穗肖肖 方鵬亞 王 迪 張桉浩

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院，河南鄭州 450046）

0.引言

復(fù)雜系統(tǒng)是行為本質(zhì)上難以建模的系統(tǒng)，具有多維性、耦合性、非線性等特征。受制于小批量研制、可靠性試驗(yàn)代價(jià)高昂等現(xiàn)實(shí)問題，復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性數(shù)據(jù)常常表現(xiàn)為貧信息特征，給可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化帶來了巨大的挑戰(zhàn)。目前，隨機(jī)可靠性理論應(yīng)用最廣，其概率密度函數(shù)的確定需要獲知充足的不確定性信息，當(dāng)可獲知的信息不足以建立準(zhǔn)確的函數(shù)模型時(shí)，人為假設(shè)將導(dǎo)致較大的分析誤差。在貧信息問題的描述上，區(qū)間不確定性方法僅需獲知不確定變量的邊界信息，所需信息量大大減少。區(qū)間不確定性以及由此形成的非概率可靠性理論得到了快速發(fā)展，但在解決復(fù)雜系統(tǒng)問題時(shí)，還面臨兩方面難題：一是函數(shù)隱式化。由于對復(fù)雜系統(tǒng)的機(jī)理認(rèn)識(shí)不夠充分，在可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)很難給出顯示的極限狀態(tài)函數(shù)；二是交叉耦合。復(fù)雜系統(tǒng)通常包含多個(gè)子系統(tǒng)和學(xué)科，耦合交叉現(xiàn)象突出，加劇了可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)難度。針對上述兩個(gè)突出問題，對相關(guān)研究成果進(jìn)行梳理和分析。

1.貧信息背景下的可靠性方法研究

隨著貧信息問題愈發(fā)突出，學(xué)者對貧信息背景下的可靠性理論的研究給予了廣泛關(guān)注，逐漸形成了以模糊數(shù)學(xué)、證據(jù)理論、凸集理論等為基礎(chǔ)的可靠性方法，有效彌補(bǔ)了隨機(jī)可靠性在解決貧信息問題上的不足。其中，模糊可靠性和非概率可靠性理論因理論方法簡單，適用性較強(qiáng)，成為可靠性研究的熱點(diǎn)領(lǐng)域。模糊可靠性采用隸屬函數(shù)表征認(rèn)知不確定性，但隸屬函數(shù)難以準(zhǔn)確確定，往往需要依托專家經(jīng)驗(yàn)或人為假設(shè)。非概率可靠性[1]采用凸集表征貧信息，由于對樣本數(shù)據(jù)量沒有明確要求，且分析過程簡單，更適用于解決復(fù)雜工程問題。

非概率可靠性理論最早由Ben-Haim 提出，發(fā)展至今，逐漸形成了以區(qū)間模型[2]（包線界限凸集）和橢球模型[3]（橢圓界限凸集）為基礎(chǔ)的兩類不確定性分析方法。橢球模型能夠有效表征不確定變量的相關(guān)性信息，但卻無法合理表征獨(dú)立非相關(guān)變量，而獨(dú)立變量在可靠性多源信息中卻普遍存在。區(qū)間模型起初僅用來表征獨(dú)立非相關(guān)變量，受制于模型特點(diǎn)，無法對變量相關(guān)性進(jìn)行表征。隨著相關(guān)性分析理論的引入[4]以及多維平行六面體建模方法[5-6]等新理論的出現(xiàn)，區(qū)間模型已經(jīng)發(fā)展為廣義區(qū)間模型，能夠在統(tǒng)一框架下合理表征獨(dú)立和相關(guān)變量。對于復(fù)雜系統(tǒng)，在進(jìn)行可靠性建模時(shí)，一方面要合理表征輸入系統(tǒng)的多源不確定性信息，這些不確定性因素可能是獨(dú)立變量，亦可能出自同源，表現(xiàn)為非獨(dú)立相關(guān)變量；另一方面，復(fù)雜系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)過程中通常伴隨著學(xué)科交叉和子系統(tǒng)耦合，不確定變量通過交叉?zhèn)鬟f，輸入變量、耦合變量和輸出變量間不可避免會(huì)產(chǎn)生相關(guān)性。相比之下，區(qū)間模型對獨(dú)立和非獨(dú)立相關(guān)變量均能夠進(jìn)行合理表征，更適用于量化和分析貧信息背景下復(fù)雜系統(tǒng)中的多源不確定性和耦合不確定性。

