王世朋 (安徽省合肥市第七中學(xué) 230001)

概率是從數(shù)量角度研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的學(xué)科.隨著大數(shù)據(jù)時代的發(fā)展,概率的重要性變得越來越突出,概率素養(yǎng)已經(jīng)成為一名公民的基本素養(yǎng)[1]．概率單元因理論性較強(qiáng),加上教師對新增內(nèi)容的講授缺乏經(jīng)驗(yàn),其教學(xué)成為當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點(diǎn)[2]．人教A版新教材在概率部分改編力度較大,從原本面向應(yīng)用型概率的教學(xué)轉(zhuǎn)向基于概率知識的產(chǎn)生、發(fā)生設(shè)計教材,有助于師生真正把握概率研究的對象與問題的本質(zhì),探索概率教與學(xué)的基本策略和思考方式．作為一名執(zhí)教者,如何通過系統(tǒng)梳理教材內(nèi)容的進(jìn)程來助力高效的教與學(xué),是件有意義的事．

1 隨機(jī)現(xiàn)象引出研究對象

一般而言,人們把自然界和人類社會中存在的現(xiàn)象區(qū)分為兩類:一類是在一定條件下能預(yù)知結(jié)果的,稱為確定性現(xiàn)象;另一類是在一定條件下事先不能預(yù)知結(jié)果的,稱為不確定性現(xiàn)象[3]．因生活中有許多不確定性現(xiàn)象,人類必須面對包含不確定性的問題,并想要盡一切辦法解決這些問題．但是,有些不確定性現(xiàn)象過于復(fù)雜、毫無規(guī)律,以目前人類的能力還無法認(rèn)知．于是設(shè)法縮小研究范圍,把那些在相同條件下能進(jìn)行重復(fù)觀測且有規(guī)律的現(xiàn)象作為研究對象提出[4],進(jìn)一步,把在一定條件下不能事先預(yù)知結(jié)果且各個結(jié)果都具有頻率穩(wěn)定性的現(xiàn)象定義為隨機(jī)現(xiàn)象．為了增強(qiáng)學(xué)生對隨機(jī)現(xiàn)象特點(diǎn)的把握、提升數(shù)學(xué)抽象能力,教材中通過大量的實(shí)例來加以說明．例如,通過章引言中給出的從家到學(xué)校所需時間的分析,發(fā)現(xiàn)所用的時間具有相對穩(wěn)定的規(guī)律;又如,提出從裝有一些白球或紅球的袋子中隨機(jī)摸出的球的顏色的規(guī)律等都是隨機(jī)現(xiàn)象的范疇,讓學(xué)生感知研究的必要性．同時,在課本的思考欄目設(shè)置了體育彩票搖獎問題,例題中的拋擲一枚硬幣(或兩枚硬幣)、電路通路問題,通過分析都存在結(jié)果的不確定性．課后練習(xí)的“抽簽取人”和“射擊中靶”同樣具有結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象特點(diǎn)．

引出一個概念后,緊接著需要去做基本分類．不難發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象存在于我們生活的方方面面,如游戲中的隨機(jī)現(xiàn)象(拋擲硬幣、拋擲骰子、抽取撲克牌等),生活中的隨機(jī)現(xiàn)象(彩票、出生月份、摸球抽簽、上學(xué)遲到等)以及實(shí)際應(yīng)用中的隨機(jī)現(xiàn)象(隨機(jī)抽樣、保險問題、投資理財?shù)?．不斷地體會和理解教材里研究的隨機(jī)現(xiàn)象所具有的一些基本特征,如結(jié)果有限性、不可預(yù)知性和頻率穩(wěn)定性．事實(shí)上,在提出研究對象的過程中,可以利用原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),采用類比策略來引導(dǎo)教學(xué)．在確定性現(xiàn)象中有很多問題是學(xué)生較為熟知的.譬如做勻速直線運(yùn)動的物體,只要知道它的初始位置、運(yùn)動速度,就可計算出它在未來任何時刻所處的位置;又如,只要知道購買一套房子的貸款金額、月利率和貸款期限,就能計算出每個月的還款金額及剩余的欠款等．?dāng)?shù)學(xué)中通過縮小范圍,加以適當(dāng)?shù)募僭O(shè)處理,最終可抽象出函數(shù)模型來解決很多相似的確定性問題．前期積累的活動經(jīng)驗(yàn)都是學(xué)生們進(jìn)一步理解隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)涵的抓手和載體,要符合學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和特點(diǎn),讓研究對象的提出自然且合理,激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步研究的熱情和信心,并由此析出概率的研究范圍問題．

