劉惠康，鄢夢偉，柴 琳，孫博文

（武漢科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖北武漢 430081）

1 引言

由于近年來冶金工業(yè)的快速發(fā)展，熔融金屬轉(zhuǎn)運(yùn)吊車得到了廣泛的使用，為保證最大程度安全生產(chǎn)，操作工人需具有豐富的工作經(jīng)驗(yàn)，但由于吊運(yùn)過程操作難度大、工作強(qiáng)度高，稍有不慎便容易引發(fā)安全事故，而且在冶金業(yè)中液態(tài)金屬的吊運(yùn)作業(yè)對(duì)它的安全性能提出更高的要求［1］。為了保證吊車擺角在精準(zhǔn)定位的同時(shí)并減小擺角的晃動(dòng)，提高吊車在運(yùn)輸過程方面的安全性，廣大學(xué)者針對(duì)吊車做了大量的研究工作。文獻(xiàn)［2］提出了一種利用廣義預(yù)測控制整定PID參數(shù)的方法，使得傳統(tǒng)的PID控制器能夠有效地抑制和消除起重機(jī)吊鉤的游擺，取得了較好的控制效果。文獻(xiàn)［3］設(shè)計(jì)了能抑制系統(tǒng)及干擾影響的吊車防擺定位全過程自抗擾控制器，將繁瑣的控制系統(tǒng)參數(shù)化為容易實(shí)現(xiàn)的單參數(shù)調(diào)整，提高了吊車作業(yè)效率。文獻(xiàn)［4］將非線性反饋納入控制設(shè)計(jì)當(dāng)中，引入擺角抑制因子，提出三維空間的橋式吊車控制方法。文獻(xiàn)［5］通過分析二級(jí)擺橋式吊車系統(tǒng)的無源性以及引入一個(gè)廣義的信號(hào)，設(shè)計(jì)了一種帶有控制輸入約束的能量耦合控制方法，仿真實(shí)驗(yàn)證明該方法具有良好的魯棒性。文獻(xiàn)［6］提出了一種能產(chǎn)生光滑指令的零振動(dòng)指令光滑器來消除吊車擺動(dòng)的殘余振動(dòng)，然而，上述方法并沒有考慮吊車在吊運(yùn)高溫熔融金屬時(shí)液態(tài)負(fù)載造成的波動(dòng)干擾，不能消除外界造成的干擾波動(dòng)。而在熔融金屬轉(zhuǎn)運(yùn)實(shí)際運(yùn)行過程中，液態(tài)負(fù)載波動(dòng)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行造成的影響不可避免，現(xiàn)有方法大部分都是對(duì)吊車進(jìn)行線性化的特點(diǎn)設(shè)計(jì)控制器，但是負(fù)載液態(tài)由于在防擺過程中會(huì)產(chǎn)生劇烈晃動(dòng)，嚴(yán)重時(shí)易系統(tǒng)固有頻率達(dá)到一致時(shí)容易誘發(fā)諧振，進(jìn)而造成外在波動(dòng)太大使系統(tǒng)擺角超過近似線性化范圍，導(dǎo)致振蕩抑制效果較差。

基于上述問題，基于吊車系統(tǒng)的無源性對(duì)吊車進(jìn)行建模對(duì)吊車進(jìn)行分段分析建立了一個(gè)能量控制器，并通過實(shí)驗(yàn)證明其具有良好的魯棒性。再利用光滑整形器對(duì)系統(tǒng)原始操作命令進(jìn)行卷積處理，不僅可以消除負(fù)載液態(tài)的波動(dòng)晃動(dòng)干擾并進(jìn)一步減小擺角振幅，增強(qiáng)防擺效果。

2 二維橋式吊車動(dòng)力學(xué)模型的建立

由于實(shí)際吊車系統(tǒng)比較復(fù)雜，系統(tǒng)除了具有非線性和強(qiáng)耦合性的特點(diǎn)之外，還會(huì)受到各種干擾（如小車與導(dǎo)軌的摩擦）的影響，通過分析吊車系統(tǒng)的特點(diǎn)對(duì)吊車進(jìn)行簡化模型處理并作出如下假設(shè)：

