邢富根 (江蘇省南京市高淳區(qū)淳輝高級(jí)中學(xué) 211300)

1 問(wèn)題提出

對(duì)于高中解析幾何內(nèi)容的教與學(xué),很多師生都有類(lèi)似的感觸:理解難、計(jì)算繁．以圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)為背景的題目也是高考熱點(diǎn)之一,學(xué)生在解題思路的尋找、解題方法探尋、數(shù)學(xué)工具的靈活應(yīng)用上能力不足．反觀教學(xué)環(huán)境,教師在教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中往往以“知識(shí)簡(jiǎn)單呈現(xiàn)→例題精講技法→練習(xí)變換鞏固”的結(jié)構(gòu)為主,課堂教學(xué)中過(guò)度注重例題解題技巧的傳授與挖掘,忽視概念的文化背景、生成邏輯與數(shù)學(xué)理解．在這種大容量、快節(jié)奏的“填鴨式”課堂里,學(xué)生缺乏對(duì)解析幾何數(shù)學(xué)思想與方法論統(tǒng)一性的沉淀;同時(shí)學(xué)生也缺少時(shí)間去思考問(wèn)題、發(fā)表觀點(diǎn),這也扼殺了學(xué)生的創(chuàng)新能力,顯然違背課標(biāo)精神．

概念是思維的細(xì)胞．?dāng)?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開(kāi)推理,離不開(kāi)判斷,而判斷是以概念為基礎(chǔ)的[1]．實(shí)施有效的概念教學(xué),就要搞清楚概念的“來(lái)龍去脈”,形成體系化的大概念認(rèn)知結(jié)構(gòu),這也是一切數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)．圓錐曲線(xiàn)教學(xué)中,應(yīng)該在整體觀視角下加強(qiáng)概念教學(xué),把認(rèn)識(shí)曲線(xiàn)的基本套路作為核心目標(biāo)之一;指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng),抽象、概括,漸進(jìn)式地提升認(rèn)知水平;利用概念的辨析、細(xì)化過(guò)程,完成數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)化與結(jié)構(gòu)化．

2 圓錐曲線(xiàn)的本質(zhì)特點(diǎn)

2.1 解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)

笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的原動(dòng)力是基于數(shù)學(xué)內(nèi)部,出于對(duì)數(shù)學(xué)方法普遍性、統(tǒng)一性的追求,以完成“任何問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程求解”的論證．因此,教師在教學(xué)中要把“解析幾何是一種方法論”作為教學(xué)的核心定位[2]．用數(shù)形結(jié)合的思想研究幾何曲線(xiàn)問(wèn)題,應(yīng)貫徹“幾何呈現(xiàn),代數(shù)論證”的策略．對(duì)每一種曲線(xiàn)的研究,都要基于圖形直觀與概念抽象相結(jié)合．解析幾何研究的一般套路可以遵循:背景→概念→方程→性質(zhì)→應(yīng)用,注重用坐標(biāo)法與方程研究幾何問(wèn)題的規(guī)范．

2.2 圓錐曲線(xiàn)的單元理解與教學(xué)建議

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將圓錐曲線(xiàn)的內(nèi)容要求確定為:(1)了解圓錐曲線(xiàn)的實(shí)際背景,感受其在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用;(2)經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程,掌握其定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì);(3)了解雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單性質(zhì);(4)了解橢圓、拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單運(yùn)用,通過(guò)學(xué)習(xí)進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想[3-4]．

圓錐曲線(xiàn)在新課標(biāo)與新教材中體現(xiàn)的改革思路總體上看是以“精簡(jiǎn)”為主基調(diào),各版本教材在內(nèi)容選擇上重點(diǎn)圍繞圓錐曲線(xiàn)的核心概念,以橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的主要性質(zhì)及應(yīng)用為重點(diǎn),做到“削支強(qiáng)干”;在結(jié)構(gòu)體系上,用類(lèi)比、同化等手法強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯合理性,并加強(qiáng)背景和應(yīng)用;思想方法上,緊扣“幾何呈現(xiàn),代數(shù)論證”的普遍性與統(tǒng)一性原則,重視數(shù)形結(jié)合的滲透與理解(表1)．

