印冬建 (江蘇省如皋市教師發(fā)展中心 226500)

2022年4月21日,教育部印發(fā)了義務(wù)教育課程方案和16個(gè)學(xué)科的課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)．2022年下半年,各地教育主管部門陸續(xù)提出了落實(shí)國(guó)家新版課程方案和各科課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.由于與新版課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)配套的教材尚未上市,各地不可避免地出現(xiàn)了用老教材的教學(xué)來(lái)落實(shí)課標(biāo)新要求的局面,這給不少一線教師實(shí)際教學(xué)帶來(lái)了困難．那么,在新教材正式投入使用前的這段時(shí)間內(nèi),我們究竟該如何依托于老教材的教學(xué)來(lái)落實(shí)課標(biāo)的新要求呢?本文擬結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱《課標(biāo)2022》)對(duì)二次函數(shù)教學(xué)提出的新要求“會(huì)求二次函數(shù)的最大值或最小值,并能確定相應(yīng)自變量的值,能解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題”(說(shuō)明:為使行文簡(jiǎn)潔,下文部分語(yǔ)句中的“最大值或最小值”簡(jiǎn)稱為“最值”,該要求稱為二次函數(shù)的“最值要求”)的“落地”為例談?wù)劰P者的做法,供大家參考．

1 兩版課標(biāo)中關(guān)于二次函數(shù)的教學(xué)要求對(duì)比分析

為了更好地說(shuō)明筆者落實(shí)“最值要求”的合理性,現(xiàn)呈現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(下稱《課標(biāo)2011》)和《課標(biāo)2022》中關(guān)于二次函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容及要求,并作對(duì)比分析．

1.1 課標(biāo)要求呈現(xiàn)

表1 兩版課標(biāo)“二次函數(shù)”教學(xué)要求對(duì)照表

1.2 對(duì)比分析

與《課標(biāo)2011》相比,《課標(biāo)2022》關(guān)于二次函數(shù)的教學(xué)要求發(fā)生了不少變化,具體如下．

(1)突出了教學(xué)要求的整體性

《課標(biāo)2022》從二次函數(shù)的意義、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等四個(gè)方面給出了具體詳實(shí)的教學(xué)要求．四個(gè)方面的要求自成體系又彼此關(guān)聯(lián),形成了完整的二次函數(shù)教學(xué)目標(biāo)體系,力求通過(guò)二次函數(shù)局部知能的有效建構(gòu)達(dá)成對(duì)二次函數(shù)的整體把握和深度理解．例如,“能畫二次函數(shù)的圖象”,不像《課標(biāo)2011》那樣強(qiáng)調(diào)“描點(diǎn)法”,“能畫”即可,“描點(diǎn)法”自然是“能畫”的畫法中的一種,但畫法不局限于“描點(diǎn)法”．再如,二次函數(shù)的“最值要求”與二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是一定有關(guān)聯(lián)的,但該要求并不完全依賴于頂點(diǎn)坐標(biāo),更沒(méi)有像《課標(biāo)2011》教學(xué)要求(3)那樣唯一指向“頂點(diǎn)式”y=a(x-h)2+k,如此表述有助于引導(dǎo)學(xué)生深入探究“一般式”y=ax2+bx+c(a≠0)、“交點(diǎn)式”y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)、“頂點(diǎn)式”三種不同形式下的二次函數(shù)最值及求法,整體把握二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用路徑．