（1）忽略鋼絲繩的質(zhì)量；（2）不考慮鋼絲繩在吊車擺動(dòng)過程中發(fā)生的長度變化；（3）負(fù)載只能于鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)，且吊具與負(fù)載視為一擺動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)；（4）空氣阻力和風(fēng)阻忽略不計(jì)；（5）小車驅(qū)動(dòng)力為u，忽略加減速器、電機(jī)等傳動(dòng)機(jī)構(gòu)非線性影響；（6）吊車擺動(dòng)過程中液態(tài)負(fù)載產(chǎn)生的阻力為fb；（7）不考慮系統(tǒng)在防擺過程中產(chǎn)生的彈性形變；

結(jié)合以上的假設(shè)條件，根據(jù)拉格朗日方程建立固定繩長二維橋式吊車動(dòng)力學(xué)模型［7］如下：

式中：M—小車的質(zhì)量；m—載荷的質(zhì)量；L—小車與負(fù)載間的繩長；fr—小車與導(dǎo)軌之間的摩擦力；θ—載荷擺動(dòng)擺角；g—重力加速度；fb—液態(tài)負(fù)載產(chǎn)生的波動(dòng)阻力。

吊車系統(tǒng)水平移動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型可簡化成，如圖1所示。

圖1 二維橋式吊車示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Two?Dimensional Bridge Crane

其中，液態(tài)負(fù)載產(chǎn)生的波動(dòng)阻力大小與單擺擺動(dòng)的角速度大小成正比，且由于擺動(dòng)過程中角度非常小，把阻力方向近似看為水平方向。

式中：kb∈R+—控制增益。

3 控制器的建立

橋式吊車系統(tǒng)的控制框圖，如圖2所示。首先基于吊車無源性的特點(diǎn)對(duì)吊車系統(tǒng)進(jìn)行逐段分析并構(gòu)造相應(yīng)的儲(chǔ)能函數(shù)，首先考慮負(fù)載相對(duì)于吊車的運(yùn)動(dòng)的能量函數(shù)，進(jìn)一步考慮負(fù)載與吊車同步運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能及負(fù)載與吊車位置之間的“距離勢能”，并將它們組合成新的系統(tǒng)儲(chǔ)能函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)踯嚺_(tái)車速度、定位誤差、負(fù)載擺角、角速度和角加速度都為0時(shí)，儲(chǔ)能函數(shù)才為0，根據(jù)構(gòu)造的能量函數(shù)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的控制器并利用Lyapunov 方法和La?Salle不變性原理證明了系統(tǒng)狀態(tài)漸近收斂到目標(biāo)位置，能量控制器的建立可以使吊車保證快速精準(zhǔn)定位并達(dá)到有效的消擺效果，而由于吊車在能量控制器的作用下防擺過程較快，會(huì)引發(fā)液態(tài)金屬負(fù)載的波動(dòng)干擾進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)難以穩(wěn)定，因此引入光滑整形器對(duì)原始控制命令進(jìn)行卷積積分處理來抑制液態(tài)負(fù)載對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的振蕩，它的工作原理如下：操作員給出的原始操作命令經(jīng)過與光滑整形器的卷積處理產(chǎn)生一個(gè)新的光滑整形命令，該光滑整形命令用來驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)吊車控制系統(tǒng)的平滑驅(qū)動(dòng)，在保證吊車能快速精準(zhǔn)的實(shí)現(xiàn)防擺過程的同時(shí)消除由負(fù)載液態(tài)產(chǎn)生的晃動(dòng)干擾。進(jìn)一步減小吊車系統(tǒng)擺幅、增強(qiáng)系統(tǒng)防擺能力。

圖2 橋式吊車系統(tǒng)控制框圖Fig.2 Control Block Diagram of Overhead Crane System

3.1 能量控制器的設(shè)計(jì)

在熔融金屬吊車運(yùn)輸液態(tài)鋼水的過程，要實(shí)現(xiàn)吊車能準(zhǔn)確快速的到達(dá)目標(biāo)位置，同時(shí)保證運(yùn)輸過程中吊車擺角能快速的衰減至零，即：

式中：xd∈R1—目標(biāo)位置，為此，定義臺(tái)車的定位誤差e(t)如下：

將負(fù)載的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)，首先考慮在豎直方向上時(shí)負(fù)載相對(duì)于臺(tái)車的運(yùn)動(dòng)進(jìn)而構(gòu)造出能量函數(shù)，然后分析在水平方向上負(fù)載與臺(tái)車共同的運(yùn)動(dòng)，最后分析負(fù)載根據(jù)位移指令達(dá)到目標(biāo)位置之后的“距離勢能”，最終確定吊車系統(tǒng)的儲(chǔ)能函數(shù)如下。