2 隨機(jī)試驗(yàn)生成研究路徑

要實(shí)現(xiàn)對隨機(jī)現(xiàn)象的研究,最基本的方法就是試驗(yàn)觀察法,尤其是可重復(fù)的多次試驗(yàn)．例如:從班級隨機(jī)選取10位學(xué)生來觀察近視的人數(shù)、記錄某地區(qū)月份的降雨量等,都需要觀察所有的基本結(jié)果．由此,自然就引出了新的概念——隨機(jī)試驗(yàn)(即對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察)．從客觀存在的現(xiàn)象出發(fā),引出研究問題,再給出解決現(xiàn)象規(guī)律性研究的路徑,利用隨機(jī)試驗(yàn)來模擬刻畫隨機(jī)現(xiàn)象中的統(tǒng)計規(guī)律性．一方面,這是數(shù)學(xué)抽象提升的過程,即從原有的直觀感知走向規(guī)律刻畫的數(shù)量化,是數(shù)學(xué)化進(jìn)程中的重要一步．另一方面,既然通過隨機(jī)試驗(yàn)來實(shí)施觀察,也就必然存在多次試驗(yàn),尤其是有利于對觀察結(jié)果進(jìn)行分析的重復(fù)試驗(yàn)．結(jié)合隨機(jī)現(xiàn)象的特征,不難獲知隨機(jī)試驗(yàn)要滿足的三個基本特點(diǎn):(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確的,并且不止一個;(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個,但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．在學(xué)習(xí)體驗(yàn)上也可以找到類比對象.例如,在必修階段學(xué)習(xí)函數(shù)的零點(diǎn)時,課本給出用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)路徑,當(dāng)精確度要求越高時,近似結(jié)果越接近真實(shí)零點(diǎn);實(shí)際上,關(guān)注隨機(jī)試驗(yàn)觀察結(jié)果的原因就是當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)越來越多時,結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)也越來越穩(wěn)定,從而為分析和決策提供數(shù)據(jù)支撐和依據(jù)．至此,便提出了概率研究的方法是什么．從數(shù)學(xué)化進(jìn)程來看,這是數(shù)學(xué)抽象的第一層級,讓學(xué)生明白要研究的問題是隨機(jī)現(xiàn)象、研究的方法是通過做多次重復(fù)試驗(yàn)來對結(jié)果進(jìn)行觀察．至于觀察什么類型的結(jié)果,如何在實(shí)際中加以應(yīng)用、成為研究一類問題的套路和方法,還需要進(jìn)一步數(shù)學(xué)化,形成科學(xué)的體系和方法,最終讓學(xué)生能加以理解和運(yùn)用．這實(shí)際上是給出了學(xué)什么的問題．

3 隨機(jī)事件產(chǎn)生研究方法

為了進(jìn)一步分析隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果,教材利用具體實(shí)例,從有限結(jié)果出發(fā),逐漸產(chǎn)生了“樣本點(diǎn)”“樣本空間”和“有限樣本空間”的概念．一方面,這樣處理是基于必修教材中先學(xué)習(xí)了統(tǒng)計再學(xué)概率．深刻理解統(tǒng)計和概率都是從數(shù)量角度研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性,不同的是:概率是在總體被假設(shè)已知的情況下研究從總體中抽取的樣本的有關(guān)問題,采取演繹推理的方式實(shí)施;而統(tǒng)計主要是在樣本可以獲得的情況下研究如何從樣本得出關(guān)于總體的一些結(jié)論,常采用歸納推理方式進(jìn)行．另一方面,這也是數(shù)學(xué)概念形成和數(shù)學(xué)抽象的需要,有助于把試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行數(shù)量化,為后面建立一種新的對應(yīng)關(guān)系提供支撐．