(2)強(qiáng)化了核心知能的工具性

《課標(biāo)2022》所列的四條教學(xué)要求,進(jìn)一步強(qiáng)化了二次函數(shù)核心知能的工具性．這主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．二次函數(shù)的“最值要求”明確了二次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題的關(guān)系,要求學(xué)生在“會(huì)求”二次函數(shù)最值的同時(shí),還要能用它來(lái)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題,其對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了“實(shí)際問(wèn)題→二次函數(shù)→實(shí)際問(wèn)題”的認(rèn)知回路,二次函數(shù)自然是學(xué)生認(rèn)識(shí)世界和解決現(xiàn)實(shí)世界中真實(shí)問(wèn)題的工具．二是二次函數(shù)圖象的應(yīng)用．二次函數(shù)的圖象是人們認(rèn)識(shí)二次函數(shù)并運(yùn)用二次函數(shù)解決問(wèn)題的重要工具,《課標(biāo)2022》提出了“能畫二次函數(shù)的圖象”的要求,目標(biāo)動(dòng)詞由原來(lái)的“會(huì)”(即理解)調(diào)整為“能”(即掌握),要求提高了一級(jí),這一核心知能的應(yīng)用自然會(huì)擴(kuò)大范圍,教學(xué)難度必然會(huì)再攀新高．加之新增的“知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對(duì)稱軸的關(guān)系”,必然會(huì)進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)與形的結(jié)合,讓二次函數(shù)的圖象真正成為解決問(wèn)題的工具．

(3)重視了學(xué)科知能的關(guān)聯(lián)性

《課標(biāo)2022》十分重視學(xué)科知能的內(nèi)部關(guān)聯(lián)．如上文所述的新增要求“知道二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對(duì)稱軸的關(guān)系”強(qiáng)化了二次函數(shù)(“數(shù)”)與其圖象形狀、對(duì)稱軸(“形”)的關(guān)聯(lián)．再如,新增要求“知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系”強(qiáng)化了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)聯(lián),“最值要求”中的“會(huì)求二次函數(shù)的最大值或最小值,并能確定相應(yīng)自變量的值”強(qiáng)化了函數(shù)關(guān)系中變量之間的關(guān)聯(lián)．

(4)明確了函數(shù)最值的一般性

(5)確保了降低難度的延續(xù)性

《課標(biāo)2022》延續(xù)了前面課標(biāo)修訂中“通過(guò)刪減低關(guān)聯(lián)知識(shí),降低學(xué)習(xí)難度”的一貫做法,刪去了《課標(biāo)2011》中提出的“知道給定不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)二次函數(shù)”的選學(xué)要求,降低了非“學(xué)段主線知識(shí)”的待定系數(shù)法、三元一次方程組等在初中階段的教學(xué)要求,讓學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”板塊的整體難度隨之下降．

2 老教材的教學(xué)現(xiàn)狀分析

2.1 課標(biāo)新要求分析

在《課標(biāo)2022》關(guān)于二次函數(shù)的多個(gè)新要求中,“最值要求”最需要關(guān)注．細(xì)細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn),相較于《課標(biāo)2011》而言,該要求并沒(méi)有指定二次函數(shù)表達(dá)式的形式,也沒(méi)有說(shuō)一定要借助于二次函數(shù)的圖象.此外,《課標(biāo)2022》“關(guān)于有關(guān)行為動(dòng)詞的分類”中明確,“會(huì)”是結(jié)果行為動(dòng)詞“理解”的同義詞,即要達(dá)到“描述對(duì)象的由來(lái)、內(nèi)涵和特征,闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系”．該要求的達(dá)成,我們要從四個(gè)方面作出努力:一要引導(dǎo)學(xué)生理解二次函數(shù)的最值的內(nèi)涵,知道何為二次函數(shù)的最值;二要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)角度獲得求二次函數(shù)最值的方法,能確定在什么時(shí)候(自變量的取值)、什么位置(函數(shù)圖象的位置)上能夠取到最值,同時(shí)計(jì)算出最值的大小;三要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的非常態(tài)最值,能解決在自變量不同取值范圍內(nèi)二次函數(shù)最值的確定方法;四要引導(dǎo)學(xué)生用二次函數(shù)最值及其確定方法解決“相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題”．