表1 圓錐曲線(xiàn)單元知識(shí)建構(gòu)

在圓錐曲線(xiàn)學(xué)習(xí)的活動(dòng)中,知識(shí)的內(nèi)在統(tǒng)一性是一條明線(xiàn),用代數(shù)的方法研究幾何,深刻認(rèn)識(shí)數(shù)與形的辯證統(tǒng)一是一條暗線(xiàn)．因此,圓錐曲線(xiàn)的教學(xué)中要體現(xiàn)單元設(shè)計(jì)的思想,要以聯(lián)系的觀念,從整體觀的視角認(rèn)識(shí)學(xué)科知識(shí),落實(shí)課標(biāo)要求,保證教學(xué)活動(dòng)的有效開(kāi)展．

3 《雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》的教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 內(nèi)容解析

人教版A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)(2019版)教材編排上從橢圓的性質(zhì)類(lèi)比開(kāi)始,由標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì),指導(dǎo)探尋雙曲線(xiàn)與橢圓性質(zhì)結(jié)構(gòu)的共性與差異,其中雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)．通過(guò)深入研究雙曲線(xiàn),能靈活運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義、方程、性質(zhì),形成穩(wěn)定的解題基礎(chǔ),更能使學(xué)生理解、體會(huì)解析幾何這門(mén)學(xué)科的研究方法,培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀念,提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．

3.2 目標(biāo)解析

教學(xué)目標(biāo):(1)了解雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),如范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、漸近線(xiàn)和離心率等．(2)再次感受運(yùn)用方程研究雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的思想方法．(3)能用雙曲線(xiàn)的方程和幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．

3.3 教學(xué)問(wèn)題診斷分析

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為學(xué)生是知識(shí)意義的主動(dòng)構(gòu)建者,教師是教學(xué)過(guò)程的組織者、指導(dǎo)者,意義構(gòu)建的幫助者、促進(jìn)者．教師要站在“理解數(shù)學(xué),理解學(xué)生,理解教學(xué)”的高度設(shè)計(jì)好教學(xué)過(guò)程,在教學(xué)設(shè)計(jì)中要發(fā)揮“先行組織者”的作用,類(lèi)比橢圓內(nèi)容學(xué)習(xí)探索的方法工具,通過(guò)聯(lián)系與歸納創(chuàng)設(shè)理解情境,讓教材成為學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建意義的對(duì)象．

問(wèn)題1 比較雙曲線(xiàn)與橢圓的性質(zhì):范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率屬于同類(lèi)范疇．

其研究手段與方法具有一致性,可利用幾何圖形進(jìn)行觀察、歸納,綜合曲線(xiàn)方程的代數(shù)運(yùn)算刻畫(huà)規(guī)律．本項(xiàng)目建立在橢圓的經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)之上,學(xué)生通過(guò)主動(dòng)探索與合作交流,可以獨(dú)立完成目標(biāo)學(xué)習(xí)．

問(wèn)題2 雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的學(xué)習(xí)．

在利用類(lèi)比的方法研究了雙曲線(xiàn)一些幾何特征之后,開(kāi)始研究雙曲線(xiàn)的特殊性質(zhì)——漸近線(xiàn)．教學(xué)上,漸近線(xiàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程包含:(1)漸近線(xiàn)的發(fā)現(xiàn);(2)漸近線(xiàn)的方程;(3)漸近線(xiàn)的論證．其研究方法與其他性質(zhì)無(wú)異,但發(fā)現(xiàn)、理解、論證的深度更大,更抽象,教師需要在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置精準(zhǔn)問(wèn)題,把已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)、獨(dú)立探究、合作學(xué)習(xí)等方式完成學(xué)習(xí)目標(biāo),并培養(yǎng)學(xué)生批判性的認(rèn)知加工策略．

基于以上分析,本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的概念建構(gòu)．

3.4 問(wèn)題串設(shè)計(jì)(片段)

本節(jié)課概念教學(xué)過(guò)程有兩條主線(xiàn)構(gòu)成.

