楚雪平，王曉玲

（1.河南職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能制造學(xué)院，河南鄭州 450046；2.河南科技大學(xué)圖書館，河南洛陽 471023）

1 引言

機(jī)械臂是將多個(gè)機(jī)械桿通過關(guān)節(jié)連接起來的自動(dòng)化系統(tǒng)，各機(jī)械桿在電機(jī)驅(qū)動(dòng)下繞關(guān)節(jié)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，使機(jī)械臂末端到達(dá)指定位置來完成相應(yīng)工作［1?2］。隨著自動(dòng)化技術(shù)的迅速發(fā)展，機(jī)械臂已廣泛應(yīng)用于裝配、焊接、組裝等工業(yè)生產(chǎn)中，機(jī)械臂的控制精度直接決定了工業(yè)生產(chǎn)的效率和質(zhì)量［3?4］。但是工業(yè)機(jī)械臂是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合的復(fù)雜系統(tǒng)，在實(shí)際生產(chǎn)中，機(jī)械桿繞各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)必然會(huì)受到機(jī)械摩擦的干擾，從而造成控制精度降低。同時(shí)，當(dāng)工業(yè)機(jī)械臂需要與生產(chǎn)對(duì)象接觸時(shí)，生產(chǎn)對(duì)象必然會(huì)對(duì)機(jī)械臂末端產(chǎn)生一個(gè)未知負(fù)載力矩，這會(huì)嚴(yán)重影響機(jī)械臂的控制精度［5?6］。因此，要想提高工業(yè)機(jī)械臂的實(shí)用性和精確度，必須充分考慮工業(yè)機(jī)械臂對(duì)于機(jī)械摩擦和負(fù)載力矩的魯棒性。文獻(xiàn)［7］為了克服模型誤差對(duì)機(jī)械臂控制的影響，采用滑模自適應(yīng)控制算法對(duì)軌跡指令進(jìn)行有效跟蹤，能夠在一定程度上提高精度，但實(shí)用性不高；文獻(xiàn)［8］采用自適應(yīng)終端滑?？刂品椒▉硖岣邫C(jī)械臂的魯棒性和控制效果，但是不能很好地克服抖振現(xiàn)象；文獻(xiàn)［9］針對(duì)具有摩擦和負(fù)載等干擾的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制問題，提出了一種模糊補(bǔ)償控制方法，能夠提高控制效果，但是需要已知機(jī)械臂的精確數(shù)學(xué)模型；文獻(xiàn)［10］為了提高帶有各種干擾因素的機(jī)械臂的運(yùn)行穩(wěn)定性，采用干擾觀測器設(shè)計(jì)了反演滑?？刂扑惴?，雖然實(shí)現(xiàn)了對(duì)機(jī)械臂的控制，但是控制精度一般?；谝陨戏治?，設(shè)計(jì)了一種二階非奇異快速終端滑模面，并提出了一種基于迭代學(xué)習(xí)的滑模魯棒控制方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)工業(yè)機(jī)械臂的精確控制。

2 模型建立

工業(yè)機(jī)械臂是通過機(jī)械關(guān)節(jié)將機(jī)械臂連接起來的多級(jí)智能工業(yè)生產(chǎn)設(shè)備，其中各級(jí)機(jī)械臂可以繞相應(yīng)關(guān)節(jié)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，從而使裝有抓手、解刀、焊槍等設(shè)備的機(jī)械臂末端能夠準(zhǔn)確到達(dá)指定空間位置，來快速、精確、高效地完成裝配和焊接等流水線工業(yè)生產(chǎn)任務(wù)。工業(yè)機(jī)械臂示意圖，如圖1所示。

圖1 工業(yè)機(jī)械臂示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Industrial Manipulator

工業(yè)機(jī)械臂的數(shù)學(xué)模型為［11］：

式中：q、q?、q?—工業(yè)機(jī)械臂各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度、角速度和角加速度；

M(q)—慣性矩陣；D(q，q?)—科氏力和離心力矩陣；G(q)—重力矩陣；τ—各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩。