2.2 老教材分析

筆者所在地區(qū)目前使用的老教材是人民教育出版社編寫的,其教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法的設(shè)計(jì)與《課標(biāo)2011》的要求高度契合．《課標(biāo)2011》中并沒(méi)有提出與二次函數(shù)的最值相關(guān)的教學(xué)要求,因而教材從“22.1.2 二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)”開(kāi)始,到“22.1.4 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)”為止,先后呈現(xiàn)了五種形式的二次函數(shù),分別是y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c．在每一種形式下,基于其圖象所作出的性質(zhì)表述近乎一致:圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo),增減性等,并沒(méi)有提及“二次函數(shù)的最值”,其一般性結(jié)論“對(duì)于自變量取任意實(shí)數(shù)的二次函數(shù),可以在其圖象的頂點(diǎn)處取得最值”自然也就不會(huì)出現(xiàn)了．

在“22.3 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)”中,關(guān)于二次函數(shù)的最值這層“窗戶紙”最終被捅破．這或許與《課標(biāo)2011》提出的要求(3)中“由此(即“配方得到二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=a(x-h)2+k”)得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo),說(shuō)出圖象的開(kāi)口方向,畫出圖象的對(duì)稱軸,并能解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題”有很大關(guān)系．二次函數(shù)往往與實(shí)際問(wèn)題高度關(guān)聯(lián),在“22.3 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)”中明確指出,“如果其中變量之間可以用二次函數(shù)模型來(lái)刻畫,我們可以利用它的圖象和性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題”,隨即便結(jié)合多個(gè)實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生理解二次函數(shù)的最值及其求法．

2.3 結(jié)論

二次函數(shù)的最值要求是對(duì)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)認(rèn)知的新高度．我們知道,老教材已經(jīng)給出了較為完整的二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的知能體系,其探索歷程歷經(jīng)多年實(shí)踐檢驗(yàn)被一線教師不斷“固化”．顯然,想要落實(shí)二次函數(shù)的最值要求,教師就要從內(nèi)容、流程和方法等角度進(jìn)一步完善二次函數(shù)的教學(xué)體系,將與該要求相關(guān)的教學(xué)資源融入到原有的教學(xué)進(jìn)程之中,推動(dòng)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的探索再前進(jìn)一步．

3 教學(xué)方案

3.1 長(zhǎng)程分布,在不同教學(xué)時(shí)點(diǎn)上感知

作為二次函數(shù)所具有的一條重要性質(zhì),“最值”應(yīng)與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)相伴相生．我們知道,不管是老教材還是新教材,對(duì)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的探索都是貫穿于全章的．《課標(biāo)2022》對(duì)二次函數(shù)提出的“最值要求”,同樣并不是指向某一課時(shí)的,事實(shí)上,這一要求也不可能在某一課時(shí)達(dá)成,我們應(yīng)通過(guò)單元、學(xué)期乃至學(xué)段的教學(xué)來(lái)逐步落實(shí)這一要求．因而,落實(shí)二次函數(shù)的最值要求應(yīng)是一項(xiàng)長(zhǎng)期任務(wù)．我們要將對(duì)二次函數(shù)最值的探索貫穿于二次函數(shù)學(xué)習(xí)的全過(guò)程,做到資源有序分布,要求漸進(jìn)落實(shí),知能反復(fù)關(guān)聯(lián)．在探索不同表達(dá)式下的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)之后,都延伸探索二次函數(shù)的最值及其求法,引導(dǎo)學(xué)生在不同的教學(xué)時(shí)點(diǎn)上發(fā)現(xiàn)“二次函數(shù)的最值與自變量取值范圍內(nèi)函數(shù)圖象的最高(低)點(diǎn)緊密關(guān)聯(lián)”,理解二次函數(shù)的最值,會(huì)求二次函數(shù)的最值,并體會(huì)到二次函數(shù)的最值在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值．