主線(xiàn)1:研究對(duì)象的抽象過(guò)程

橢圓的性質(zhì)→雙曲線(xiàn)的常規(guī)性質(zhì)→雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)→實(shí)際問(wèn)題

主線(xiàn)2:雙曲線(xiàn)性質(zhì)的研究過(guò)程(圓錐曲線(xiàn)的基本思想:坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合)

雙曲線(xiàn)方程→雙曲線(xiàn)性質(zhì)圖象呈現(xiàn)→圖象與方程的聯(lián)系→雙曲線(xiàn)性質(zhì)代數(shù)論證→概念生成

通過(guò)主線(xiàn)1達(dá)成教學(xué)目標(biāo)(1)(3);通過(guò)主線(xiàn)2達(dá)成教學(xué)目標(biāo)(2)(3)．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)中,要破除“知識(shí)點(diǎn)教學(xué)”的陋習(xí),體現(xiàn)單元教學(xué)整體設(shè)計(jì)的思想,把握整體性的知識(shí)結(jié)構(gòu),通過(guò)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,設(shè)計(jì)系列化的數(shù)學(xué)活動(dòng),提出合適的問(wèn)題(或者問(wèn)題串)推進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)．

(2)如何研究這些性質(zhì)?請(qǐng)各小組討論分析,嘗試描述相應(yīng)性質(zhì)．

師生活動(dòng) 學(xué)生回答問(wèn)題1(1):結(jié)合雙曲線(xiàn)圖象,類(lèi)比橢圓性質(zhì)的學(xué)習(xí)過(guò)程,認(rèn)為雙曲線(xiàn)應(yīng)該有范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率等性質(zhì)．

學(xué)生回答問(wèn)題1(2):可結(jié)合圖象(類(lèi)比橢圓圖象)得出雙曲線(xiàn)的各種性質(zhì),建立表格,形成對(duì)比．

追問(wèn)1 由圖形觀察得到的性質(zhì)存在不可靠性,必須要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C才可以當(dāng)作結(jié)論,如何完成論證呢?

類(lèi)比橢圓,通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)讓學(xué)生關(guān)注性質(zhì)呈現(xiàn)的方法邏輯,讓學(xué)生把關(guān)注點(diǎn)落在曲線(xiàn)方程上．

追問(wèn)2 總結(jié)橢圓與雙曲線(xiàn)性質(zhì)的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)．

設(shè)計(jì)意圖選用支架式教學(xué),通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo),用圓錐曲線(xiàn)學(xué)習(xí)與研究的大框架引領(lǐng)雙曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí),這是本節(jié)課的研究思路．以思想方法引領(lǐng),讓主線(xiàn)2貫穿始終．通過(guò)協(xié)作學(xué)習(xí)、比較分析,在共享集體思維成果的基礎(chǔ)上,達(dá)到對(duì)幾何性質(zhì)的全面了解,完成數(shù)學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)．同時(shí),像這種單元內(nèi)并列式的知識(shí)教學(xué)對(duì)思想方法的理解層次要有螺旋上升,用以發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．

問(wèn)題2類(lèi)比橢圓我們發(fā)現(xiàn),橢圓的長(zhǎng)短軸可以有效控制橢圓的形狀,橢圓的離心率也是控制橢圓形狀的量,緣于a,b,c,e之間存在數(shù)量關(guān)系．雙曲線(xiàn)的實(shí)軸、虛軸與離心率之間同樣存在數(shù)量關(guān)系,離心率同樣是反應(yīng)雙曲線(xiàn)形狀的量,那a,b如何影響雙曲線(xiàn)的形狀呢?你又如何論證?

