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破解比較大小問題的三板斧

2023-08-05 01:18廣東省佛山市南海區(qū)石門中學(xué)528200熊向前
關(guān)鍵詞:三板斧代數(shù)式泰勒

廣東省佛山市南海區(qū)石門中學(xué)(528200) 熊向前

在全國卷的高考試題中,以冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等基本初等函數(shù)為載體,考查實(shí)數(shù)的大小比較問題頻頻出現(xiàn). 解決這類問題,除利用不等式的基本性質(zhì)和基本不等式以外,常用的方法還有代特殊值法、作差(商)法、中間值法、利用函數(shù)單調(diào)性法等. 而近兩年來,這類高考試題呈現(xiàn)出在高等數(shù)學(xué)背景下的命題趨勢,其思維量、運(yùn)算量在加大,綜合性更強(qiáng),以往的常規(guī)方法處理這類題目顯得捉襟見肘. 本文以近兩年的高考真題及模擬題為例,總結(jié)并歸納出破解這類問題的三板斧.

第一板斧 構(gòu)造函數(shù)

常見的構(gòu)造函數(shù)法有三類.

第一類: 構(gòu)造同一個(gè)函數(shù),利用單調(diào)性解決

若通過對要比較的幾個(gè)代數(shù)式進(jìn)行變形,可以使得它們在結(jié)構(gòu)上完全一樣,則可考慮構(gòu)造出這種相同結(jié)構(gòu)所對應(yīng)的函數(shù),使得要比較的數(shù)轉(zhuǎn)化成這個(gè)函數(shù)的不同自變量所對應(yīng)的函數(shù)值,利用該函數(shù)的單調(diào)性,只需比較這幾個(gè)自變量的大小即可.

解析根據(jù)a,b以及9m- 10 = 0 的結(jié)構(gòu)特征容易想到構(gòu)造函數(shù)f(x) =xm-x- 1 (8 ≤x≤10), 則f′(x) =mxm-1-1, 由9m= 10 得m= log910 >1, 則當(dāng)8 ≤x≤10 時(shí),f′(x) >0,所以f(x)在[8,10]上單調(diào)遞增,則f(10)>f(9)>f(8)即a>0 >b. 故選A.

評析根據(jù)代數(shù)式的特征合理構(gòu)建函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性,其中,對代數(shù)式變形后構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵. 在利用函數(shù)單調(diào)性分析函數(shù)值大小時(shí),可充分利用函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合地解決.

第二類: 構(gòu)造多個(gè)函數(shù),轉(zhuǎn)化成不同函數(shù)在某一區(qū)間上的大關(guān)系

若要比較的數(shù)無法變形成相同的結(jié)構(gòu),但式子中具有相同的量,此時(shí)可考慮將這個(gè)相同的量用變量替換,從而構(gòu)造出不同的函數(shù),根據(jù)要比較的幾個(gè)數(shù),給出函數(shù)的定義域,再對不同函數(shù)作差, 對差函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)分析, 得到差函數(shù)與0的大小關(guān)系, 從而得出不同函數(shù)在所給區(qū)間上的大小關(guān)系,通過賦值,得出要比較的數(shù)的大小關(guān)系.

評析例3、例4 中a,b,c的結(jié)構(gòu)具有很大的差別,無法將其變形成相同結(jié)構(gòu),所以考慮直接構(gòu)造多個(gè)函數(shù),通過比較幾個(gè)函數(shù)的大小來確定a,b,c的大小關(guān)系. 運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法時(shí)要注意一些細(xì)節(jié). 其中,根據(jù)所要比較的數(shù)給函數(shù)加一個(gè)定義域非常重要,且構(gòu)造出來的函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的取值最好為0,這樣可以使得求導(dǎo)后對導(dǎo)函數(shù)正負(fù)性的判斷變得容易,減少分類討論的次數(shù),從而減小運(yùn)算量.

