殷華 孫瑞 張維國(guó) 鞏子坤

摘 要：繼提出“同類(lèi)量的比”與“不同類(lèi)量的比”學(xué)習(xí)路徑之后，積極探尋新的路徑，帶領(lǐng)學(xué)生逐步脫離具體物體“量”的屬性，抽象出“數(shù)”的屬性，實(shí)現(xiàn)從“量”到“數(shù)”的跨越，從而深化對(duì)比概念的理解。具體而言，溝通比與除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，凸顯比的本質(zhì)；依托實(shí)例體會(huì)引入比的必要性，感受比的價(jià)值；經(jīng)歷從“量”的比到“數(shù)”的比的抽象過(guò)程，深化比的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；比的認(rèn)識(shí)；比的本質(zhì)；概念深化

本文系浙江省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃課題“基于認(rèn)知發(fā)展模型的義務(wù)教育教科書(shū)編寫(xiě)質(zhì)量提升研究”（編號(hào)：23NDJC265YB）、浙江省高校重大人文社科攻關(guān)計(jì)劃資助項(xiàng)目“建設(shè)高質(zhì)量教育體系背景下義務(wù)教育教科書(shū)編寫(xiě)質(zhì)量提升路徑研究”（編號(hào)：2023GH005）的階段性研究成果。鞏子坤為本文通訊作者。

在“同類(lèi)量的比”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生理解“比表示兩個(gè)數(shù)量之間的一種倍數(shù)關(guān)系，比可以用分?jǐn)?shù)的形式表示，兩個(gè)數(shù)的比也可以寫(xiě)成兩個(gè)數(shù)相除的形式”，初步感知比與除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。在“不同類(lèi)量的比”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷半直觀、半抽象的過(guò)程，進(jìn)一步理解比的內(nèi)涵，了解不同類(lèi)量的比，要去掉“名”，關(guān)注“數(shù)”，開(kāi)始勾連貫通比與除法、分?jǐn)?shù)。通過(guò)兩堂課的學(xué)習(xí)，學(xué)生已初步建立三者之間的聯(lián)系。

正如張奠宙教授所說(shuō)，“返璞歸真，正本清源，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)基本原理”［1］。比的本質(zhì)如何學(xué)？不僅要幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“量”的比轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的比，更應(yīng)當(dāng)在引導(dǎo)學(xué)生溝通比與除法、分?jǐn)?shù)三者關(guān)系的基礎(chǔ)上，給予學(xué)生更多的時(shí)間去感悟、體會(huì)“比”概念的意義和價(jià)值。盡管學(xué)生通過(guò)前兩堂課的學(xué)習(xí)，已有所感悟，但對(duì)“比”本質(zhì)的深層次理解仍不深刻。例如，當(dāng)被問(wèn)及“什么是比？”“學(xué)習(xí)了除法和分?jǐn)?shù)之后，為什么還要學(xué)習(xí)比？”“同類(lèi)量的比與不同類(lèi)量的比之間有什么聯(lián)系與區(qū)別？”等問(wèn)題時(shí)，學(xué)生還是無(wú)言以對(duì)。

對(duì)六年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，全面深入地理解和掌握比的概念絕非易事。這不僅依賴于教師的循序善誘，也受教材編排的影響。分析我國(guó)多版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)它們?cè)凇皽贤ū扰c除法、分?jǐn)?shù)三者關(guān)系”“深挖比的內(nèi)涵”上著墨不多，這在一定程度上給教學(xué)帶來(lái)了挑戰(zhàn)。

如何幫助學(xué)生建立比與除法、分?jǐn)?shù)三者之間的聯(lián)系，達(dá)成對(duì)比的本質(zhì)再認(rèn)識(shí)，是一線教師不斷探索和思考的方向。為此，我們?cè)凇巴?lèi)量的比”與“不同類(lèi)量的比”學(xué)習(xí)路徑之后，積極探尋新的路徑，以期在培養(yǎng)學(xué)生對(duì)比的本質(zhì)再認(rèn)識(shí)的同時(shí)，也為今后一線教師關(guān)于“比的概念”教學(xué)提供參考。

