李寧寧 劉立毅

(山東省德州市第一中學(xué))

兩根平行導(dǎo)軌置于水平面或斜面上,處于垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,兩個(gè)金屬桿垂直放在導(dǎo)軌上切割磁感線(xiàn),我們稱(chēng)此類(lèi)問(wèn)題為雙桿問(wèn)題。下面將此類(lèi)問(wèn)題的三種模型進(jìn)行歸納總結(jié),供參考。

一、導(dǎo)軌等間距,一桿有初速度

圖1

圖2

圖3

【例1】(2022·遼寧卷·15)如圖4所示,兩平行光滑長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌水平放置,間距為L(zhǎng),abcd區(qū)域有勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向豎直向上。初始時(shí)刻,磁場(chǎng)外的細(xì)金屬桿M以初速度v0向右運(yùn)動(dòng),磁場(chǎng)內(nèi)的細(xì)金屬桿N處于靜止?fàn)顟B(tài)。兩金屬桿與導(dǎo)軌接觸良好且運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌垂直。兩桿的質(zhì)量均為m,在導(dǎo)軌間的電阻均為R,感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)及導(dǎo)軌的電阻忽略不計(jì)。

圖4

(1)求M剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)受到的安培力F的大小和方向;

(3)初始時(shí)刻,若N到cd的距離與第(2)問(wèn)初始時(shí)刻的相同、到ab的距離為kx(k>1),求M出磁場(chǎng)后不與N相撞條件下k的取值范圍。

圖5

二、導(dǎo)軌等間距 一桿受外力

圖6

圖7

圖8

【例2】如圖9所示,水平放置的平行粗糙金屬導(dǎo)軌間距為L(zhǎng),導(dǎo)軌處在豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,兩個(gè)相同的金屬棒ab、cd垂直導(dǎo)軌平行放置,與導(dǎo)軌始終接觸良好,每個(gè)金屬棒質(zhì)量均為m,接入電路的電阻均為R,兩個(gè)金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ,重力加速度為g,開(kāi)始時(shí)cd棒鎖定在導(dǎo)軌上,對(duì)ab棒施加水平向右的恒定拉力F1=3μmg,棒ab前進(jìn)的距離為d時(shí)速度達(dá)到最大值,此時(shí)將恒力大小變?yōu)镕2=2μmg,方向不變,同時(shí)解除對(duì)棒cd的鎖定,再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間金屬棒cd做勻速運(yùn)動(dòng)。導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)。求：

圖9

(1)棒ab的最大速度v的大小;

(2)棒ab從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最大速度的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱Qab和安培力做的功W安;

(3)棒ab和cd勻速運(yùn)動(dòng)的速度v1和v2的大小;

(4)棒cd勻速運(yùn)動(dòng)后經(jīng)時(shí)間t,回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q焦2和總熱量Q總。

圖10

【評(píng)析】第(2)問(wèn),解題關(guān)鍵是掌握焦耳熱公式Q焦=-W安及適用條件：①純電阻電路;②動(dòng)生電動(dòng)勢(shì);③單棒為閉合回路的唯一電源,無(wú)反電動(dòng)勢(shì);④單棒所受安培力做負(fù)功;⑤磁場(chǎng)靜止(或以相對(duì)磁場(chǎng)靜止的物體為參考系計(jì)算安培力的功)。本問(wèn)符合這5個(gè)條件,公式可用,即閉合回路的總焦耳熱等于安培力對(duì)棒ab做功的負(fù)值。第(4)問(wèn),兩棒均為電源,不符合前述5個(gè)條件,安培力對(duì)任一單棒ab(或cd)做的功W安單≠-Q焦。當(dāng)兩棒都切割磁感線(xiàn)時(shí),電路中的總焦耳熱等于一對(duì)相互作用的安培力對(duì)兩棒所做總功的負(fù)值,即Q焦=-W安總。因此本題中Q焦=-(W安ab+W安cd)。電流通過(guò)導(dǎo)體時(shí)產(chǎn)生的熱量(電熱)叫焦耳熱,常用Q焦=-W安、Q焦=I2Rt計(jì)算,物體間因滑動(dòng)摩擦力做功產(chǎn)生的能量叫熱能,即內(nèi)能,俗稱(chēng)摩擦生熱,常用Q摩=Ff·Δx計(jì)算。兩者無(wú)必然關(guān)系,需注意區(qū)分。

三、導(dǎo)軌不等間距 一桿有初速度

圖11

圖12

圖13

(1)導(dǎo)體棒乙到達(dá)bg時(shí)的速度v1大小;

(2)導(dǎo)體棒乙在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,閉合回路面積的改變量ΔS;

(3)導(dǎo)體棒乙在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,導(dǎo)體棒乙上產(chǎn)生的焦耳熱Q乙。

圖14