在工業(yè)生產(chǎn)中，工業(yè)機(jī)械臂的末端設(shè)備必須接觸各種零部件并施加一定的作用力，那么零部件就會(huì)對(duì)工業(yè)機(jī)械臂產(chǎn)生一個(gè)未知的負(fù)載力矩，此力矩必然會(huì)影響對(duì)工業(yè)機(jī)械臂的精確控制。另外，工業(yè)機(jī)械臂各關(guān)節(jié)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中不可避免地會(huì)受到機(jī)械摩擦的干擾，導(dǎo)致工業(yè)機(jī)械臂的末端無法快速、準(zhǔn)確定位到指定位置，無法精準(zhǔn)完成相應(yīng)的生產(chǎn)任務(wù)［12］。因此，要實(shí)現(xiàn)對(duì)工業(yè)機(jī)械臂的精確控制，提高工業(yè)生產(chǎn)的效率和質(zhì)量，必須充分考慮未知負(fù)載力矩和機(jī)械摩擦的干擾影響，則工業(yè)機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型為：

式中：d—未知負(fù)載力矩和機(jī)械摩擦的干擾總和。

根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以得到工業(yè)機(jī)械臂末端的運(yùn)動(dòng)軌跡與各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度的轉(zhuǎn)換關(guān)系為［13?14］：

式中：P=[x，y，z]T—工業(yè)機(jī)械臂末端的運(yùn)動(dòng)軌跡；N—轉(zhuǎn)換矩陣。

3 控制律設(shè)計(jì)

首先給出了二階非奇異快速終端滑模面和滑?？刂坡?，然后利用迭代學(xué)習(xí)方法來改善滑?？刂坡傻聂敯粜裕詈筮M(jìn)行了收斂性分析?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of Control System

3.1 滑模控制律

機(jī)械臂末端的軌跡跟蹤誤差為：

式中：Pc=[xc，yc，zc]T—工業(yè)機(jī)械臂末端的期望軌跡指令。

則由式（3）得到工業(yè)機(jī)械臂各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度指令為：

式中：k1—正定矩陣。

工業(yè)機(jī)械臂的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度跟蹤誤差為：

設(shè)計(jì)二階非奇異快速終端滑模面［15］s為：

式中：α、β—正定矩陣；r1=m1n1、r2=m2n2，其中，m1、n1、m2和n2是正奇數(shù)，且滿足1

對(duì)式（7）求導(dǎo)得：

定義工業(yè)機(jī)械臂的狀態(tài)ω和φ如下：

然后設(shè)計(jì)滑?？刂坡搔樱?/p>

式中：k2、k3—正定矩陣；?—ω的估計(jì)值；v—二階滑模項(xiàng)，表達(dá)式如下：

的表達(dá)式為：

式中：λ、η、γ—正定矩陣。

3.2 基于迭代學(xué)習(xí)的滑模控制律

迭代學(xué)習(xí)是通過迭代修正控制輸出來達(dá)到控制目標(biāo)的一種智能控制方法，不需要已知控制對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，能夠快速實(shí)現(xiàn)對(duì)控制對(duì)象運(yùn)動(dòng)軌跡的精確跟蹤［16?17］。這里利用迭代學(xué)習(xí)方法來改進(jìn)滑?？刂坡墒剑?1），以改善滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象，提高控制的穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和魯棒性。

設(shè)計(jì)第k次迭代學(xué)習(xí)的滑模控制律τk：

式中：k—迭代學(xué)習(xí)次數(shù)；—第k次迭代學(xué)習(xí)對(duì)ω的估計(jì)值；φk—第k次迭代學(xué)習(xí)時(shí)的狀態(tài)φ；sk—第k次迭代學(xué)習(xí)時(shí)的二階非奇異快速終端滑模面s；vk—第k次迭代學(xué)習(xí)的二階滑模項(xiàng)，表達(dá)式描述如下：