一、研究設(shè)計(jì)

研究對(duì)象是深圳市一所普通小學(xué)六年級(jí)甲、乙兩個(gè)平行班（與開(kāi)展“同類(lèi)量的比”和“不同類(lèi)量的比”教學(xué)實(shí)驗(yàn)的班級(jí)相同）。由教師Y繼續(xù)授課。研究方法與流程同“同類(lèi)量的比”和“不同類(lèi)量的比”教學(xué)實(shí)驗(yàn)，本文不再贅述。

（一） 問(wèn)卷編制

為檢驗(yàn)學(xué)生在經(jīng)過(guò)三堂課（《同類(lèi)量的比》《不同類(lèi)量的比》《比的本質(zhì)再認(rèn)識(shí)》）的學(xué)習(xí)之后，是否達(dá)成了三個(gè)進(jìn)階水平，設(shè)計(jì)后測(cè)問(wèn)卷。具體內(nèi)容如下：

水平一：概念定義。具體含義：理解同類(lèi)量比和不同類(lèi)量比的意義，感受學(xué)習(xí)比的必要性。指標(biāo)描述：理解比的意義；初步感受學(xué)習(xí)比的必要性；能解決比的實(shí)際問(wèn)題。問(wèn)卷題目：跑48 km大約需要6小時(shí)，路程與時(shí)間的比是（? ），比值是（? ），這個(gè)比值表示（? ）。

水平二：概念延展。具體含義：厘清比、分?jǐn)?shù)、除法三者之間的關(guān)系，凸顯學(xué)習(xí)比的必要性。指標(biāo)描述：結(jié)合生活實(shí)際，能建立比與除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別，感受三者的內(nèi)在關(guān)系。問(wèn)卷題目：跑48 km大約需要6小時(shí)，請(qǐng)用比、除法和分?jǐn)?shù)表示路程與時(shí)間的關(guān)系，簡(jiǎn)單說(shuō)說(shuō)三者的聯(lián)系與區(qū)別。

水平三：概念深化。具體含義：實(shí)現(xiàn)從“量”到“數(shù)”的跨越，引出兩個(gè)無(wú)量綱的數(shù)的比。指標(biāo)描述：能探索解決探究性、開(kāi)放性的關(guān)于比的非常規(guī)問(wèn)題，體現(xiàn)比的獨(dú)特性。問(wèn)卷題目：試著說(shuō)一個(gè)能用“48∶6”表示的生活情境。

（二）計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)

該問(wèn)卷總分9分，各水平題目評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：

水平一：每空計(jì)1分，回答錯(cuò)誤或者沒(méi)有回答計(jì)0分；

水平二：描述完整清晰計(jì)3分，簡(jiǎn)單描述計(jì)2分，只寫(xiě)關(guān)系式計(jì)1分，回答錯(cuò)誤或者沒(méi)有回答計(jì)0分；

水平三：描述清晰完整計(jì)3分，簡(jiǎn)單描述計(jì)2分，描述不完整計(jì)1分，回答錯(cuò)誤或者沒(méi)有回答計(jì)0分。

二、研究過(guò)程與分析

（一）課前思考

在初構(gòu)學(xué)習(xí)路徑前，基于相關(guān)文獻(xiàn)、教材與學(xué)情分析，形成幾點(diǎn)思考：

1.精選問(wèn)題情境，構(gòu)建比與除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系

前兩條學(xué)習(xí)路徑（同類(lèi)量的比、不同類(lèi)量的比）均以“運(yùn)動(dòng)會(huì)”情境為依托展開(kāi)教學(xué)，本條學(xué)習(xí)路徑是否也可以一以貫之，在“運(yùn)動(dòng)會(huì)”這個(gè)大背景下創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，將比與除法、分?jǐn)?shù)建立關(guān)系，從而更好地引領(lǐng)學(xué)生感悟比的本質(zhì)？北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)配套的《教師用書(shū)》中指出，比的意義由除法發(fā)展而來(lái)，與除法、分?jǐn)?shù)既有聯(lián)系又有區(qū)別；“比”強(qiáng)調(diào)的是量與量之間的倍比關(guān)系的直接描述，而除法、分?jǐn)?shù)更多的是強(qiáng)調(diào)兩個(gè)量之間的一種運(yùn)算關(guān)系，也會(huì)關(guān)注運(yùn)算的結(jié)果。因此，選取怎樣的問(wèn)題情境，幫助學(xué)生自然而然地將比與除法、分?jǐn)?shù)建立關(guān)系，是促使學(xué)生感受三者聯(lián)系與區(qū)別的關(guān)鍵。

