張玉環(huán)[4]、韓金璇[5]等人應(yīng)用高考試題綜合難度模型對不同國家與地區(qū)的數(shù)學高考試題進行對比分析;劉靜、周思波等人[6-7]應(yīng)用高考試題綜合難度模型對2020年數(shù)學傳統(tǒng)高考與新高考試題進行對比分析.本文參考武小鵬、孔企平基于AHP理論的數(shù)學高考試題綜合難度模型[8]對2020—2022年新高考試題進行編碼和統(tǒng)計分析.

2 研究對象與研究工具

2.1 研究對象

為了研究的整體性,選取2020—2022年由教育部考試中心命制的新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷共6套新高考卷作為研究對象.

2.2 研究工具

基于AHP理論的數(shù)學高考試題綜合難度模型包括7個難度因素,運用AHP理論求解得到不同水平、不同難度因素的權(quán)重.各因素的水平劃分和權(quán)重見表1[8].

表1 基于AHP理論的數(shù)學高考試題綜合難度模型的內(nèi)涵和權(quán)重

根據(jù)表1的內(nèi)涵描述,對2020—2022年6套新高考試題進行編碼,統(tǒng)計數(shù)據(jù)并代入公式①計算得各因素的難度系數(shù)di:

其中nij表示每套新高考試題中第i因素、第j水平的題目數(shù)量,kij表示每套新高考試題中第i因素、第j水平的權(quán)重,m表示各難度因素中不同水平的個數(shù).n表示每套新高考試題的總題目數(shù)量.整套試卷的綜合難度D由公式②計算:

其中ki=(0.40,1.20,0.83,2.50,0.40,0.83,0.83)表示各難度因素的權(quán)重.

2.3 編碼方法

根據(jù)表1對2020年—2022年6套新高考試題進行編碼,編碼示例如下:

該題編碼為無背景A1(直接以純數(shù)學知識為背景)、有參數(shù)B2(涉及對參數(shù)l的動態(tài)計算)、復(fù)雜符號

運算C4(運算上,首先通過解方程組用l表示底面邊長和高,然后求導(dǎo)進而計算函數(shù)取值范圍)、復(fù)雜推理D2(首先根據(jù)正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征找到外接球球心,然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程并計算,接著表示函數(shù)V(l),最后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的取值范圍)、大于等于3個知識點E3(正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征、正四棱錐的體積公式、球的體積、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)取值范圍)、逆向思維F2(將正四棱錐體積的取值范圍轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的取值范圍)、分析水平G3(根據(jù)正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征列方程,多變量轉(zhuǎn)化為單變量并借助導(dǎo)數(shù)綜合解決).

例2(2022年新高考Ⅱ卷第15題)已知點A(-2,3),B(0,a),若直線AB關(guān)于y=a的對稱直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1存在公共點,則實數(shù)a的取值范圍為.

該題編碼為無背景A1(直接以純數(shù)學知識為背景)、有參數(shù)B2(含有參數(shù)a)、簡單符號運算C3(運算上,解a的不等式即可)、復(fù)雜推理D2(首先找到點A和點B關(guān)于直線y=a的對稱點,然后求出直線AB關(guān)于y=a的對稱直線方程,最后根據(jù)題意列出不等式并計算)、大于等于3個知識點E3(直線方程、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式)、順向思維F1(根據(jù)題意列出不等式即可解決)、運用水平G2(正確運用點到直線的距離公式表示直線與圓有公共點).

對6套新高考試題進行編碼并整理數(shù)據(jù)得到新高考試題編碼情況(表2),代入公式①和②計算得各難度因素的系數(shù)和試題綜合難度(表3).

表2 2020年—2022年6套數(shù)學新高考試題編碼情況

表3 2020—2022年6套數(shù)學新高考試題各難度因素系數(shù)和綜合難度

3 研究過程與結(jié)果

3.1 各難度因素不同水平對比分析

計算每套試題各難度因素中不同水平的試題數(shù)目占試題總數(shù)的百分比并繪制各難度因素的堆積柱形圖.

從圖1,2,3可以看出,“是否含參”“推理能力”“思維方向”3個難度因素在考查趨勢上基本保持一致.

圖1 是否含參的堆積柱形對比

圖2 推理能力的堆積柱形對比

圖3 思維方向的堆積柱形對比

在“是否含參”上,2020年和2021年無參數(shù)和有參數(shù)的比例基本保持在6∶4,2022年兩者比例約為7∶3,表明新高考試題對參數(shù)的考查略有調(diào)整.在“推理能力”上,2020年和2021年簡單推理和復(fù)雜推理的比例基本保持在6∶4,2022年兩者比例為1∶1,表明新高考試題越來越注重復(fù)雜推理的考查,符合高考選拔性的特點.在“思維方向”上,2020年和2022年順向思維和逆向思維的比例基本保持在1∶1,2021年兩者比例為6∶4,表明新高考試題注重逆向思維的考查,將之視為培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的基礎(chǔ).