其中，初始迭代值v0= 0。

設(shè)計(jì)的表達(dá)式為：

其中，初始迭代值= 0。

在第k次迭代學(xué)習(xí)的滑?？刂坡墒剑?4）~式（16）的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)基于迭代學(xué)習(xí)的滑?？刂坡蔀椋?/p>

式中：初始控制量τ0= 0；k4、k5—正定矩陣。

3.3 收斂性分析

結(jié)論1：設(shè)計(jì)的基于迭代學(xué)習(xí)的滑?？刂坡墒剑?4）~式（17）能夠確保工業(yè)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡收斂。

證明：構(gòu)建復(fù)合能量函數(shù)［18］為：

式中：—對(duì)ωk的估計(jì)誤差=?ωk。

相臨2次迭代學(xué)習(xí)的復(fù)合能量函數(shù)變化值ΔEk描述為：

然后將滑模控制律式（14）~式（16）代入式（19）化簡可得：

因?yàn)棣k≤0，可知結(jié)論1 成立［19］，即所設(shè)計(jì)的基于迭代學(xué)習(xí)的滑模控制律式（14）~式（17）能夠確保工業(yè)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡收斂。

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)的快速終端滑?？刂坡傻挠行裕謩e采用文獻(xiàn)［20］的模型預(yù)測控制（MPCL）、滑?？刂坡墒剑?1）（SMCL）與基于迭代學(xué)習(xí)的滑?？刂坡墒剑?7）（ILS?SMCL）進(jìn)行對(duì)比仿真。

4.1 仿真參數(shù)設(shè)置

設(shè)置工業(yè)機(jī)械臂的初始狀態(tài)為0；工業(yè)機(jī)械臂末端的運(yùn)動(dòng)軌跡指令為：xc=(10 sint)mm、yc=(10 cost)mm、zc=( 3t)mm；設(shè)置干擾為d=[0.1 sint]3×1N ?m；迭代周期為0.2s。設(shè)置控制參數(shù)，如表1所示。

表1 控制參數(shù)Tab.1 Control Parameters

4.2 對(duì)比仿真結(jié)果

為了展示設(shè)計(jì)的基于迭代學(xué)習(xí)的滑?？刂坡桑↖LS?SMCL）對(duì)于工業(yè)機(jī)械臂的控制效果和優(yōu)越性，利用實(shí)際坐標(biāo)與指令坐標(biāo)之間的距離誤差eP來衡量定位控制精度，eP的計(jì)算方法描述如下：

按照設(shè)置的參數(shù)運(yùn)行，并利用上述三種控制方法控制工業(yè)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)得到的跟蹤誤差eP，如圖3所示。

圖3 軌跡跟蹤誤差Fig.3 Trajectory Tracking Error

由軌跡跟蹤誤差仿真結(jié)果圖3看出：在文獻(xiàn)［20］模型預(yù)測控制（MPCL）下，工業(yè)機(jī)械臂可基本跟上指令信號(hào)，最大跟蹤誤差為8.1mm，誤差比較大，效果不理想；在滑?？刂坡桑⊿MCL）下，工業(yè)機(jī)械臂的末端能夠基本跟蹤軌跡指令信號(hào)，最大軌跡跟蹤誤差為4.2mm，跟蹤誤差仍然較大，控制效果一般；而在基于迭代學(xué)習(xí)的滑?？刂坡桑↖LS?SMCL）下，關(guān)節(jié)末端能夠穩(wěn)定、準(zhǔn)確跟蹤指令信號(hào)，最大軌跡跟蹤誤差僅為0.3mm，能夠滿足精確控制要求。進(jìn)一步給出了工業(yè)機(jī)械臂末端對(duì)于x、y、z坐標(biāo)的跟蹤結(jié)果，如圖4~圖6所示。其中，ex=x?xc、ey=y?yc、ez=z?zc。