3.2 多點(diǎn)探究,在不同函數(shù)形式下理解

老教材中,二次函數(shù)較為常見(jiàn)的表達(dá)式有“一般式”y=ax2+bx+c(a≠0)、“頂點(diǎn)式”y=a(x-h)2+k、“交點(diǎn)式”y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)等三種．但實(shí)際教學(xué)中,學(xué)生依次探索了y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c,y=a(x-x1)(x-x2)這六種形式的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．因此,為了落實(shí)“最值要求”,筆者每遇到一種“新”二次函數(shù),都會(huì)引導(dǎo)學(xué)生在探索二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)及增減性的時(shí)候,結(jié)合列表、描點(diǎn)、連線等圖象建構(gòu)環(huán)節(jié)感知二次函數(shù)最值的客觀存在．

案例1二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì).

在學(xué)生畫y=x2的圖象并探索其性質(zhì)的過(guò)程中,筆者作多輪次追問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生感知函數(shù)的最值．

(1)基于所列表格的追問(wèn)

二次函數(shù)y=x2中自變量x與y的部分對(duì)應(yīng)取值如表2所示．

表2 函數(shù)y=x2部分對(duì)應(yīng)取值

問(wèn)題:從表中列出的自變量x的值和函數(shù)y的值,你有什么發(fā)現(xiàn)?

學(xué)生的發(fā)現(xiàn):x的取值關(guān)于0對(duì)稱;y的取值關(guān)于0對(duì)稱;y的值都不小于0;當(dāng)x<0時(shí),y的值隨著x的值的增大而減小,當(dāng)x>0時(shí),y的值隨著x的值的增大而增大;當(dāng)x=0時(shí),y有最小值為0……

(2)基于描點(diǎn)過(guò)程的追問(wèn)

根據(jù)表2中x,y的值,在平面直角坐標(biāo)系中自左向右依次描出點(diǎn)(x,y)(圖1)．

圖1

問(wèn)題:在自左向右描點(diǎn)的過(guò)程中,你有什么發(fā)現(xiàn)?

學(xué)生的發(fā)現(xiàn):除原點(diǎn)以外的六個(gè)點(diǎn)恰好分布在y軸兩側(cè),且兩兩關(guān)于y軸對(duì)稱;自左向右描點(diǎn)時(shí),點(diǎn)的位置先逐步降低,到原點(diǎn)時(shí)位置最低,隨后點(diǎn)的位置逐步上升;所描的七個(gè)點(diǎn)中,原點(diǎn)的位置最低……

(3)基于函數(shù)圖象的追問(wèn)

用平滑曲線順次連接圖1中的各個(gè)點(diǎn),得到二次函數(shù)y=x2的圖象(圖2)．

圖2

問(wèn)題:根據(jù)所作的二次函數(shù)y=x2的圖象,你能得到哪些結(jié)論?

學(xué)生的發(fā)現(xiàn):圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;在y軸的左側(cè),函數(shù)圖象自左向右下降,在y軸的右側(cè),函數(shù)圖象自左向右上升;原點(diǎn)是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)……

(4)基于函數(shù)性質(zhì)的追問(wèn)

在學(xué)生歸納總結(jié)出函數(shù)y=x2所具有的“圖象開(kāi)口向上;對(duì)稱軸為y軸;頂點(diǎn)為原點(diǎn);當(dāng)x<0時(shí),y隨著x的增大而減小,當(dāng)x>0時(shí),y隨著x的增大而增大”等性質(zhì)后,筆者進(jìn)一步追問(wèn)．

問(wèn)題:結(jié)合列表、描點(diǎn)、連線及探索性質(zhì)的過(guò)程,你還有什么發(fā)現(xiàn)?