從圖4,5,6,7可以看出,“背景因素”“運算水平”“知識含量”“認知水平”4個難度因素在考查趨勢上存在一定的差異.

圖4 背景因素的堆積柱形對比

圖5 運算水平的堆積柱形對比

圖6 知識含量的堆積柱形對比

圖7 認知水平的堆積柱形對比

在“背景因素”上,2021年和2022年無背景和有背景的比例基本保持在9∶1,2020年兩者比例為7∶3,但是每套新高考卷都涉及情境性考查.在“運算水平”上,2020年和2022年符號運算和數(shù)值運算的比例基本保持在7∶3,2021年兩者比例為3∶2,對簡單符號運算的考查比例有所降低,復(fù)雜符號運算的考查比例則有所提高.在“知識含量”上,2020—2022年單個知識點和非單個知識點的比例基本保持在 3∶7,且2022年Ⅰ卷、Ⅱ卷分別有60%,50%的試題都是三個及以上知識點的綜合考查,還存在一定跨章節(jié)跨領(lǐng)域知識的考查.表明新高考卷在知識點的考查上更趨向于綜合應(yīng)用各個知識點解決問題.在“認知水平”上,2020年和2021年分析和非分析的比例基本保持在3∶7,2022年兩者比例為2∶3,表明新高考卷更趨向于綜合考查學生分析、解決問題的能力.

3.2 各難度因素綜合難度分析

圖8是根據(jù)表3繪制而成的綜合難度雷達圖, 圖9是由表3各難度因素乘以對應(yīng)權(quán)重ki后繪制成的難度構(gòu)成偏向雷達圖.圖8和圖9在一定程度上反映了6套新高考卷試題的難度構(gòu)成,以及不同試卷在各因素上的難度差異.從圖9可看出,6套試卷在 7個難度因素上的考查側(cè)重點是一致的,都重視對推理能力的考查,而且對該難度因素的考查力度遠大于其他難度因素,因此教師在教學中應(yīng)當重視對學生推理能力的培養(yǎng).

圖8 6套試卷綜合難度雷達圖

圖9 6套試卷難度構(gòu)成偏向雷達圖

3.3 新高考卷試題綜合難度

由表3可知,2020—2022年新高考卷試題的難度由高到低排列為:2022新高考Ⅰ卷(D=6.98)>2022新高考Ⅱ卷(D=6.68)>2020新高考Ⅰ卷(D=6.53)>2021新高考Ⅰ卷(D=6.52)>2020新高考Ⅱ卷(D=6.39)>2021新高考Ⅱ卷(D=6.28).表明新高考卷試題的綜合難度逐年加大,符合近三年新高考卷試題實際的難度特征.

4 研究結(jié)論與建議

4.1 研究結(jié)論

分析發(fā)現(xiàn),新高考卷具有如下命題趨勢:注重創(chuàng)設(shè)真實情境;創(chuàng)新試題設(shè)計;綜合考查關(guān)鍵能力,聚焦核心素養(yǎng).

(1)新高考注重創(chuàng)設(shè)真實情境,發(fā)揮育人功能

難度模型中的“背景”即“情境”.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下稱《課標2017》)指出,在命題中,選擇合適的問題情境是考查數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要載體.情境包括:現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境[9]89.如2021年新高考第16題以我國傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為背景;2022年新高考Ⅱ卷第3題以我國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景,對引導(dǎo)學生關(guān)注我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、古代優(yōu)秀成果,增強民族自信心具有積極的教育意義;2022年新高考Ⅰ卷第4題以我國重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為背景,引導(dǎo)學生關(guān)注社會主義建設(shè)的偉大成果,增強社會責任感;2021年新高考Ⅱ卷第4題以我國航天事業(yè)的重要成果北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為背景,引導(dǎo)學生關(guān)注我國科技進步和發(fā)展,增強民族自豪感、理想信念和愛國情懷;2020年新高考Ⅰ卷第6題以新冠肺炎疫情初始階段的研究成果設(shè)計為背景;2020年新高考Ⅱ卷第12題以信息論的重要概念信息熵為背景,引導(dǎo)學生充分體會數(shù)學的應(yīng)用價值,鼓勵學生探索真理、以自己的科學知識為人類社會服務(wù)[10-12].