本次新教材對“隨機(jī)事件”概念進(jìn)行了重構(gòu).這次重構(gòu)首先區(qū)分了生活中的“隨機(jī)事件”與數(shù)學(xué)世界中的“隨機(jī)事件”,避免舊教材中不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x帶來教學(xué)上的混亂;其次保證了“隨機(jī)事件”定義的科學(xué)性;再次,也有利于高中與大學(xué)階段學(xué)習(xí)的有效銜接[5]．由隨機(jī)事件概念可以看出,不同的隨機(jī)事件就是有限樣本空間對應(yīng)的不同結(jié)果的集合,要研究的目標(biāo)即是對隨機(jī)事件進(jìn)行數(shù)學(xué)刻畫．當(dāng)完成了用集合的語言刻畫隨機(jī)現(xiàn)象,也就意味著可以基于集合的關(guān)系和運(yùn)算來研究隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算,為概率的定義、性質(zhì)的研究及概率運(yùn)算奠定完備的體系和基礎(chǔ)．從知識角度看,隨機(jī)事件是數(shù)學(xué)化研究隨機(jī)試驗(yàn)有限結(jié)果的最佳 方案,既能直觀表達(dá)試驗(yàn)結(jié)果,也能建立結(jié)果間的關(guān)系與運(yùn)算研究．從教材體系看,隨機(jī)事件的引入使得隨機(jī)現(xiàn)象研究更具體,隨機(jī)試驗(yàn)觀察更有抓手,能達(dá)到用數(shù)學(xué)的方法實(shí)現(xiàn)對一般規(guī)律性的研究．從教學(xué)操作看,教師更加明確了教學(xué)的線索:隨機(jī)現(xiàn)象→隨機(jī)試驗(yàn)→隨機(jī)事件．實(shí)現(xiàn)研究問題具體化、研究進(jìn)程數(shù)學(xué)化,概率主線明晰．對學(xué)生來說,一方面學(xué)習(xí)變得更具可操作性,明白能做什么、要做什么,另一方面也能增加他們研究不確定性現(xiàn)象的活動經(jīng)驗(yàn),同時與前期學(xué)習(xí)的一類典型的確定性現(xiàn)象——函數(shù)單元的學(xué)習(xí)體驗(yàn)相似,可實(shí)現(xiàn)方法和路徑的借鑒．至此,就回答了怎么學(xué)的問題．

4 隨機(jī)變量刻畫研究內(nèi)容

在必修教材中,引出隨機(jī)事件后緊接著研究一類典型的概率類型——古典概型,通過解決實(shí)際問題,了解構(gòu)建概率模型的一般方法,理解概率的意義．之后研究概率的基本性質(zhì)、事件的相互獨(dú)立性和頻率與概率內(nèi)容．不難看出,必修教材中已經(jīng)呈現(xiàn)了概率研究的基本全貌,從概念的引入,到性質(zhì)的研究,再到具體模型的概率計算,呈現(xiàn)完整的研究與學(xué)習(xí)路徑．考慮到概率是針對隨機(jī)事件的數(shù)量刻畫,依據(jù)事件的關(guān)系來做概率運(yùn)算關(guān)系的研究非常有必要,所以在必修中研究了互斥、對立與獨(dú)立的關(guān)系與運(yùn)算．考慮到統(tǒng)計與概率的聯(lián)系及概率計算類型受限,給出了用模擬的方法來實(shí)現(xiàn)概率估算的辦法,豐富學(xué)生解決問題的途徑．其一,學(xué)生通過概率知識學(xué)習(xí),基本實(shí)現(xiàn)用概率思維來思考和解決部分實(shí)際中的問題,實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)的方法研究和解決問題;其二,學(xué)習(xí)活動的體驗(yàn)也類似于前面函數(shù)的學(xué)習(xí),實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的一致性和學(xué)習(xí)內(nèi)容的系統(tǒng)性．