學(xué)生的發(fā)現(xiàn):函數(shù)y=x2圖象的最低點(diǎn)是原點(diǎn),所以當(dāng)x=0時(shí),y有最小值為0．

案例簡(jiǎn)析 為了幫助學(xué)生達(dá)成二次函數(shù)的“最值要求”,教師結(jié)合原來(lái)的教學(xué)進(jìn)程,將對(duì)最值的追問(wèn)嵌入其中,通過(guò)四個(gè)不同環(huán)節(jié)上對(duì)量的取值、點(diǎn)的高低、形的走勢(shì)的追問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生分別感知數(shù)、形間的關(guān)系,找尋二次函數(shù)y=x2的最值的位置,體會(huì)到二次函數(shù)y=x2的最值與其圖象和性質(zhì)的緊密關(guān)聯(lián),獲得二次函數(shù)y=ax2的最值求法,為學(xué)生探索形式更復(fù)雜的二次函數(shù)的最值積累經(jīng)驗(yàn)．

3.3 反復(fù)應(yīng)用,在不同問(wèn)題情境下鞏固

應(yīng)用數(shù)學(xué)知能解決實(shí)際問(wèn)題是發(fā)展學(xué)生“四能”的核心路徑．二次函數(shù)的最值要求包含三個(gè)“子要求”:一是會(huì)求二次函數(shù)的最值,即理解二次函數(shù)的最值及其求法;二是能確定相應(yīng)自變量的值,在求得二次函數(shù)最值的同時(shí),還要能確定其對(duì)應(yīng)的自變量的值,讓兩個(gè)變量緊密關(guān)聯(lián)在一起;三是能應(yīng)用二次函數(shù)的最值及其求法“解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題”．顯然,“會(huì)求”僅是“最值要求”的低層級(jí)要求,“能用”才是其價(jià)值所在．因此,落實(shí)二次函數(shù)的最值要求自然離不開(kāi)實(shí)際問(wèn)題了．

老教材在“22.3 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)”之前,與二次函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題是很少見(jiàn)的,更不要說(shuō)與“最值要求”相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題了．教材正文部分最早出現(xiàn)的與二次函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題是“22.1.3 二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象和性質(zhì)”的例4,在習(xí)題22.1、習(xí)題22.2中也出現(xiàn)了一些實(shí)際問(wèn)題,但這些實(shí)際問(wèn)題都沒(méi)有涉及二次函數(shù)的最值．真正能夠用來(lái)落實(shí)“最值要求”的應(yīng)是“22.3 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)”中的“問(wèn)題”及三則“探究”．筆者以為,數(shù)學(xué)知能的實(shí)際應(yīng)用是教學(xué)難點(diǎn),想要通過(guò)這種“先研究圖象和性質(zhì),再研究應(yīng)用”的編排來(lái)實(shí)現(xiàn)突破是很難的．因此,我們將這一難點(diǎn)分解到每一個(gè)教學(xué)時(shí)點(diǎn)上加以落實(shí),將二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的教學(xué)與二次函數(shù)的最值的實(shí)際應(yīng)用“捆綁”在一起,努力呈現(xiàn)多樣化的指向二次函數(shù)最值的真實(shí)情境,通過(guò)與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)由易到難的同步探索,讓學(xué)生自始至終感受到二次函數(shù)模型是刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決現(xiàn)實(shí)世界中實(shí)際問(wèn)題的重要模型,更好地體會(huì)到二次函數(shù)與生活的聯(lián)系．

3.4 分層落實(shí),在不同能級(jí)要求上生長(zhǎng)