師生活動(dòng) (1)學(xué)生思考,小組討論．

(2)教師引導(dǎo):解析幾何解決問(wèn)題的方法與手段存在普遍性與統(tǒng)一性,即通過(guò)圖形觀察發(fā)現(xiàn)特征,通過(guò)曲線(xiàn)方程完成論證．我們緊扣這一點(diǎn),先來(lái)觀察以下圖象,嘗試尋找結(jié)論．

圖1

追問(wèn)1 觀察圖象,聯(lián)系實(shí)軸與虛軸、雙曲線(xiàn)的形狀、離心率e,請(qǐng)問(wèn)它們?nèi)叽嬖陉P(guān)聯(lián)嗎?

圖2 圖3

生4:以上操作可進(jìn)行優(yōu)化,根據(jù)相似三角形,把垂直距離優(yōu)化為豎直距離,距離函數(shù)可更加簡(jiǎn)潔．其中設(shè)M(x,y)為雙曲線(xiàn)在第一象限的點(diǎn),作MN垂直于x軸,與漸近線(xiàn)相交于點(diǎn)P(圖3)．

追問(wèn)4 漸近線(xiàn)的學(xué)習(xí)與其他性質(zhì)的學(xué)習(xí),方法上是否具有一致性?

學(xué)生概括總結(jié),形成結(jié)論,升華為解決問(wèn)題的統(tǒng)一性方法．

設(shè)計(jì)意圖選用拋錨式教學(xué),教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生在各個(gè)特征量的數(shù)量關(guān)系中找到邏輯關(guān)聯(lián),提出問(wèn)題．教師在整個(gè)問(wèn)題2的指導(dǎo)過(guò)程中,圍繞有關(guān)線(xiàn)索與證據(jù)設(shè)問(wèn),培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力,整個(gè)課堂教學(xué)的過(guò)程就是學(xué)生探索方法、解決問(wèn)題的過(guò)程．

雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)概念教學(xué)也可看作是在雙曲線(xiàn)范圍概念上的外延,生1回答的視角,是在“漸近線(xiàn)”與“范圍”之間建立起遞進(jìn)的邏輯關(guān)系,其所用的極限思想同時(shí)也是論證“漸進(jìn)”的思想方法,使前后具有一致性(圖4)．

圖4

極限思想、數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見(jiàn)的思想方法,概念之間也有關(guān)聯(lián)性．關(guān)聯(lián)1:后一課時(shí)的拋物線(xiàn)是橢圓與雙曲線(xiàn)在一定約束條件下無(wú)限演變后的一種極限形態(tài)．關(guān)聯(lián)2:下一章節(jié)是導(dǎo)數(shù)內(nèi)容,極限是導(dǎo)數(shù)概念生成的數(shù)學(xué)思想．

4 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)“雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)我們可以發(fā)現(xiàn):(1)教學(xué)活動(dòng)要基于整體性的視角,加強(qiáng)“先行組織者”的應(yīng)用,以邏輯連貫、環(huán)環(huán)相扣的“問(wèn)題串”為腳手架,設(shè)計(jì)系列化的數(shù)學(xué)活動(dòng),以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性[2]．(2)“幾何呈現(xiàn),代數(shù)論證”是本節(jié)課的方法論,也是研究圓錐曲線(xiàn)的方法論,單元與課時(shí)之間存在統(tǒng)一性．(3)概念教學(xué)要利用新舊知識(shí)之間的不同關(guān)系,選擇不同的學(xué)習(xí)方式,創(chuàng)造相應(yīng)的同化與順應(yīng)機(jī)會(huì)．

基于單元整體觀視角的高中圓錐曲線(xiàn)概念教學(xué)是實(shí)現(xiàn)有效概念教學(xué)、透徹理解數(shù)學(xué)的重要方法,也符合認(rèn)識(shí)論和認(rèn)知心理學(xué)的基本觀點(diǎn)．暗線(xiàn)中內(nèi)涵的數(shù)學(xué)思想和方法,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂,是知識(shí)建構(gòu)與問(wèn)題解決的關(guān)鍵．