南京市棲霞中學(xué)(210046) 劉建國 胡黨琴

一、問題背景

筆者在梳理近幾年的高考題中,以斜率為背景的定值定點問題在高考中層出不窮, 如2020 年新高考Ⅰ卷第22 題,2021 年新高考Ⅰ卷第21 題,2022 年新高考Ⅰ卷第21 題,2017年全國Ⅰ卷理科第20 題等等,這體現(xiàn)了高考“常考常新”的特點. 筆者在文獻[1]中闡述了橢圓與拋物線中相交線的中點弦的定點問題,其中結(jié)論6 中,過橢圓上一定點A引兩條弦AB,AC,當直線AB,AC的斜率之積或之和為定值時,發(fā)現(xiàn)直線BC過定點. 基于結(jié)論6,深入探究有關(guān)橢圓內(nèi)接三角形的定值定點問題, 發(fā)現(xiàn)在橢圓的內(nèi)接ΔABC中, 若點A為頂點,ΔABC的三邊斜率滿足一定的關(guān)系時,直線BC過定點,并且這個定點與ΔABC的三邊斜率滿足的等式關(guān)系具有等價性,揭示了圓錐曲線中定值定點問題的內(nèi)在統(tǒng)一性,進一步豐富了此類問題的內(nèi)涵.

二、結(jié)論探究

結(jié)論1已知橢圓A為橢圓C的右頂點, 過點A作直線AM,AN交C于M,N兩點, 設(shè)直線MN,AM,AN的斜率分別為k,k1,k2,則k(k1+k2) =λ(定值) 的充要條件為直線MN過定點.

圖1

圖2

圖3

三、類比遷移

在上述結(jié)論中,得到了兩類橢圓內(nèi)接三角形三邊斜率關(guān)系(定值)與直線定點問題之間充要條件,在證明過程中,通過構(gòu)造新的坐標系,將原有的橢圓方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程,通過韋達定理構(gòu)造斜率之積與斜率之和的關(guān)系,在證明過程中不難發(fā)現(xiàn),斜率之和與斜率之積都是關(guān)于直線方程中的有關(guān)參數(shù)問題,同樣的對于雙曲線與拋物線中也有類似的結(jié)論.如下所示.

圖4

圖5

四、結(jié)論應(yīng)用

基于上述橢圓有關(guān)的內(nèi)接三角形的三邊斜率關(guān)系的等式關(guān)系有關(guān)直線定點問題的等價性,在一些高考模擬題中均有體現(xiàn),其本源是來自與高考真題的背景下進一步對問題進行深入研究后的結(jié)果,以具體曲線為載體,將相應(yīng)的條件具體化(賦值)呈現(xiàn)在解題者面前. 筆者羅列了以下兩道高考模擬題,供有興趣的讀者進行對比與解答.

五、結(jié)束語

圓錐曲線中基于斜率關(guān)系的定點定值問題背景下進行命題層出不窮,在一些高考試題與各地模擬試題中時常出現(xiàn),背景揭示了圓錐曲線中定值定點問題的內(nèi)在的統(tǒng)一性,問題呈現(xiàn)的形式卻是千變?nèi)f化(如文獻[2]). 因此在平時復(fù)習(xí)備考過程中,教師應(yīng)注重對此類問題的探究,在問題的基礎(chǔ)上拓寬問題的深度與廣度,同時也需要教師站在一定的高度審視此類問題的命題背景,只有對問題進行深入探究,才能幫助學(xué)生更好的把握問題的本質(zhì),在復(fù)習(xí)過程中幫助學(xué)生跳出題海,充分拓寬學(xué)生的思維,避免機械刷題.