2.優(yōu)選生活實(shí)例，感受比的不可替代性

前兩條學(xué)習(xí)路徑都選取了一些生活實(shí)例幫助學(xué)生感受學(xué)習(xí)比的必要性，但學(xué)生還是存在“有些問(wèn)題完全能用除法解決，為什么還要學(xué)習(xí)比”的困擾。比的哪些應(yīng)用是除法和分?jǐn)?shù)無(wú)法取代的？生活中又有哪些典型素材能讓學(xué)生充分體會(huì)學(xué)習(xí)比的必要性？本條學(xué)習(xí)路徑應(yīng)選取更具典型性的生活實(shí)例，進(jìn)一步幫助學(xué)生感受比的不可替代性。

3.巧選學(xué)習(xí)方式，深度理解比的本質(zhì)

張奠宙教授認(rèn)為，比的概念有一個(gè)發(fā)展過(guò)程：最先是同類(lèi)量的簡(jiǎn)單倍數(shù)比較，然后是同類(lèi)量的復(fù)雜比，再次是不同類(lèi)量的比較，最后則是從“量”到“數(shù)”引出兩個(gè)無(wú)量綱的數(shù)的比［2］。因此，從“量”到“數(shù)”的比是一個(gè)多層抽象和高度概括的過(guò)程，需要經(jīng)歷從“狹義”到“廣義”的發(fā)展過(guò)程。選擇適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生深入淺出地體驗(yàn)比的抽象過(guò)程，對(duì)學(xué)生深刻理解比的本質(zhì)尤為重要。

（二）學(xué)習(xí)路徑C1

1.任務(wù)介紹

任務(wù)1的目標(biāo)：鞏固復(fù)習(xí)，簡(jiǎn)述比的含義。具體內(nèi)容是：回顧所學(xué)，用自己的語(yǔ)言簡(jiǎn)單描述對(duì)比的認(rèn)識(shí)。教師通過(guò)詢問(wèn)學(xué)生：前兩堂課我們都在學(xué)習(xí)比的知識(shí)，你能用自己的語(yǔ)言簡(jiǎn)單描述一下什么是比嗎？以此勾起學(xué)生對(duì)比的回憶，起到鞏固復(fù)習(xí)的效果。

任務(wù)2的目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)情境，溝通比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系。

子任務(wù)1：結(jié)合情境提出問(wèn)題，選擇比、除法或分?jǐn)?shù)的形式列式解答。教師延續(xù)前兩堂課的運(yùn)動(dòng)會(huì)情境：“小輝分別參加了50米和200米跑步比賽，觀察表1，用你喜歡的方式描述小輝在哪項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中發(fā)揮得更好？”

學(xué)生大致給出三種做法：

①50÷8=6.25（米/秒），200÷40=5（米/秒）。

②50∶8=50÷8，200∶4=200÷40。

③50∶8=50÷8=508，200∶4=200÷40=2004。

觀察做法③中的兩個(gè)等式，它們體現(xiàn)了比與除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，這也成為教師帶領(lǐng)學(xué)生溝通三者關(guān)系的突破口。

子任務(wù)2：觀察等式和表格，分析討論三者的聯(lián)系與區(qū)別?；趯W(xué)生在前兩堂課中的表現(xiàn)，認(rèn)為學(xué)生在比與除法、分?jǐn)?shù)三者關(guān)系的描述上存在一定難度。于是，教師在本堂課的學(xué)習(xí)單中增添了“比”一欄內(nèi)容（見(jiàn)表2）。利用等式和表格，幫助學(xué)生有方向地填寫(xiě)“除法”與“分?jǐn)?shù)”中的內(nèi)容，分析得到三者之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而凸顯比的內(nèi)涵。