2.區(qū)間不確定性及其可靠性方法研究

當(dāng)前，圍繞區(qū)間不確定性及其可靠性的研究，主要集中在兩個(gè)方向：一是區(qū)間不確定性的傳遞分析；二是基于區(qū)間模型的非概率可靠性方法研究。其中，區(qū)間不確定性的傳遞分析是開展可靠性分析的基礎(chǔ)，面對簡單的分析問題，廣大學(xué)者提出了基于近似展開的不確定性分析方法。這一方法將原始模型采用泰勒展開進(jìn)行近似，當(dāng)所研究問題非線性程度較高時(shí)，計(jì)算精度較低。為提高非線性問題的計(jì)算精度，部分學(xué)者嘗試將遺傳算法等智能優(yōu)化方法和學(xué)科分析程序直接結(jié)合[2]，但因?yàn)閮?yōu)化迭代需要多次調(diào)用學(xué)科分析，計(jì)算成本通常較高。為提高計(jì)算效率，有學(xué)者將響應(yīng)面等近似模型引入?yún)^(qū)間不確定性分析，本質(zhì)上是尋找精度和效率的平衡方案。

在區(qū)間不確定性分析方法的基礎(chǔ)上，學(xué)者對基于區(qū)間不確定性的非概率可靠性方法進(jìn)行了發(fā)展。郭書祥[2]率先提出了基于區(qū)間分析的結(jié)構(gòu)非概率可靠性模型，取極限狀態(tài)函數(shù)的均值和偏差的比值作為非概率可靠性的度量，該方法能夠判定出結(jié)構(gòu)是否處于絕對的安全或者失效狀態(tài)，但對于干涉狀態(tài)沒有做出進(jìn)一步的分析。孫海龍[8]引入二變量情況下的區(qū)間應(yīng)力-區(qū)間強(qiáng)度干涉模型，將結(jié)構(gòu)的安全可靠度定義為結(jié)構(gòu)區(qū)間強(qiáng)度大于結(jié)構(gòu)區(qū)間應(yīng)力的可能性，該方法對于結(jié)構(gòu)安全程度能給出相對合理的估計(jì)，但定量計(jì)算時(shí)精度較低，實(shí)用性不強(qiáng)[9]。上述兩類方法雖然可以合理衡量可靠性，但是在物理意義和幾何意義上均不完備。為此，有學(xué)者提出了具有明確物理意義的非概率可靠性模型，王曉軍[10]參照應(yīng)力—強(qiáng)度概率干涉模型，建立了應(yīng)力—強(qiáng)度非概率集合干涉模型，并利用結(jié)構(gòu)安全域的體積和基本區(qū)間變量域的總體積之比作為結(jié)構(gòu)非概率可靠性的度量，該方法與概率可靠性具有一定相容性，但是當(dāng)涉及高維和非線性問題時(shí)，需要進(jìn)行復(fù)雜曲線積分，往往很難求解。區(qū)別于此，郭書祥[11]提出采用最小無窮范數(shù)表示的最短距離，來作為非概率可靠性指標(biāo)，這一定義和隨機(jī)可靠性指標(biāo)類似，且求解模型相對簡單，適用于各種復(fù)雜情況，因此用于復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析和設(shè)計(jì)更為合適。但總的來看，基于區(qū)間不確定性的非概率可靠性方法目前更多停留在理論探索和簡單應(yīng)用層面，結(jié)合復(fù)雜工程的技術(shù)特點(diǎn)以及所抽象出的數(shù)學(xué)難題，開展研究相對較少。

3.復(fù)雜系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的隱式化問題研究

關(guān)于隱式化問題的研究主要集中于兩個(gè)領(lǐng)域。一是在數(shù)值模擬的框架下，采用蒙特卡羅、線抽樣等高效抽樣方法，盡可能減少實(shí)際模型的分析次數(shù)，達(dá)到提高效率的目的。但是這類方法主要面向隨機(jī)可靠性領(lǐng)域，對于區(qū)間不確定性的適用性還未驗(yàn)證。二是采用近似模型方法，構(gòu)建一個(gè)滿足精度要求、計(jì)算消耗小的數(shù)學(xué)模型來模擬復(fù)雜系統(tǒng)的響應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上開展可靠性工作。目前，近似模型理論已經(jīng)成為解決隱式化問題的通用和熱點(diǎn)方法。