選擇性必修中的概率學(xué)習(xí),是對必修學(xué)習(xí)的補(bǔ)充和延伸,是對隨機(jī)事件概率計算方法的拓展與一般化,進(jìn)一步通過引入隨機(jī)變量,實(shí)現(xiàn)在高觀點(diǎn)下利用數(shù)學(xué)工具,采用統(tǒng)一的方式,系統(tǒng)、全面地研究離散型隨機(jī)變量取值的概率分布及數(shù)字 特征,根據(jù)頻率穩(wěn)定到概率的事實(shí),借助誤差數(shù)據(jù)頻率分布直方圖,建立正態(tài)分布模型并解決有關(guān)實(shí)際問題[6]．其中,隨機(jī)變量的引入承擔(dān)了非常重要的角色．首先,隨機(jī)變量是隨機(jī)事件的數(shù)學(xué)化,是把樣本空間子集對應(yīng)為一個實(shí)數(shù),真正用數(shù)量的變化來反映和刻畫結(jié)果的不同,實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)的方式研究問題．其次,隨機(jī)變量能更直觀和簡潔地表達(dá)試驗(yàn)的結(jié)果,相比隨機(jī)事件更具有一般性,更有利于探究發(fā)生概率的規(guī)律性．最后,隨機(jī)變量是在不確定性現(xiàn)象中研究某個數(shù)量指標(biāo)取值規(guī)律的本質(zhì)刻畫,能實(shí)現(xiàn)對隨機(jī)現(xiàn)象的分類研究,是統(tǒng)領(lǐng)分布列類型的關(guān)鍵變量．當(dāng)實(shí)現(xiàn)了用隨機(jī)變量來刻畫隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果,即完成了隨機(jī)事件的數(shù)量化過程,建立起了隨機(jī)變量的研究框架和路徑,實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問題．通過隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)現(xiàn)象來加深理解隨機(jī)思想,清晰呈現(xiàn)為什么學(xué)的問題．

概率在新教材中貫穿必修和選擇性必修,對學(xué)生隨機(jī)思想的培養(yǎng)至關(guān)重要,是直接運(yùn)用知識解決實(shí)際問題最常見的類型．從教材編寫上看,能較為清晰地體會到數(shù)學(xué)化進(jìn)程與數(shù)學(xué)抽象的幾個階段．第一階段可以理解為用數(shù)學(xué)眼光來看問題,提出把隨機(jī)現(xiàn)象作為概率研究對象．第二階段是概率研究的系統(tǒng)化階段,也是數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵階段,實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)思維來思考、研究和分析隨機(jī)現(xiàn)象,引出隨機(jī)試驗(yàn)的方法,借助隨機(jī)事件研究試驗(yàn)結(jié)果的策略．通過隨機(jī)事件的集合化定義,打好事件關(guān)系與概率運(yùn)算的地基,為復(fù)雜事件的概率研究奠定基礎(chǔ)．第三階段可以理解為隨機(jī)變量的引入,真正實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)變量來刻畫隨機(jī)事件,建立與確定性現(xiàn)象研究相似的操作方案,達(dá)到用數(shù)學(xué)的方式實(shí)現(xiàn)問題的一般化研究,體現(xiàn)數(shù)學(xué)語言表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范和簡潔．從教學(xué)視角看,概率主線的數(shù)學(xué)化過程實(shí)際是提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的很好載體,相對其他主線可能功能更強(qiáng)、意義更廣．其一,在核心概念生成上就是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提升的最好階梯,如用樣本空間表達(dá)試驗(yàn)結(jié)果、用集合語言刻畫隨機(jī)事件、用隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)事件,通過概念的自然生成和辨析實(shí)現(xiàn)抽象素養(yǎng)的提升．其二,在典型例題的分析中給出多種數(shù)學(xué)圖示輔助進(jìn)行問題剖析,建立把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題的紐帶,通過文字語言圖形化,給出教學(xué)中的有效范式．其三,在課后練習(xí)題的設(shè)置中,考慮到概率問題源于生活,課本上選取關(guān)于德、智、體、美、勞的各種素材加以創(chuàng)編或直接選用,用來豐富教學(xué)的資源,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的最好實(shí)踐方式．教學(xué)中教師要充分用好這樣的資源,來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和關(guān)鍵能力．

總之,在概率教學(xué)中,因內(nèi)容難度大,教師面臨認(rèn)知困境,需要促進(jìn)教師研究概率內(nèi)容與概率教學(xué)方法的實(shí)踐行動,強(qiáng)化團(tuán)隊教研的有效指導(dǎo)．又因教學(xué)中教師容易“簡化”教學(xué),存在應(yīng)試傾向的評價困境,需要加大對一線教師的培訓(xùn),尤其是教學(xué)研討與示范活動,以便提升教師實(shí)操能力,讓概率教學(xué)的育人力量更強(qiáng)．