(2)新高考注重創(chuàng)新試題設(shè)計,培育創(chuàng)新精神

新高考數(shù)學在題型和試卷結(jié)構(gòu)上進行了創(chuàng)新性改革,引入了多選題和結(jié)構(gòu)不良試題[10].①增強多選題的基礎(chǔ)性和開放性.如2022年新高考Ⅰ、Ⅱ卷第11題均體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性;2022年新高考Ⅰ、Ⅱ卷第12題在體現(xiàn)開放性的同時,突出考查創(chuàng)新思維.②“結(jié)構(gòu)不良問題”適度開放.如2020年新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷第17題以解三角形為背景,要求學生在給出的3個條件中任選1個并求c的值;2021年新高考Ⅱ卷第22題以函數(shù)和導(dǎo)數(shù)為背景,要求學生在給出的2個條件中任選1個作為已知條件,證明f(x)恰有一個零點;2022年新高考Ⅱ卷第21題以直線與雙曲線較為復(fù)雜的位置關(guān)系為背景,要求學生在給出的3個條件中任選2個作為已知條件,證明另外1個成立.此類開放性試題給考生留有發(fā)揮的空間和選擇的權(quán)力,需要考生具備較強的獨立思考能力和批判性思維品質(zhì),能高度體現(xiàn)學考生的理性思維.③“存在問題”“舉例問題”有序開放.如2021年新高考Ⅱ卷第18題以解三角形為背景,判斷是否存在正整數(shù)a,使得△ABC為鈍角三角形,重點考查邏輯推理能力和運算求解能力;2021年新高考Ⅱ卷第14題要求寫出同時具有3個性質(zhì)的一個函數(shù);2022年新高考Ⅰ卷第14題要求寫出一條與兩已知圓都相切的直線方程,充分考查考生思維的靈活性.

(3)新高考注重考查關(guān)鍵能力,聚焦核心素養(yǎng)

《課標2017》指出,要注重對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查,處理好數(shù)學學科核心素養(yǎng)與知識技能的關(guān)系[9]88.如2022年新高考Ⅰ卷第12題以抽象函數(shù)為背景,綜合考查函數(shù)的奇偶性、對稱性、導(dǎo)數(shù)等概念以及他們之間的聯(lián)系,對數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)具有較高要求;2022年新高考Ⅱ卷第3題以我國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景,綜合考查應(yīng)用等差數(shù)列、解析幾何、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識解決實際問題的能力,對直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)具有較高要求;2020年新高考Ⅰ、Ⅱ卷第11題綜合考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性及均值不等式等主干知識,對數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)要求較高.

4.2 建議

2020—2022年新高考數(shù)學試題堅持立德樹人根本任務(wù),發(fā)揮生活情境和科學情境的育人價值;探索落實《中國高考評價體系》“四翼”:基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求[13];突出考查學生理性思維的能力,綜合運用數(shù)學思想方法分析問題、解決問題的能力.基于此,對中學數(shù)學教學提出以下幾點建議.

(1)教好數(shù)學,落實數(shù)學學科核心素養(yǎng).教好數(shù)學就是以數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能為載體,使學生在領(lǐng)悟數(shù)學基本思想、積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗的過程中,學會思考與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng).在教學中,教師要把學生掌握抽象數(shù)學對象、發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題的方法作為教學的關(guān)鍵任務(wù),使學生能夠?qū)崿F(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.教學時以“研究一個數(shù)學對象的基本套路”為指導(dǎo),設(shè)計出體現(xiàn)數(shù)學整體性、邏輯連貫性、思想一致性、方法普適性、思維系統(tǒng)性的系列化數(shù)學教學活動.引導(dǎo)學生通過對現(xiàn)實問題的數(shù)學抽象獲得數(shù)學對象,構(gòu)建研究數(shù)學對象的基本路徑,發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學問題,探尋解決問題的數(shù)學方法,獲得有價值的數(shù)學結(jié)論,建立數(shù)學模型解決現(xiàn)實問題[14]12.

(2)掌握數(shù)學知識,發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng).要讓學生真正掌握數(shù)學知識,靠掐頭去尾燒中段、大量解題訓練是做不到的,必須要讓學生經(jīng)歷從數(shù)學研究對象的獲得到研究數(shù)學對象再到應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的完整過程.數(shù)學對象的獲得,不僅要注重數(shù)學與現(xiàn)實之間的聯(lián)系,還要注重數(shù)學內(nèi)在的前后一致性、邏輯連貫性;對數(shù)學對象的研究,要注重讓學生經(jīng)歷以“一般觀念”為指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想,并通過數(shù)學的推理,論證定理、性質(zhì)的過程,提升邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng);應(yīng)用數(shù)學知識解決問題,要注重利用數(shù)學概念原理分析問題,體現(xiàn)數(shù)學建模的全過程,使學生學會分析數(shù)據(jù),從數(shù)據(jù)中挖掘信息,提升數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)[14]11.

(3)推理是數(shù)學的“命根子”,運算是數(shù)學的“童子功”.推理和運算是數(shù)學的兩個車輪子.在推理的嚴謹性、簡潔性和靈動性,運算的正確性、敏捷性以及算法的有效性和高效性指導(dǎo)下,教師需要加強對學生邏輯推理和數(shù)學運算的訓練,這樣學生的理性思維、科學精神才能得到培養(yǎng)和逐步發(fā)展[14]11.