江蘇省揚州市揚州大學數(shù)學科學學院(225000) 邱宇瀟

江蘇省揚州市揚州大學教育科學學院(225000) 張 波

一、問題提出

高考作為高利害性的人才選拔考試,其試題難度將直接影響其選拔的公平性與有效性[1]. 如何設置合理的試題難度,踐行“以考促學”的教育測量精神,日漸成為教育界關注的熱點.

為了更好地對標高考,指導高中數(shù)學教育,國內(nèi)學者在高考試題難度方面的研究在近年來呈現(xiàn)上升趨勢. 武小鵬、孔企平基于AHP 理論改進的鮑建生的高考數(shù)學試題綜合難度模型成為研究高考數(shù)學試題難度的主要測量工具[1]. 基于該綜合難度模型,劉靜等學者完成了2020 年新高考與傳統(tǒng)高考以及2020 年全國數(shù)學高考一卷與新高考Ⅰ卷的綜合難度比較研究[2];徐思迪等學者完成了2019 與2020 年全國數(shù)學高考理科二卷的比較研究[3]. 同時也有學者開拓國際視野,張怡等學者完成了中國與韓國高考數(shù)學試卷的比較研究[4],不僅如此,各位學者從數(shù)學核心素養(yǎng)、SOLO 分類理論、PⅠSA情境測試等不同角度切入高考試題研究.

在上述研究的基礎上,筆者發(fā)現(xiàn)當前研究主要圍繞高考數(shù)學試題,但卻鮮有比較研究圍繞高考數(shù)學試題與高三數(shù)學質量檢測試題(后稱“質檢試題”)展開. 關于質量檢測考試有多種別稱,包括適應性考試,診斷性考試,調(diào)研性考試等等,此處所指的質量檢測考試主要指面向高三畢業(yè)班學生的高考適應性考試. 舉辦適應性考試的主要意義在于檢查考生當前階段的復習狀況,幫助考生熟悉高考流程,教師能夠根據(jù)考試情況,有目的,有針對性地安排接下來的復習計劃. 因此,比較質檢試題與高考試題的差異,對指導質檢試卷編制,以及高三年級的復習教學具有一定的指導意義.

為比較質檢試題與新高考試題的差異,筆者采用定量研究的方式,圍繞高考數(shù)學試卷綜合難度模型,比較試卷各難度因素水平占比、綜合難度以及核心素養(yǎng)考查情況,以求對質檢試卷編制以及高三數(shù)學教學提供研究建議.

二、研究設計

(一)研究對象

本文的研究對象包括2021 年第三批高考改革省市使用的新高考Ⅰ卷與新高考ⅠⅠ卷,其中福建省、江蘇省、湖南省、湖北省、廣東省、河北省使用新高考Ⅰ卷,遼寧省、重慶市使用新高考ⅠⅠ卷;質檢試卷選擇2021 年1 月的“八省聯(lián)考”試卷以及2022 年1 月上述八省市中福州市、南京市、長沙市、武漢市、廣州市、石家莊市、沈陽市、重慶主城區(qū)使用的質檢試卷(上述部分城市采用多市聯(lián)考形式),共11 套試卷. 研究對象中所涉及的質檢試卷使用時間均為當年1 月,作為高三上學期的期末試卷,檢查學生高三上學期的復習情況的同時幫助學生適應新高考流程. 其中,2021 年1 月八省聯(lián)考數(shù)學試卷由國家教育部考試中心命題,2022 年1 月各省市使用試卷由各地市自行命題.

(二)研究工具

本文采用武小鵬、孔企平基于AHP 理論改進的鮑建生的高考數(shù)學試題綜合難度模型以測量試卷背景因素、是否含參、運算水平、推理能力、知識含量、思維方向、認知水平各難度因素水平以及綜合難度[1]. 將各因素下水平進行賦值, 例如背景因素包含: 無背景、生活背景、科學背景三個水平, 分別賦值1, 2, 3, 其他難度因素以此類推. 用公式. 計算各難度因素系數(shù),用公式

計算試卷綜合難度,其中nij表示第i個因素第j個水平下的試題數(shù)量,dij表示第i個因素第j個水平下的賦值系數(shù),n表示涉及編碼的試題總數(shù),ki為第i個水平在試卷中的權重系數(shù)[1].