“最值要求”是《課標(biāo)2022》對(duì)二次函數(shù)提出的新要求．由于沒(méi)有現(xiàn)成的配套教材,落實(shí)難度自然不?。虼?我們將這一要求細(xì)化分解,根據(jù)老教材的設(shè)計(jì),將這一要求與原課時(shí)目標(biāo)融合在一起形成新的課時(shí)目標(biāo)．在落實(shí)“最值要求”的過(guò)程中,為了讓學(xué)生達(dá)成最終的“會(huì)”,我們要為每一位學(xué)生量身定制課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo),遵循“循序漸進(jìn),螺旋上升”的原則,分層多級(jí)推進(jìn)對(duì)二次函數(shù)最值的認(rèn)識(shí),努力讓他們積“小會(huì)”成“大會(huì)”．在教學(xué)過(guò)程中,我們將最值的求法、最值與函數(shù)圖象之間的關(guān)系,從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)表達(dá)式開(kāi)始滲透,將其融入到大量的實(shí)際問(wèn)題的解決過(guò)程之中,讓學(xué)生理解二次函數(shù)最值的一般求法及其應(yīng)用策略．為此,要根據(jù)教材給定的課時(shí)內(nèi)容,將“最值要求”分段分點(diǎn)落實(shí),在不同的時(shí)點(diǎn)上根據(jù)學(xué)情提出不同的探索要求,“小步走,緩坡行”,慢慢推進(jìn),讓每一位學(xué)生都能在自己的現(xiàn)有水平上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的最值,會(huì)求二次函數(shù)的最值,并用其來(lái)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題．

案例222.3 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù).

問(wèn)題:從地面豎直向上拋出一小球,小球的高度h(單位:m)與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(單位:s)之間的關(guān)系式是h=30t-5t2．

(1)(A)當(dāng)0≤t≤6時(shí),小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少時(shí),小球最高?小球運(yùn)動(dòng)中的最大高度是多少?

(2)(B)當(dāng)1≤t≤4時(shí),小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少時(shí),小球最高?最大高度是多少?

(3)(C)當(dāng)0≤t≤2時(shí),小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少時(shí),小球最高?最大高度是多少?

(4)(C)當(dāng)4≤t≤6時(shí),小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少時(shí),小球最高?最大高度是多少?

(說(shuō)明:A級(jí)題最簡(jiǎn)單,C級(jí)題最難)

學(xué)生活動(dòng):根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇一道最難的題目,自主解答．

5分鐘后,教師引導(dǎo)學(xué)生按照例題由易到難的順序結(jié)合圖3—圖6逐題陳述思路,并逐一展示確定二次函數(shù)h=30t-5t2在自變量t給定范圍內(nèi)取得最大函數(shù)值的點(diǎn)(即圖中點(diǎn)P)及求最大值的過(guò)程．

圖3 圖4

展示2:如圖4,當(dāng)1≤t≤4時(shí),函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為函數(shù)圖象的最高點(diǎn),因此h的最大值為45,即當(dāng)1≤t≤4時(shí),小球運(yùn)動(dòng)到3 s時(shí)達(dá)到最大高度,最大高度為45 m．

展示3:如圖5,當(dāng)0≤t≤2時(shí),函數(shù)圖象的最高點(diǎn)為(2,40),因此小球運(yùn)動(dòng)到2 s時(shí)達(dá)到最大高度,最大高度為40 m．

圖5 圖6

展示4:如圖6,當(dāng)4≤t≤6時(shí),函數(shù)圖象的最高點(diǎn)為(4,40),因此小球運(yùn)動(dòng)到4 s時(shí)達(dá)到最大高度,最大高度為40 m．

最后,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合四幅圖象體會(huì)四道題目之間的聯(lián)系,并歸納:在二次函數(shù)的自變量取值范圍內(nèi)作函數(shù)圖象,在其圖象的最高(低)點(diǎn)處,可取得二次函數(shù)的最大(小)值,最大(小)值等于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

案例簡(jiǎn)析 案例2中,四道有著明顯梯度的問(wèn)題組成一個(gè)基于同一情境的題組,學(xué)生根據(jù)自身認(rèn)知水平和解題能力作出適切的選擇、解答與交流,避免了在落實(shí)二次函數(shù)“最值要求”上的“齊步走”,讓每一位學(xué)生在自己所能達(dá)到的高度上加深對(duì)二次函數(shù)最值的理解．而解題交流后的歸納小結(jié),將原本差異化的求值方法歸整為“根據(jù)圖象確定最值”,較好地呈現(xiàn)了“求給定自變量取值范圍的二次函數(shù)最值”的一般方法,將原本分層的問(wèn)題用統(tǒng)一的策略化解,為所有學(xué)生形成滿足自身發(fā)展需求的個(gè)性化解題策略提供了依據(jù),讓“最值要求”在分層中達(dá)標(biāo)．