以下是課堂實(shí)錄片段：

師 觀察黑板上的關(guān)系式50∶8=50÷8=508，小組討論，每個(gè)表達(dá)式中各部分的名稱(chēng)是什么？

生 “50∶8”中，“50”是比的前項(xiàng)，“：”是比號(hào)，“8”是比的后項(xiàng)，“508”是比值。

生 “50÷8”中，“50”表示被除數(shù)，“8”表示除數(shù)，“508”是商。

生 “508”中，“50”是分子，“8”是分母，“508”是一個(gè)分?jǐn)?shù)。

師 既然三個(gè)表達(dá)式能用“=”號(hào)相連，它們之間肯定存在一定的關(guān)系。現(xiàn)在請(qǐng)大家拿出課堂學(xué)習(xí)單，四人小組再次合作，可以橫著看，也可以豎著看，找一找比與除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別。

（小組討論后全班展示交流，圖1、圖2分別是學(xué)生A和學(xué)生B的做法。）

師 這兩位同學(xué)的做法，大家覺(jué)得怎么樣？你們覺(jué)得哪個(gè)更合理？

生 我覺(jué)得B的做法更合理，因?yàn)楸鹊哪且恍袑?xiě)的是各部分的名稱(chēng)，除法和分?jǐn)?shù)的兩行也應(yīng)該寫(xiě)各部分的名稱(chēng)。

生 我也覺(jué)得B的做法合理，因?yàn)槲覀兛梢灾辣鹊那绊?xiàng)就相當(dāng)于除法中的被除數(shù)，以此類(lèi)推，用各部分的名稱(chēng)更能表達(dá)三者的關(guān)系。

師 所以B的寫(xiě)法更能概括出三者之間的關(guān)系。并且，同學(xué)們還發(fā)現(xiàn)“比”表示的是一種關(guān)系，“除法”其實(shí)是在平均分基礎(chǔ)上的一種運(yùn)算，而“分?jǐn)?shù)”通常表示一種數(shù)（完善后的課堂學(xué)習(xí)單見(jiàn)表3）。因此，比與除法、分?jǐn)?shù)三者之間既有相通之處，也有各自的優(yōu)勢(shì)。

任務(wù)3的目標(biāo)：借助生活實(shí)例，感受學(xué)習(xí)比的必要性。具體內(nèi)容是：運(yùn)動(dòng)會(huì)中，老師給每一位運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備了一瓶質(zhì)量為100 g的混合果汁，包裝上的“營(yíng)養(yǎng)成分表”中顯示，胡蘿卜45 g、黃瓜汁30 g、蘋(píng)果汁25 g。請(qǐng)選擇一種合適的方式表示出營(yíng)養(yǎng)表中三種成分之間的關(guān)系。學(xué)生寫(xiě)出45∶30∶25。教師引導(dǎo)思考：為什么用比的形式表示更合適？討論并小結(jié)：比的形式既能表示量與量之間的關(guān)系，又能具體看出每一個(gè)量的多少;而除法、分?jǐn)?shù)更多的是強(qiáng)調(diào)量與量之間的一種運(yùn)算關(guān)系或運(yùn)算的結(jié)果。教師通過(guò)這一生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)學(xué)習(xí)比的必要性。

任務(wù)4的目標(biāo)：梳理知識(shí)框架，深度理解比的本質(zhì)。具體內(nèi)容是：梳理三堂課的知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)不同類(lèi)型樣例的勾連，實(shí)現(xiàn)比的抽象。為引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三堂課的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，從而勾連“同類(lèi)量的比”與“不同類(lèi)量的比”，實(shí)現(xiàn)比從“量”到“數(shù)”的抽象，教師借助情境不同但數(shù)字相同的比，請(qǐng)學(xué)生分別回答問(wèn)題：（1）我有4支鉛筆，你有3支鉛筆，求兩個(gè)人鉛筆支數(shù)的比？（2）4顆智慧星換3支鉛筆，求智慧星數(shù)量與鉛筆支數(shù)的比？在解答過(guò)程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)不論是同類(lèi)量之比（4支∶3支）還是非同類(lèi)量之比（4顆∶3支），去掉單位后都可以抽象為數(shù)的比（4∶3），從而感受到雖然在結(jié)果中前者無(wú)量綱，后者有量綱，但最終都是將“量”的比抽象為“數(shù)”的比。