同時,圍繞數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大高中數(shù)學核心素養(yǎng)統(tǒng)計試卷中各素養(yǎng)試題占比.

三、研究結果

將2022 年1 月福州市、南京市、長沙市、武漢市、廣州市、石家莊市質檢試卷(后稱:“一卷地區(qū)”)的平均水平,2022年1 月沈陽市與重慶主城區(qū)質檢試卷(后稱:“二卷地區(qū)”)的平均水平與2021 年新高考Ⅰ卷(后稱:“新高考Ⅰ卷”),2021年新高考ⅠⅠ卷(后稱:“新高考ⅠⅠ卷”)與2021 年1 月八省聯(lián)考試卷(后稱:“八省聯(lián)考試卷”)進行比較.

(一)綜合難度

第一,背景因素. 質檢試卷在該因素上所反映的程度不及新高考試卷. 各份試卷中“無背景”數(shù)學試題占比最高,新高考ⅠⅠ卷的背景因素難度系數(shù)最大,主要在于其中所包含的“科學背景”試題數(shù)量較多,而其他試卷所設置的問題情境多只是少量涉及“生活背景”.

第二,是否含參. 質檢試卷教育新高考試卷更側重于含參試題的考查. 各份試卷含參系數(shù)均大于1.5 意味著各份試卷中含參試題占比超過半數(shù),其中一卷地區(qū)含參系數(shù)最大與新高考Ⅰ卷有較為明顯的差異,二卷地區(qū)與新高考ⅠⅠ卷比較幾乎持平.

表1 試題各難度因素統(tǒng)計表

第三,運算水平. 質檢試卷在運算水平的考查同新高考試卷接近. 所有試卷中“簡單符號運算”水平占比最高,主要原因在于其包含的運算情境最多涵蓋了代數(shù)、向量、二項式、求導、裂項、簡單概率等運算,并且其中不乏包含少量“復雜數(shù)值運算”水平的步驟.

第四,推理能力. 質檢試卷更加關注復雜推理的考查. 該難度因素呈現(xiàn)了較大差別,在2021 年新高考試卷中簡單推理試題數(shù)量略多于復雜推理試題數(shù)量. 相比之下,一卷地區(qū)與二卷地區(qū)數(shù)值接近,均以復雜推理試題為主,而八省聯(lián)考試卷在該因素系數(shù)最大.

第五,知識含量. 質檢試卷在知識含量的考查上略高于對應新高考試卷. 各份試卷中均以“3 個及以上”知識點考查為主,其中二卷地區(qū)數(shù)值最大且略高于新高考ⅠⅠ卷,一卷地區(qū)數(shù)值略高于新高考Ⅰ卷,八省聯(lián)考試卷數(shù)值居中.

第六,思維方向. 質檢試卷對需要逆向思維的試題考查較少. 各份試卷中均以“順向思維”水平試題為主,新高考Ⅰ卷在思維方向的系數(shù)數(shù)值最大與八省聯(lián)考幾乎持平,明顯高于新高考ⅠⅠ卷. 一卷地區(qū)數(shù)值明顯低于新高考Ⅰ卷,二卷地區(qū)數(shù)值略高于新高考ⅠⅠ卷.

第七,認知水平. 質檢試卷在認知水平的考查上低于新高考試卷. 各份試卷中均以“運用”水平的試題為主,“理解”水平的試題次之,“分析”水平的試題較少.

第八,綜合難度. 質檢試卷的綜合難度均高于新高考試卷. 基于以上數(shù)據(jù)結合各難度因素權重系數(shù),計算得到下表各份試卷的綜合難度系數(shù),可見八省聯(lián)考的綜合難度系數(shù)最大,一卷地區(qū)綜合難度系數(shù)大于新高考Ⅰ卷,二卷地區(qū)綜合難度系數(shù)也大于新高考ⅠⅠ卷.