4 教學(xué)啟示

4.1 研讀比對(duì),厘清課標(biāo)變化

用老教材來(lái)落實(shí)課標(biāo)新要求,自然就要弄清課標(biāo)到底帶來(lái)了哪些新要求．因此,要詳細(xì)研讀新舊兩版課程標(biāo)準(zhǔn),做到“點(diǎn)面”結(jié)合,細(xì)致入微,從教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求、教學(xué)方式等方面找尋課標(biāo)的變化,確定與課時(shí)教學(xué)緊密關(guān)聯(lián)的新方向、新要求,從而明晰自己教學(xué)的方向,尤其是對(duì)一些內(nèi)容分散、達(dá)成時(shí)間跨度長(zhǎng)、難度較大的新要求,應(yīng)該更加細(xì)致地去分析,找出新舊差異,發(fā)現(xiàn)具體變化,然后結(jié)合教材合理分解,巧妙落實(shí),確保課標(biāo)新要求的達(dá)成．以本文所述的二次函數(shù)的最值要求為例,該要求是基于《課標(biāo)2011》二次函數(shù)教學(xué)要求(3)提出的新要求,是對(duì)原要求的再提升,需要教師基于二次函數(shù)板塊的教學(xué)來(lái)逐步落實(shí)．在看到這一新要求的同時(shí),筆者也注意到相較于《課標(biāo)2011》,《課標(biāo)2022》二次函數(shù)所提要求中明顯加強(qiáng)了二次函數(shù)的圖象的教學(xué),這必然引導(dǎo)一線教師在“最值要求”的落實(shí)中,強(qiáng)化函數(shù)圖象的作用,突出數(shù)、形在解決與二次函數(shù)最值相關(guān)問(wèn)題中的作用．這也是筆者開(kāi)展文中所述教學(xué)實(shí)踐的主要依據(jù)．

4.2 見(jiàn)縫插針,嵌入教材資源

老教材是基于《課標(biāo)2011》編寫的,有著嚴(yán)密的邏輯體系,與學(xué)生的認(rèn)知水平、發(fā)展規(guī)律緊密吻合,加之近十年的教學(xué)實(shí)踐,讓教師和學(xué)生早已適應(yīng)了教材的安排．如果沒(méi)有新教材的強(qiáng)勢(shì)推進(jìn),教師想要在短時(shí)間內(nèi)自建教學(xué)資源落實(shí)課標(biāo)新要求,難度是很大的．因而,應(yīng)充分利用原有教材給出的教學(xué)資源,見(jiàn)縫插針,通過(guò)原有資源的再發(fā)展或新資源的巧嵌入,形成落實(shí)課標(biāo)新要求的資源鏈,讓新要求在老教材的教學(xué)中逐步落實(shí),形成新舊要求同步“落地”的美好局面．在上面筆者給出的教學(xué)方案中,并沒(méi)有打亂原有的教材體系,而是將“最值要求”分散落實(shí)到了每一個(gè)課時(shí)的教學(xué)中,讓學(xué)生通過(guò)對(duì)不同形式的二次函數(shù)最值的反復(fù)探索感知二次函數(shù)最值的客觀存在,通過(guò)每一次二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用理解二次函數(shù)的最值與函數(shù)圖象的緊密關(guān)聯(lián),通過(guò)“異中求同”的差異化探索與交流發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)最值的一般求法．整個(gè)方案,是基于《課標(biāo)2022》所提新要求對(duì)老教材的二次函數(shù)知識(shí)體系的完善,在老教材的基礎(chǔ)上讓認(rèn)知往前再走一步,用教材資源使用的深度提升學(xué)生對(duì)二次函數(shù)認(rèn)識(shí)的高度．