圖4 x坐標(biāo)跟蹤仿真結(jié)果Fig.4 Tracking Simulation Results of x Coordinate

圖5 y坐標(biāo)跟蹤仿真結(jié)果Fig.5 Tracking Simulation Results of y Coordinate

圖6 z坐標(biāo)跟蹤仿真結(jié)果Fig.6 Tracking Simulation Results of z Coordinate

由軌跡跟蹤誤差仿真結(jié)果圖4~圖6可看出：在文獻(xiàn)［20］模型預(yù)測控制（MPCL）下，工業(yè)機(jī)械臂末端的最大跟蹤誤差為6.2mm，誤差比較大，控制效果不好；在滑?？刂坡桑⊿MCL）下，工業(yè)機(jī)械臂末端的最大跟蹤誤差為3.3mm，誤差較大；而基于迭代學(xué)習(xí)的滑?？刂坡桑↖LS?SMCL）的最大跟蹤誤差僅為0.2mm，誤差較小，控制效果較好，能夠滿足精確控制要求。

5 平臺(tái)測試實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)的快速終端滑?？刂坡桑↖LS?SMCL）對(duì)工業(yè)機(jī)械臂的實(shí)際控制效果，選取的實(shí)驗(yàn)對(duì)象為勃朗特生產(chǎn)的六自由度工業(yè)機(jī)械臂，型號(hào)：BRTIRUS2550A，主要應(yīng)用在搬運(yùn)作業(yè)中，最大負(fù)載50kg，臂展255cm，其控制系統(tǒng)用來存儲(chǔ)執(zhí)行控制方法，并施加干擾信號(hào)。實(shí)驗(yàn)中，使機(jī)械臂攜帶25kg 負(fù)載，分別采用文獻(xiàn)［20］中模型預(yù)測控制（MPCL）、滑?？刂坡桑⊿MCL）與基于迭代學(xué)習(xí)的滑模控制律式（17）對(duì)BRTIRU機(jī)械臂進(jìn)行定位精度測試，每次的初始點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，0）mm，然后在控制端依次發(fā)送10個(gè)坐標(biāo)指令分別為：（100，100，100）mm、（200，200，200）mm、（300，300，300）mm、（400，400，400）mm、（500，500，500）mm、（600，600，600）mm、（700，700，700）mm、（800，800，800）mm、（900，900，900）mm、（1000，1000，1000）mm，然后測量每次定位的實(shí)際坐標(biāo)位置，記錄得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Experiment Results

由表2看出：文獻(xiàn)［20］模型預(yù)測控制方法（MPCL）的最大跟蹤誤差為2.83mm，平均運(yùn)行時(shí)長為3.11s，控制精度較差，控制時(shí)間較長；滑?？刂坡桑⊿MCL）的最大跟蹤誤差為1.45mm，平均運(yùn)行時(shí)長為2.78s，控制精度一般，控制時(shí)間也較長；而基于迭代學(xué)習(xí)的滑模控制律（ILS?SMCL）的最大跟蹤誤差僅為0.17mm，平均運(yùn)行時(shí)長僅為1.73s，控制精度較高，控制時(shí)間較短。

6 結(jié)論

針對(duì)帶有未知負(fù)載力矩和機(jī)械摩擦等干擾的工業(yè)機(jī)械臂，設(shè)計(jì)了一種基于迭代學(xué)習(xí)的滑?？刂坡?，消除了抖振現(xiàn)象，使工業(yè)機(jī)械臂具有更小的控制誤差。通過對(duì)比仿真結(jié)果表明：設(shè)計(jì)的基于迭代學(xué)習(xí)的滑?？刂坡赡軌?qū)崿F(xiàn)對(duì)工業(yè)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡的高精確控制，最大跟蹤誤差僅為0.3mm，在平臺(tái)測試試驗(yàn)中，設(shè)計(jì)的基于迭代學(xué)習(xí)的滑?？刂坡梢脖憩F(xiàn)出了更優(yōu)的快速性、準(zhǔn)確性和工程實(shí)用性，最大跟蹤誤差僅為0.17mm，平均運(yùn)行時(shí)長僅為1.73s，能夠在未知負(fù)載力矩和機(jī)械摩擦等干擾因素的影響下大幅提高工業(yè)機(jī)械臂的控制精度。