表2 綜合難度系數(shù)表

(二)核心素養(yǎng)

在數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象三個核心素養(yǎng)方面一卷地區(qū)均低于新高考Ⅰ卷,在邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析三個核心素養(yǎng)方面一卷地區(qū)均高于新高考Ⅰ卷. 在數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析五個素養(yǎng)方面,二卷地區(qū)均低于新高考ⅠⅠ卷的核心素養(yǎng)水平,僅在數(shù)學運算水平二卷地區(qū)高于新高考ⅠⅠ卷. 八省聯(lián)考試卷的核心素養(yǎng)水平多居于中位,在數(shù)學建模方面,八省聯(lián)考試卷居于最高位,但八省聯(lián)考試卷不包含數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)方面的試題.

基于統(tǒng)計數(shù)據(jù),質檢試卷在數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象四大核心素養(yǎng)的考查上普遍均低于新高考試卷,僅在數(shù)學運算素養(yǎng)的考查上略高于新高考試卷,數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)在質檢試卷與新高考試卷中占比都處于較低水平. 因此,從整體上看質檢試卷在核心素養(yǎng)的反應水平相對較低.

圖1 核心素養(yǎng)柱形圖

四、研究結論

(一)綜合難度

就總體而言,質檢試卷在是否含參,推理能力,知識含量三個難度因素的考查上要高于新高考試卷;而在背景因素、思維方向和認知水平的考查上要低于新高考試卷;運算水平的考查是質檢試卷和新高考試卷兩者的重點,兩者水平接近.

第一,背景因素. 2021 新高考試卷的試題情境較于質檢試卷試題更加豐富,生活情境和科學情境與試題的有機結合體現(xiàn)了數(shù)學學科的跨學科應用價值,而這是質檢試卷中相對缺乏的.

第二,是否含參. 含參試題依舊是高考的熱門考點,參數(shù)與變量的多樣化長期以來都受到出題者的青睞,尤其在一卷地區(qū),在質檢試題中含參試題的比例超過70%,超過了新高考試卷.

第三,運算水平. 簡單符號運算在試卷中占據(jù)最高比例,質檢試卷在簡單符號運算上的考察水平超過60%,但是,質檢試卷在該因素的考查略低于新高考試卷,新高考試卷在運算水平的考查更具多元化. 復雜符號運算水平的考查在質檢試卷的考查集中于壓軸題位置,而新高考試卷中則分散于各個題型當中.

第四,推理水平. 推理水平的考查在質檢試卷中得到了相當程度的重視,不論是2021 年的八省聯(lián)考還是2022 年的質檢,復雜推理水平的試題考查遠超新高考試卷,而這也將是質檢試卷命題的主基調(diào). 質檢試卷中復雜推理水平的試題占比超過65%,其中2022 年1 月重慶主城區(qū)所使用的質檢試卷中復雜推理水平的試題更是達到了75%,遠高于新高考試卷.

第五,知識含量. 試題綜合性強,不論是新高考試題還是質檢試題多以考查2 個及以上知識點為主. 根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準(2017 年版)》關于知識主題的分類,涵蓋多知識點的試題主要有兩種形式,一類是縱向的,涵蓋同一主題下多個知識點的試題,另一類是橫向的,涵蓋多主題下知識點的試題[5]. 質檢試卷中的綜合性試題以縱向涉及知識點為主.

第六,思維方向. 試題依舊以順向思維試題為主,包含逆向思維的試題多為涉及部分解題步驟需要進行逆向思維過程. 包含逆向思維過程的試題常在考查邏輯用語的試題中體現(xiàn). 新高考Ⅰ卷的逆向思維考查較為明顯,質檢試卷對于逆向思維的考查相對薄弱,此類試題僅占17%左右.

第七,認知水平. 試題以運用水平為主,經(jīng)過比較可以發(fā)現(xiàn)新高考試卷在認知水平的考查上高于質檢試卷,再比較八省聯(lián)考試卷與2022 年質檢試卷可知認知水平的考查在質檢試卷中略有下降.

第八,綜合難度. 在綜合難度上,質檢試卷的難度要高于新高考試卷,而2022 年質檢試卷的難度較于八省聯(lián)考試卷難度有所下調(diào),更加契合新高考試卷難度.

(二)核心素養(yǎng)

比較新高考試卷與質檢試卷,不難發(fā)現(xiàn)新高考試卷關于核心素養(yǎng)的考查在多維度上要高于質檢試卷,尤其關注數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象上的考查,質檢試卷則更加關注數(shù)學運算. 數(shù)學建模與數(shù)據(jù)分析兩大核心素養(yǎng)在各份試卷中都體現(xiàn)較少. 邏輯推理的考查多集中于立體幾何與平面解析中的證明題,邏輯用語類題目次之.