式中：kp，kE∈R+—控制增益，可以看出，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)踯嚺_(tái)車速度、定位誤差、負(fù)載擺角、角速度和角加速度都為0時(shí)，儲(chǔ)能函數(shù)V(t)才為0，因此只需設(shè)計(jì)控制率使得儲(chǔ)能函數(shù)V(t)為0，則可將所有的系統(tǒng)狀態(tài)鎮(zhèn)定到目標(biāo)位置。

對(duì)式（5）進(jìn)行求導(dǎo)，可得：

為了能使吊車系統(tǒng)的儲(chǔ)能函數(shù)V(t)能量逐漸衰減至0，即(t) ≤0，可得吊車系統(tǒng)的加速度為：

式中：kd—正的控制增益，不考慮液態(tài)負(fù)載產(chǎn)生的阻力fb結(jié)合式（1），我們?cè)O(shè)計(jì)反饋控制器如下：

將設(shè)計(jì)的能量控制器用于吊車消擺，設(shè)置吊車位移為2m，通過simulink仿真得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，如圖3所示。

圖3 能量控制器作用前后的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Simulation Experiment Results Before and After the Action of the Energy Controller

由圖3可以看出，系統(tǒng)在未加入在任何控制作用之前，吊車在達(dá)到目標(biāo)位置之后仍然處于運(yùn)行狀態(tài)，吊車擺角幾乎無衰減，系統(tǒng)狀態(tài)難以達(dá)到穩(wěn)定；單獨(dú)加入能量控制器作用后，不考慮液態(tài)重心干擾，臺(tái)車在大概8s 時(shí)到位目標(biāo)位移地點(diǎn)，吊車最大擺角為3.08°，設(shè)計(jì)的能量控制器能實(shí)現(xiàn)吊車的快速精準(zhǔn)定位，且負(fù)載擺角不大并且鎮(zhèn)定時(shí)間縮短了很多，實(shí)現(xiàn)了良好的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。

3.2 加入模擬液態(tài)金屬重心干擾

在熔融金屬轉(zhuǎn)運(yùn)吊車轉(zhuǎn)運(yùn)過程中，考慮液體重心波動(dòng)干擾fb，由于能量控制器使得吊車系統(tǒng)防擺過程時(shí)間縮短，會(huì)導(dǎo)致液體重心波動(dòng)較大引起晃動(dòng)，甚至?xí)鹣到y(tǒng)的諧振造成設(shè)備侵翻。采用一個(gè)近似于系統(tǒng)固有頻率的波動(dòng)干擾來模擬熔融金屬重心變化對(duì)負(fù)載擺角造成的擾動(dòng)，且考慮干擾信號(hào)會(huì)隨著擺角的減小而減弱。在加入干擾信號(hào)之后，能量控制器難以保證負(fù)載仍能準(zhǔn)確平穩(wěn)的到達(dá)目標(biāo)位置，造成防擺失敗，其作用效果后系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)果，如圖4所示。系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間為20s，臺(tái)車到達(dá)目標(biāo)位置之后仍難以收斂，吊車擺角難以衰減，系統(tǒng)近似于產(chǎn)生一個(gè)等幅振蕩，此時(shí)吊車在能量控制器的作用下難以達(dá)到平衡，嚴(yán)重時(shí)甚至容易造成吊車侵翻，造成安全事故。

圖4 液態(tài)重心干擾對(duì)系統(tǒng)輸出的影響Fig.4 The Influence of Liquid Gravity Center Interference on System Output

3.3 光滑整形器的設(shè)計(jì)

由于負(fù)載為高溫液態(tài)金屬的特殊工況，能量控制器控制的高溫熔融金屬轉(zhuǎn)運(yùn)吊車在液態(tài)重心的干擾下難以達(dá)到預(yù)期效果，為了進(jìn)一步達(dá)到良好的防擺效果，消除液態(tài)金屬負(fù)載帶來的干擾，增強(qiáng)吊車的防擺穩(wěn)定性，引入了一種光滑整形技術(shù)，對(duì)操作命令進(jìn)行預(yù)處理，設(shè)計(jì)了一個(gè)光滑整形器與能量控制器相結(jié)合共同作用，這種光滑整形器可以在固有頻率模型誤差?19%到無窮大范圍內(nèi)提供5%的抗干擾抑制效果。由參考文獻(xiàn)可知橋式吊車系統(tǒng)為二階振蕩系統(tǒng)，將熔融金屬吊車模型簡化看作為一個(gè)單擺系統(tǒng)［8］。由于吊車看作為單擺可確定它的擺動(dòng)頻率公式為：