2.問(wèn)題分析

（1）任務(wù)1中產(chǎn)生的復(fù)習(xí)效果不明顯

雖然教師勾起了學(xué)生對(duì)比的回憶，但有些學(xué)生只能淺層次地描述一兩句，或簡(jiǎn)單地舉一個(gè)用比解決的問(wèn)題。這都沒(méi)有涉及同類(lèi)量比和不同類(lèi)量比的聯(lián)系，使得整體復(fù)習(xí)效果仍不夠顯著。

（2）任務(wù)2中的情境容易限制學(xué)生的思維

大部分學(xué)生會(huì)利用數(shù)量關(guān)系式“路程÷時(shí)間=速度”來(lái)解決問(wèn)題，而寫(xiě)比和分?jǐn)?shù)形式的人數(shù)并不多，其原因可能在于該情境限制了學(xué)生的思維。并且，該任務(wù)要求學(xué)生厘清三者的區(qū)別，這對(duì)學(xué)生而言存在一定的難度，不利于后續(xù)教學(xué)的開(kāi)展。

（3）任務(wù)3中選取的實(shí)例不夠典型，無(wú)法體現(xiàn)學(xué)習(xí)比的必要性

此任務(wù)的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生感悟比既能表示多個(gè)量之間的關(guān)系，又能具體顯示每一個(gè)量的多少。但在實(shí)際操作時(shí)，由于學(xué)生認(rèn)知中對(duì)除法的深刻印象和廣泛應(yīng)用，使得他們首先會(huì)想到用除法分別表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，如用45÷30、30÷25、45÷25分別描述三個(gè)量之間的關(guān)系。此外，三個(gè)量之間的比對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是較特殊的情況，不利于學(xué)生從中體會(huì)比的必要性。

（4）任務(wù)4中引發(fā)的學(xué)習(xí)方式不夠開(kāi)放

教師一直在試圖牽引學(xué)生搭建比的知識(shí)框架。在從“量”到“數(shù)”的比這一抽象過(guò)程中，教師參與過(guò)多，學(xué)生只能被動(dòng)接受所學(xué)知識(shí)，并沒(méi)有很好地體現(xiàn)“以學(xué)生為中心”的理念，也不利于學(xué)生對(duì)比本質(zhì)的理解。

3.修改建議

（1）創(chuàng)設(shè)情境，進(jìn)一步建立比與除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系

刪除任務(wù)1中的復(fù)習(xí)活動(dòng)，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地引出情境。

對(duì)任務(wù)2，改變之前“小輝分別參加了50米和200米跑步比賽”的情境，創(chuàng)設(shè)“學(xué)校秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中，老師給小輝班的每一位運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備了一瓶混合果汁，每瓶果汁里有蘋(píng)果汁20 g、橙汁40 g。請(qǐng)用除法或者比的形式表示兩種果汁之間的關(guān)系”這一情境。這里只提到了“用除法或者比的形式表示兩種果汁之間的關(guān)系”，并沒(méi)有提到用分?jǐn)?shù)的形式表示。原因在于寫(xiě)除法算式時(shí)，學(xué)生有得商的習(xí)慣，必定會(huì)將分?jǐn)?shù)與除法建立聯(lián)系，這就可以將三者之間的關(guān)系溝通起來(lái)。同時(shí)，對(duì)分?jǐn)?shù)是一種數(shù)的感受更明顯。

在觀察a∶b=a÷b=ab（b≠0）形式的等式后，利用表格對(duì)三者的關(guān)系進(jìn)行整體的對(duì)比分析，有助于學(xué)生深挖比的內(nèi)涵。同時(shí)，建議在任務(wù)2中先建立三者之間的聯(lián)系，等任務(wù)3完成之后再補(bǔ)充三者之間的區(qū)別。