第三類: 構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),數(shù)形結(jié)合地解決

對于已知兩個(gè)變量所對應(yīng)的等量關(guān)系,要比較這兩個(gè)變量的大小問題,可考慮將兩個(gè)變量移到等式的兩邊,若無法將兩邊化成統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)而構(gòu)造同一個(gè)函數(shù),則可考慮直接構(gòu)造出兩個(gè)不同的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化成“在已知兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相等的情況下,研究其自變量的大小”的問題.

例5(2023 年佛山一模) 若正實(shí)數(shù)x,y滿足xex-1=y(1+lny),則下列不等式中可能成立的是( )

A.1<x<yB.1<y<xC.x<y<1 D.y<x<1

解析設(shè)f(x) =xex-1,g(x) =x(1+lnx),則f(x) =g(y). 當(dāng)x= 1 時(shí),f(1) =g(1);當(dāng)x?= 1 時(shí)f(x)-g(x) =x[ex-1- (1+lnx)], 由ex≥x+ 1 及l(fā)nx≤x- 1 得ex-1-(1+lnx) >0,則f(x)-g(x) >0,即f(x) >g(x).通過對f(x)和g(x)求導(dǎo)容易分析其單調(diào)性,在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的函數(shù)圖像(如圖1 所示),結(jié)合函數(shù)圖像可知A C 正確.

圖1

例6(2021 年佛山二模)已知不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足x2-y= 4(log2y-log4x),則下列不等式中不可能成立的是( )

A.x<y<1 B.y<x<1 C.1<x<yD.1<y<x

解析由x2-y= 4(log2y-log4x)得x2+2log2x=y+4log2y,設(shè)f(x) =x2+2log2x,g(x) =x+4log2x,則f(x) =f(y).f(x) 和g(x) 均為(0,+∞) 上的增函數(shù), 且, 故h′(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞減, 又, 故存在x0∈(1,2)使得h′(x)=0,所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減, 又因?yàn)閔(1) = 0,h(2) = 0 所(0,1) 和(2,+∞) 上h(x)<0, 此時(shí)g(x)<f(x); 在(1,2) 上h(x) >0, 此時(shí)g(x)>f(x),在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的函數(shù)圖像(如圖2 所示),結(jié)合函數(shù)圖像可知,當(dāng)0<x<1 或x>2 時(shí),由f(x)=f(y)得x<y;當(dāng)1<x<2 時(shí),由f(x)=f(y)得x>y. 故選: C

圖2

評析通過例5、例6 我們可以發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律:

1、若函數(shù)f(x) 和g(x) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增, 且恒有f(x) >g(x)(或f(x)<g(x)), 若f(a) =g(b), 則有a<b(或a>b).

2、若函數(shù)f(x) 和g(x) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞減, 且恒有f(x) >g(x)(或f(x)<g(x)), 若f(a) =g(b), 則有a>b(或a<b).

第二板斧 運(yùn)用泰勒展開公式

評注泰勒展開公式的一大用處就是進(jìn)行數(shù)值估算,運(yùn)用泰勒展開公式,抓住了問題的本質(zhì),過程簡潔明了,解題效率大大提高. 了解泰勒展開公式的有關(guān)知識,則可以居高臨下地分析問題、解決問題.

第三板斧 運(yùn)用常見的函數(shù)型不等式

3.1 常見的對數(shù)型不等式

圖3

圖4

3.2 常見的指數(shù)型不等式

圖5

3.3 常見的三角函數(shù)型不等式

評析利用常見函數(shù)型不等式本質(zhì)上就是利用我們平時(shí)積累的不等式將要比較的指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等不易看出大小的超越函數(shù)值進(jìn)行放縮,用有理數(shù)表示其所在區(qū)間,從而能夠直觀的判斷其大小關(guān)系,化難為易,化隱性為顯性. 只要學(xué)生平時(shí)牢記這些常見的函數(shù)型不等式,就可以大大提高解決這類問題的速度.

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