近似模型方法的研究主要集中在采樣和近似建模兩個(gè)方向。采樣方法主要分為邊緣分布采樣和空間均勻填充采樣。邊緣分布采樣優(yōu)先在設(shè)計(jì)空間的邊界布置樣本點(diǎn)，使得試驗(yàn)設(shè)計(jì)的隨機(jī)誤差最小，包括全因子／部分因子法、中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)、Box-Behnken 試驗(yàn)設(shè)計(jì)等方法。但實(shí)際問題中，相比隨機(jī)誤差，系統(tǒng)誤差更為常見?？臻g均勻填充方法主要包括拉丁超立方設(shè)計(jì)、正交設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)等，部分學(xué)者[12]對這些采樣方法進(jìn)行了對比，給出了一些經(jīng)驗(yàn)性結(jié)論；另有部分學(xué)者 對上述采樣方法在空間填充性和采樣效率上進(jìn)行了改進(jìn)研究。目前研究雖然形成了一些代表性的成果，但對于區(qū)間不確定性下的采樣方法，尤其是相關(guān)區(qū)間變量的采樣方法缺乏關(guān)注和研究。在近似建模技術(shù)方面，典型方法主要包括響應(yīng)面、徑向基和Kriging 模型等?；谶@些方法，學(xué)者提出了一些新的建模技術(shù)和建模策略，如Li[14]提出了一種可靠度分析的多重響應(yīng)面法；Shi[15]基于高斯過程的模型偏差校正方法，提出了一種自適應(yīng)響應(yīng)面法；Liu[16]對組合代理模型及其權(quán)重確定方法進(jìn)行了研究。總體來看，這些新的近似建模技術(shù)豐富了近似模型方法的理論體系，但對于變量強(qiáng)相關(guān)性等復(fù)雜系統(tǒng)可能出現(xiàn)的問題特征缺乏深入研究。

4.復(fù)雜系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)的交叉耦合問題研究

復(fù)雜系統(tǒng)往往包含多種層次、相互關(guān)聯(lián)的若干子系統(tǒng)，傳統(tǒng)的整體論和還原論都無法完美地解決此問題。為此，錢學(xué)森提出了系統(tǒng)論以及綜合集成法，為解決此類問題提供了思路。部分學(xué)者圍繞具體的應(yīng)用問題，開展了某些子問題的耦合研究，如流固、聲固等多物理場耦合，這些研究面向具體的研究對象，側(cè)重于仿真工具和學(xué)科分析方法的應(yīng)用探索。為縮短復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì)周期，AIAA 提出了多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化理論（Multidisciplinary Design Optimization, MDO）?；诖死碚?，廣大學(xué)者引入可靠性設(shè)計(jì)需求，發(fā)展形成了多學(xué)科可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化理論（Reliability Based Multidisciplinary Design Optimization, RBMDO）。RBMDO 方法是目前充滿前景的一種大型復(fù)雜工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)優(yōu)化的方法論。

在RBMDO 研究上， Yao[17]系統(tǒng)回顧了RBMDO 研究的發(fā)展動(dòng)態(tài)和關(guān)鍵技術(shù)，為國內(nèi)RBMDO 研究提供了思路和方法借鑒。總的來看，RBMDO 的理論基礎(chǔ)是MDO，結(jié)合目前相對成熟的MDO 框架，發(fā)展形成了不同的RBMDO方法，但如何提高RBMDO 求解效率是難點(diǎn)問題。部分學(xué)者[18-19]引入序列優(yōu)化與可靠性評估法（Sequential Optimization and Reliability Assessment，SORA），發(fā)展提出了基于SORA 的RBMDO 方法，由于該方法求解規(guī)模相對較小，受到廣泛應(yīng)用。然而，SORA 僅是提供了一個(gè)通用的求解框架，仍然需要研究高效的多學(xué)科可靠性分析等具體方法。綜合來看，目前研究更多是針對隨機(jī)不確定性問題，對于區(qū)間不確定性下RBMDO 問題研究不夠深入；且多數(shù)研究采用獨(dú)立變量的可靠性分析與設(shè)計(jì)方法，對于復(fù)雜系統(tǒng)變量耦合相關(guān)問題關(guān)注不夠。

5.結(jié)論與展望

后續(xù)可圍繞以下幾方面開展研究工作：（1）聚焦復(fù)雜工程問題，研究區(qū)間不確定性及非概率可靠性的理論創(chuàng)新和工程應(yīng)用；（2）研究適合區(qū)間不確定性的復(fù)雜系統(tǒng)近似模型構(gòu)建方法，重點(diǎn)探究區(qū)間變量耦合相關(guān)情形下的近似模型構(gòu)建方法；（3）研究基于區(qū)間不確定性的RBMDO模型，并對模型高效解法進(jìn)行研究。