（2）借助實(shí)例，感受學(xué)習(xí)比的必要性

教師應(yīng)多舉一些類(lèi)似于“飲料配比”的生活實(shí)例，讓學(xué)生充分感受比在生活中的存在價(jià)值。如和面時(shí)水與面的比、洗衣服時(shí)水與洗衣液的比，等等。

（3）提出問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)比的抽象過(guò)程

教師任意給出兩個(gè)數(shù)的比，如5∶4，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活體驗(yàn)，試著說(shuō)一個(gè)用“5∶4”表示的情境。學(xué)生會(huì)賦予“5∶4”很多不同的情境，其中會(huì)出現(xiàn)同類(lèi)量的比，也會(huì)有不同類(lèi)量的比。在舉了大量的情境之后，再引導(dǎo)學(xué)生逆轉(zhuǎn)思維拋開(kāi)情境，感受脫離具體的“量”抽象出“數(shù)”的屬性的過(guò)程。這樣的設(shè)計(jì)，使得課堂更加開(kāi)放，也有助于學(xué)生在自由探索中深化對(duì)比本質(zhì)的理解。

（三）學(xué)習(xí)路徑C2

學(xué)習(xí)路徑C2的最大特點(diǎn)是巧用材料，驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入學(xué)習(xí)。每個(gè)環(huán)節(jié)都給學(xué)生提供不同形式的“腳手架”，借助情境、等式、實(shí)例、問(wèn)題等載體，讓學(xué)生有理可依、有話可說(shuō)，幫助學(xué)生逐層體會(huì)比的本質(zhì)。

1.任務(wù)介紹

任務(wù)1的目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)情境，溝通比與除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。具體內(nèi)容是：創(chuàng)設(shè)情境，用除法或比表示果汁中兩種成分的關(guān)系，并說(shuō)明理由。

任務(wù)2的目標(biāo)：借助等式，溝通比與除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。具體內(nèi)容是：借助等式和表格，梳理三者之間的聯(lián)系。

任務(wù)1和任務(wù)2依托問(wèn)題情境“學(xué)校秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中，老師給小輝班的每一位運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備了一瓶混合果汁，每瓶果汁里有蘋(píng)果汁20 g、橙汁40 g。請(qǐng)用除法或者比的形式表示兩種果汁之間的關(guān)系”展開(kāi)教學(xué)，學(xué)生可以將前兩堂課對(duì)比的認(rèn)識(shí)重新加以梳理，借助等式20∶40=20÷40=12，建立比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，初步感受比的不同之處。

任務(wù)3的目標(biāo)：巧取實(shí)例，體會(huì)學(xué)習(xí)比的必要性。子任務(wù)1：呈現(xiàn)生活中兩個(gè)或多個(gè)量之間比的實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)學(xué)習(xí)比的必要性。子任務(wù)2：補(bǔ)充比與除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別，感悟比的不可替代性。“比”這一概念的獨(dú)特性體現(xiàn)在哪里？

“兩個(gè)數(shù)相除又叫作兩個(gè)數(shù)的比”這一說(shuō)法不能全面揭示引入“比”概念的獨(dú)特價(jià)值，即區(qū)別于“除法”的本質(zhì)特征。也許正是源于這一問(wèn)題的困擾，學(xué)生不愿意承認(rèn)“兩個(gè)數(shù)相除又叫作兩個(gè)數(shù)的比”。因此，子任務(wù)1中，教師為學(xué)生提供了大量“比”的素材，這些素材都在不斷強(qiáng)調(diào)比的意義，以此突出“除法”之外的特定內(nèi)涵。學(xué)生通過(guò)接觸如此豐富的貼近自己生活的實(shí)例，感受到比不同于除法之處，感受到它的不可代替性，即比能更清晰地表示兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。如：做雞蛋羹時(shí)雞蛋和水的比是1∶1；做面包時(shí)，高筋面粉與牛奶的比是1∶5；做饅頭時(shí)，水、面粉和酵母粉的比是100∶50∶1；洗衣服時(shí)，洗衣液與水的比是1∶20到1∶30；家庭收入與花銷(xiāo)的比是3∶1。而在子任務(wù)2中，教師將之前任務(wù)中沒(méi)有完成的“比與除法、分?jǐn)?shù)之間的區(qū)別”放在此處解決，好處有兩點(diǎn)：一是子任務(wù)1中大量的實(shí)例讓學(xué)生對(duì)比的意義有了進(jìn)一步的體會(huì)，他們對(duì)“比表示一種關(guān)系”的理解更加深刻；二是通過(guò)子任務(wù)1的學(xué)習(xí)，學(xué)生感受到“除法也有表示兩者關(guān)系的含義，但更多的是一種運(yùn)算”，而“分?jǐn)?shù)通常表示一種數(shù)”。