吊車系統(tǒng)在液態(tài)重心阻力fb干擾下的光滑整形函數(shù)y(τ)的二階振蕩響應(yīng)為：

式中：ω、ζ—系統(tǒng)的自然頻率和阻尼比。

則系統(tǒng)響應(yīng)式（10）的振幅為：

其中，

很多情況下瞬態(tài)振動(dòng)對(duì)機(jī)械系統(tǒng)有很大影響，如冶金工業(yè)上鋼水的運(yùn)輸，在運(yùn)輸?shù)倪^程中不允許液體濺出，除此之外，為了確保光滑后的命令不對(duì)后續(xù)系統(tǒng)防擺輸出量產(chǎn)生影響，光滑整形函數(shù)的積分還要被約束等于1：

根據(jù)式（11）~式（14）可解出具有最短調(diào)節(jié)時(shí)間且連續(xù)的光滑整形函數(shù)：

式中：T—阻尼振蕩周期模型，y0滿足：

在吊車達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之后，吊車角速度為0，即fb也為0，即此時(shí)液態(tài)重心停止晃動(dòng)，光滑整形函數(shù)在消除了液態(tài)重心干擾之后也停止作用，不影響吊車的預(yù)操作任務(wù)。

在引入光滑整形技術(shù)之后的仿真結(jié)果，如圖5 所示。通過對(duì)比圖3~圖5 的吊車位移響應(yīng)結(jié)果相比較可以看出：系統(tǒng)在能量控制器單獨(dú)作用是系統(tǒng)可以平穩(wěn)且快速的達(dá)到指定目標(biāo)位置，但是在引入負(fù)載液態(tài)重心的干擾后，系統(tǒng)在能量控制器的作用下在達(dá)到目標(biāo)位置之后難以達(dá)到穩(wěn)定，在引入了光滑整形技術(shù)之后，由負(fù)載液態(tài)重心引起的位移干擾可以得到一個(gè)有效的清除。

圖5 結(jié)合能量控制器引入光滑整形技術(shù)后吊車擺角響應(yīng)Fig.5 After the Smooth Shaping Technology is Introduced in Combination with the Energy Controller the Crane Swing Angle Response

不僅可以消除由液態(tài)負(fù)載重心帶來的擺角干擾，還可以在固有頻率模型誤差范圍內(nèi)提供一定的振動(dòng)抑制效果，在加入光滑整形器作用后耗時(shí)5s左右；且有效的減小了系統(tǒng)的擺角和擺幅，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的精準(zhǔn)定位。設(shè)計(jì)的光滑整形器在設(shè)計(jì)點(diǎn)（模型頻率和阻尼比）處具有零振蕩特性。

4 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證能量結(jié)合光滑整形控制方法的有效性，對(duì)吊車模型進(jìn)行了建模并搭建了Simulink模型，根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)的調(diào)試設(shè)置了Matlab/Simulink仿真參數(shù)，其中吊車系統(tǒng)參數(shù)：

M= 4kg，m= 16kg，L= 2m，g= 9.8m/s2，u= 16N，fr= 8N。在進(jìn)行了充分的調(diào)試后，能量控制器的參數(shù)增益選取：kb= 1.2，kp=0.3，kd= 3.2，kE= 1.4；將上述參數(shù)代入式（8）并進(jìn)行仿真，選取Simulink仿真周期T= 20s，并從0時(shí)刻開始輸入指令xd= 2m，可得到圖3、圖4能量控制器控制下的吊車位移和吊車擺角響應(yīng)。光滑整形器參數(shù)為ζ= 0.2，ω= 2.2，即通過式（16）可得出y0≈0.3，按照此參數(shù)設(shè)置控制器，從圖中可以看出，吊車從收到位移指令后到達(dá)系統(tǒng)目標(biāo)并維持穩(wěn)定耗時(shí)大概為8s，并且超調(diào)量為0，最大擺角為2.38°。并將光滑整形器與能量控制器相結(jié)合的控制方式和文獻(xiàn)［9］設(shè)計(jì)的PID控制器效果及其文獻(xiàn)［10］設(shè)計(jì)的LQR控制器效果進(jìn)行對(duì)比（PID 控制器和LQR 控制器均未考慮熔融液態(tài)金屬干擾）；對(duì)比效果圖，如圖6所示。得到控制效果對(duì)比，如表1所示。