五、研究啟示

高考改革在近年來逐步推進,本文分析的各份質檢試卷均是來自第三批高考改革省市.《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》中指出: 高考應依據(jù)高校人才選拔要求和國家課程標準,科學設計命題內(nèi)容,增強基礎性、綜合性,著重考查學生獨立思考和運用所學知識分析問題、解決問題的能力[6]. 圍繞以上研究結果以下提出關于質檢試卷編制以及高三數(shù)學教學的啟示.

(一)關于質檢試卷編制的啟示

第一,在質檢試題的命制上應進一步加強運算水平、推理水平、認知水平、思維方向的考查,編制具有生動問題情境的數(shù)學試題. 比較八省聯(lián)考試卷與2022 年質檢試卷可知在諸多難度因素的考查上有所下降,為了幫助學生更好地迎戰(zhàn)高考,達成“以考促學”的教育測量精神,在試題命制上應適當提高相應難度因素的考查水平.

第二,在質檢試題的命制上應加強關于核心素養(yǎng)的考查,維持較高水平的數(shù)學運算考查狀態(tài),關注數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象的考查比重. 建議提高能夠反應數(shù)學抽象素養(yǎng)的試題比重至60%左右,以到達新高考試卷水平.

第三,在質檢試卷的編制上不應一味追求“高難度”,應對標新高考試卷的難度水平, 在擬合新高考試卷的基礎上,以略高于新高考試卷綜合難度的目標編制質檢試卷.

(二)關于高三數(shù)學教學的啟示

第一,在難度因素中,推理能力的考查情況將在極大程度上影響試卷難度,因此,在教學上應加強邏輯推理的訓練.可以從三個角度著手: (1)在概念教學上關注知識的生成過程,概念引出過程應注重與先前知識的銜接,使學生經(jīng)歷合乎邏輯的概念形成過程,注重學生收獲基本活動經(jīng)驗. (2)在習題課上應關注變式的應用,結合結構不良試題加強對學生思維過程的訓練,結合結構不良試題教學的關鍵在于使學生體會自身知識點的短板與長處,真正在考試時揚長避短. (3)在復習課上除了回顧基本知識與基本技能,還應嘗試使學生在復習過程中完成程序性理解向概念性理解的轉變與提高,逐漸建立知識點間的系統(tǒng)聯(lián)系,使之形成完備的知識體系.

第二,試卷中數(shù)學運算素養(yǎng)的體現(xiàn)情況接近90%,在日常習題中應加強數(shù)學計算與解題思維的訓練. 可以從兩個角度著手: (1)在習題講評的過程中,明確算律、算理、算法教學的重要價值,讓學生清楚掌握算律,采用符合算理的計算策略,構造有效的解題算法. (2)在布置給學生的作業(yè)中,使學生逐一體會換元法、待定系數(shù)法、構造法等解題方法,以及數(shù)形結合、差異分析、分類討論等解題策略,引導學生從及時訂正做起,反思平時習題,考試試題中的解題方法、錯解成因、錯解歸因使習題教學真正達成完成一道題即完成一類題的效果.

第三, 新高考試卷良好地反映了核心素養(yǎng)的試題形式,因此,在高三復習中應不忘核心素養(yǎng)的滲透. 具體而言,需要明確核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與外延,有意識地在教學中體現(xiàn)核心素養(yǎng). 以數(shù)學抽象素養(yǎng)為例,其主要內(nèi)涵是: 通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象,得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng)[5]. 在實際教學中往往容易將數(shù)學抽象“窄化”為對幾何圖形或空間形式的抽象,忽視了以代數(shù)為主的數(shù)量關系抽象,從而容易造成數(shù)學抽象與直觀想象兩個素養(yǎng)之間概念上的混淆. 所以,在實際教學當中,應明確核心素養(yǎng)的具體意義,進而有意識地在課堂小結或解題反思環(huán)節(jié)指出所涉及的數(shù)學素養(yǎng),使學生充分經(jīng)歷數(shù)學素養(yǎng)的應用價值,體會數(shù)學素養(yǎng)的實際意義.