任務(wù)4的目標(biāo)：依托問(wèn)題，感受從量的比抽象為數(shù)的比的過(guò)程，理解比的本質(zhì)。子任務(wù)1：試著說(shuō)一個(gè)能用“4∶3”表示的生活情境。子任務(wù)2：拋開(kāi)情境，感受從“量”到“數(shù)”的比的抽象過(guò)程。“比”的概念是在抽象的數(shù)學(xué)理論和眾多實(shí)例基礎(chǔ)上通過(guò)層級(jí)抽象所得到的。各個(gè)版本教材盡管在處理方式上有所不同，但都是通過(guò)設(shè)計(jì)豐富的情境，如國(guó)旗的長(zhǎng)與寬的關(guān)系、路程與時(shí)間的關(guān)系等，在引導(dǎo)學(xué)生充分感知和體會(huì)的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生抽象出比的本質(zhì)是“數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系”。該任務(wù)試圖在此基礎(chǔ)上對(duì)比的本質(zhì)做進(jìn)一步抽象與提升，讓學(xué)生意識(shí)到“數(shù)量之間的比本質(zhì)上就是數(shù)之間的比”。這一環(huán)節(jié)利用“試著說(shuō)一個(gè)能用‘4∶3表示的生活情境”這一問(wèn)題，讓學(xué)生發(fā)揮自己的想象力靈活舉例。學(xué)生有的提出“同類(lèi)量的比”的例子，有的提出“不同類(lèi)量的比”的例子。學(xué)生暢所欲言后會(huì)發(fā)現(xiàn)，拋開(kāi)情境，其實(shí)都是在描述4與3這兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，幫助學(xué)生理解“量”之間的比本質(zhì)上就是“數(shù)”之間的比。

以下是課堂實(shí)錄片段：

師 你能試著說(shuō)一個(gè)用“20∶40”表示的情境嗎？

生 長(zhǎng)方形的寬和長(zhǎng)的比是20∶40。它們是兩個(gè)長(zhǎng)度之間的比，是同類(lèi)量的比。

生 路程與時(shí)間的比是20∶40。它們是不同類(lèi)量的比，兩個(gè)不同類(lèi)量的比產(chǎn)生了一個(gè)新的量——速度。

生 20個(gè)正方形與40個(gè)正方形的比是20∶40。

師 同樣是20∶40，既可以描述同類(lèi)量的倍數(shù)關(guān)系，也可以描述非同類(lèi)量的倍數(shù)關(guān)系，只不過(guò)情境不同。拋開(kāi)情境，其實(shí)都是在描述20與40這兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系。所以，“量”之間的比本質(zhì)上就是“數(shù)”之間的比。

2.教學(xué)效果

通過(guò)對(duì)甲、乙班的后測(cè)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到后測(cè)中各個(gè)題目的平均正確率（見(jiàn)表4）。

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，乙班學(xué)生在各個(gè)題目上的正確率均優(yōu)于甲班。分別對(duì)兩班學(xué)生的3道小題得分進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果表明，兩班學(xué)生在第1題上不存在顯著性差異（t=－5.620，p=0.372），在第2題上存在顯著性差異（t=－2.147，p<0.05），在第3題上存在顯著性差異（t=－3.477，p<0.01）。