表1 控制器控制效果對(duì)比Tab.1 Comparison of Controller Control Effect

圖6 三種控制器吊車位移控制效果對(duì)比圖Fig.6 Comparison of Crane Displacement Control Effects of Three Controllers

從表1中可以看出，在引入能量和光滑整形控制的設(shè)計(jì)方法明顯要優(yōu)于PID 控制器和LQR 控制器，設(shè)計(jì)的優(yōu)化PID 控制器能保證系統(tǒng)無超調(diào)量的到達(dá)目標(biāo)位置，但是系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間過長，且最大擺角相對(duì)能量結(jié)合光滑整形控制設(shè)計(jì)方法擺角更大，影響整個(gè)系統(tǒng)的工作效率；而LQR 控制器雖能較好的保證臺(tái)車運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最優(yōu)性，且相對(duì)PID控制器擺角較小，但是系統(tǒng)易發(fā)生超調(diào)，而且其加權(quán)矩陣比較難設(shè)計(jì)，易出現(xiàn)較大的誤差，同意不利于吊車穩(wěn)定。

在能量控制的基礎(chǔ)上引入光滑整形的方法可以將負(fù)載擺角的擺動(dòng)范圍進(jìn)一步減小，且在負(fù)載發(fā)生擺動(dòng)后吊車擺角的大小得到了迅速的衰減，而且在系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間為3s時(shí)，光滑整形器在克服液態(tài)重心干擾的情況下還能進(jìn)一步縮小吊車的擺角振幅，響應(yīng)時(shí)間更快。

為進(jìn)一步驗(yàn)證系統(tǒng)的魯棒性，考慮到吊車在運(yùn)行過程中可能會(huì)受到外界的空氣阻力干擾或者發(fā)生一下小碰撞，導(dǎo)致載荷發(fā)生異常擾動(dòng)。為模擬此種工況，在15s時(shí)對(duì)系統(tǒng)施加大小為5倍單位沖擊響應(yīng)大小的力，仿真效果，如圖7所示。

圖7 施加外部干擾對(duì)系統(tǒng)輸出的影響Fig.7 The Impact of External Interference on System Output

從圖7 可以看出，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行到15s 時(shí)，對(duì)系統(tǒng)施加外部干擾，在該控制方法下，系統(tǒng)很快就能重新達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，外部干擾很快就被消除，證明了該方法具有很強(qiáng)的魯棒性。

5 結(jié)論

熔融金屬轉(zhuǎn)運(yùn)吊車在冶金行業(yè)中具有非常重要的意義，由于特殊工況下其轉(zhuǎn)運(yùn)的負(fù)載為高溫液態(tài)金屬，在實(shí)現(xiàn)吊車防擺控制的過程中產(chǎn)生的晃動(dòng)干擾會(huì)嚴(yán)重影響吊車在防擺定位下的控制效果，先是設(shè)計(jì)一個(gè)能量控制器是吊車系統(tǒng)能快速且穩(wěn)定的消除系統(tǒng)載荷擺動(dòng)并實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的精準(zhǔn)定位并且可降低系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)能耗，進(jìn)而提出一個(gè)模擬吊車固有頻率的波動(dòng)干擾誘發(fā)系統(tǒng)諧振，可以看出系統(tǒng)發(fā)生等幅振蕩，系統(tǒng)難以達(dá)到穩(wěn)定，因此提出了一個(gè)光滑整形技術(shù)來消除在吊車轉(zhuǎn)運(yùn)過程液態(tài)重心波動(dòng)帶來的干擾，該技術(shù)不影響吊車消擺的預(yù)定操作，并且進(jìn)行實(shí)現(xiàn)驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)光滑整形器能夠進(jìn)一步減小系統(tǒng)擺角，減小系統(tǒng)振蕩，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了系統(tǒng)的有效性和魯棒性。