4.3 漸進(jìn)落實(shí),注重前后一致

杜威說(shuō)過(guò):“教育是對(duì)經(jīng)驗(yàn)的重建和重組．”數(shù)學(xué)教學(xué)自然應(yīng)遵循這一教育規(guī)律展開(kāi)．我們知道,經(jīng)驗(yàn)獲得于探究的過(guò)程之中,探究的過(guò)程越相似,經(jīng)驗(yàn)的喚醒與應(yīng)用也就越容易,其被納入到認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可能性也就越大．因此,無(wú)論是編寫教材,還是開(kāi)展教學(xué),我們都應(yīng)注重教學(xué)情境、教學(xué)內(nèi)容或教學(xué)方法的前后一致．人教版數(shù)學(xué)教材編寫最大的特點(diǎn)就是注重前后一致,我們的教學(xué)自然也就要做到前后一致．當(dāng)我們落實(shí)一個(gè)新要求時(shí),要特別留意學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)流程的前后一致,讓學(xué)生能夠基于已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)探究．

以上面的教學(xué)方案為例:教師根據(jù)教材的安排,緊扣不同的教學(xué)時(shí)點(diǎn)和不同的函數(shù)形式,在學(xué)生探索完二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)后,進(jìn)一步探索其最值．每一次探索,內(nèi)容相同,方法相同,過(guò)程相同,結(jié)果相近,整個(gè)過(guò)程循序漸進(jìn),螺旋上升,學(xué)生在前后近乎一致的過(guò)程中展開(kāi)探索,在由易到難的認(rèn)知?dú)v程中逐步加深了對(duì)二次函數(shù)最值的認(rèn)識(shí)．此外,“最值要求”落實(shí)的過(guò)程中,每一次探索都充分利用數(shù)形結(jié)合思想展開(kāi),讓學(xué)生體會(huì)到二次函數(shù)的最值既可以抓住解析式去計(jì)算,也可抓住二次函數(shù)的圖象去確定,有時(shí)還可以利用所列表格去發(fā)現(xiàn)．這樣的教學(xué),充分考慮到學(xué)生認(rèn)知的一致性需求,將固定的套路嵌入到常態(tài)課堂中,自然和諧,成效明顯．

4.4 內(nèi)外關(guān)聯(lián),優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

《課標(biāo)2022》提出了“設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容”[2]2,意圖通過(guò)“對(duì)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合”,讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知能主動(dòng)關(guān)聯(lián)起來(lái),促進(jìn)其認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷優(yōu)化與完善．為此,我們的數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生能夠在結(jié)構(gòu)中學(xué)習(xí),要突出數(shù)學(xué)知能的內(nèi)外關(guān)聯(lián)．我們要強(qiáng)化數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系,不斷推動(dòng)數(shù)學(xué)核心知能在教學(xué)過(guò)程中的主動(dòng)關(guān)聯(lián);我們還要重視數(shù)學(xué)與外部的關(guān)聯(lián),強(qiáng)化數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系,要努力引導(dǎo)學(xué)生跨越數(shù)學(xué)的邊界,開(kāi)展跨學(xué)科主題探索和基于真實(shí)情境的實(shí)際應(yīng)用,落實(shí)課標(biāo)要求,發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)．

關(guān)于新課標(biāo)之下老教材的教學(xué),我們一直在做著嘗試．作為新舊教材的過(guò)渡時(shí)期,近兩年用老教材落實(shí)課標(biāo)新要求是教學(xué)常態(tài)．這就需要一線教師發(fā)揮自己的教學(xué)智慧,在充分研讀課標(biāo)的基礎(chǔ)上,深入剖析老教材,用好老教材,讓課標(biāo)新要求下的素養(yǎng)課堂早日在祖國(guó)的大地上扎根、開(kāi)花、結(jié)果．