盡管在第1題上兩班學(xué)生不存在顯著性差異，但結(jié)合學(xué)生的課堂表現(xiàn)以及教師的執(zhí)教感受，仍能認(rèn)為乙班學(xué)生對(duì)比的意義理解更加深刻?？梢?jiàn)，經(jīng)過(guò)兩輪教學(xué)實(shí)施對(duì)比發(fā)現(xiàn)，采用優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑C2相對(duì)于學(xué)習(xí)路徑C1的效果更好。學(xué)生不僅能更完整清晰地描述比相對(duì)于除法、分?jǐn)?shù)的不可替代性，還能深刻理解比的價(jià)值和內(nèi)涵，為后續(xù)正比例的學(xué)習(xí)做好充分準(zhǔn)備。

三、研究結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

“比的本質(zhì)再認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)，在于幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“量”的比到“數(shù)”的比的抽象，并在溝通比與除法、分?jǐn)?shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上，體會(huì)“比”這一概念的意義和價(jià)值。為此，研究通過(guò)三次研討、兩次教學(xué)，最終得到完善的學(xué)習(xí)路徑，主要分為三步走：（1）溝通聯(lián)系，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，用除法或比的形式表示果汁中兩種成分的關(guān)系，將比與除法、分?jǐn)?shù)三者進(jìn)行勾連，借助等式與表格，梳理三者之間的聯(lián)系，凸顯比的本質(zhì)；（2）感受價(jià)值，借助貼近學(xué)生生活的大量實(shí)例，如洗衣時(shí)洗衣液與水的比、家庭收入與花銷(xiāo)的比等，體會(huì)比的獨(dú)特性與不可替代性，感受比的價(jià)值；（3）深化本質(zhì)，依托問(wèn)題“試著說(shuō)一個(gè)用‘20∶40表示的情境”，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到“量之間的比本質(zhì)上就是數(shù)之間的比”，經(jīng)歷從量的比抽象為數(shù)的比的過(guò)程，深化比的本質(zhì)。

同時(shí)，后測(cè)表明，乙班學(xué)生在三個(gè)水平上的得分均高于甲班學(xué)生，尤其是“概念深化”水平。由此表明：優(yōu)化后的學(xué)習(xí)路徑，有助于加深學(xué)生對(duì)比概念本質(zhì)的理解，深刻建立起比與除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。但就部分學(xué)生的表現(xiàn)仍能看出，他們對(duì)三者之間聯(lián)系的理解存在困難。至于這個(gè)知識(shí)點(diǎn)該怎樣處理更利于學(xué)生深化理解比的本質(zhì)，期待進(jìn)一步的研究來(lái)檢驗(yàn)。

（二）建議

教材修訂時(shí)，為了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)相關(guān)概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，可以增加一個(gè)小問(wèn)題：“想一想，比與除法、分?jǐn)?shù)有什么關(guān)系？與同伴交流。”其目的在于促使學(xué)生建立三者之間的關(guān)系。這個(gè)問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，但要厘清比與除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是一個(gè)難點(diǎn)。因此，教材可以補(bǔ)充合適的情境，提出“比的前項(xiàng)、后項(xiàng)和比值分別相當(dāng)于除法算式和分?jǐn)?shù)中的什么？比的后項(xiàng)可以是0嗎？”等具體問(wèn)題，以此幫助學(xué)生更好地開(kāi)展學(xué)習(xí)。

教師教學(xué)時(shí)，要厘清比概念的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，搭建比概念的整體架構(gòu)（從理解比的概念到延展比的內(nèi)涵，再到深化比的本質(zhì)）。此外，比的概念教學(xué)，需要從比的產(chǎn)生、比的應(yīng)用、比例等更高的層次出發(fā)，設(shè)計(jì)一系列有梯度的教學(xué)活動(dòng)，為學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展著想。

學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，要注重知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程。對(duì)“比”的概念建立起從感性到理性的認(rèn)識(shí)，要有足夠的時(shí)間和空間去觀察、思辨和探究，從而建構(gòu)對(duì)比的概念的整體認(rèn)知。

參考文獻(xiàn)：

［1］［2］ 張奠宙.返璞歸真 正本清源——“比”不能等同于除法［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2015（3）：4－8+1.