李學剛，張麗娟，馮立艷，張 英

（1.華北理工大學機械工程學院，河北唐山 063210；2.北京郵電大學自動化學院，北京100876）

1 引言

隨著機電智能化、運動可控化、機電一體化的發(fā)展，實現(xiàn)可控、可調運動輸出成為現(xiàn)代機構系統(tǒng)的新要求，二自由度六桿機構作為混合驅動可控機構的運動合成機構，是在原五桿機構的基礎上引入調節(jié)桿，增大了機構的柔性和可調可控性，在微型結構、高精度等工程領域應用越來越廣泛。

當各原動件按定傳動比運動時，該機構仍為二自由度機構，與五桿機構［1?2］和類四桿五桿機構［3］相比，其尺寸類型和輸入運動變化大，輸出軌跡更為豐富多樣，運動特性易于調整，在實現(xiàn)混合驅動運動合成時，可有效減小伺服電機的運動補償量，使機構獲得良好的動力學性能［4］。

目前文獻中對該機構進行軌跡綜合的方法主要有優(yōu)化法［4?8］、圖譜法［9?10］等。圖譜法適用范圍廣，求解速度快，計算復雜程度低，但存在完備數值圖譜庫建立難度大，求解精度低的不足。優(yōu)化法可以求解得到精度較高的綜合結果，且可實現(xiàn)多點位的連續(xù)軌跡綜合，但該方法受初值選取、目標函數性態(tài)和尋優(yōu)方法的影響，有時難以得到全局最優(yōu)結果。

針對二自由度六桿機構提出了一種基于傅氏級數的軌跡綜合的代數求解新方法，與原有方法相比，該方法解的精度高，完備性強，且克服了原有代數法難以實現(xiàn)多點位連續(xù)軌跡綜合的不足，能夠同時得到多組滿足要求的機構尺寸型。有效擴大了代數法的適用范圍，提高了連桿機構近似運動綜合的求解精度和速度。

2 連桿曲線的傅氏級數表示

二自由度六桿機構示意圖，如圖1所示。機構各桿的尺寸分別為a、a′、b、c、d。其中AA′、A′B、DE為原動件，BC、CD為連桿。原動件的初始相位角分別為q1、q2、q3，ω1、ω2、ω5分別為曲柄的轉速，且有ω1=hω、ω2=kω、ω5=uω（h，k，u為整數）。固定鉸鏈點A、E到原點o的距離分別為r1、r2，旋轉角度分別為μ1、μ2，C點為連桿軌跡生成點。

圖1 二自由度六桿機構示意圖Fig.1 An Illustration of 2?DOF Hinge Six?Bar Mechanism

由文獻［11］可知，當輸入構件以勻速轉動時，角度φ1、φ2、φ3均為以時間t為變量的周期性函數，C點產生的連桿曲線為周期性封閉曲線，可以表示為以時間t為變量的傅氏級數之和：

式中：i=；cn—軌跡生成曲線rC傅氏級數展開的諧波參數。

且有：

二自由度六桿機構的連桿曲線可以用一系列的離散點表示，因此，cn通?？梢杂脭抵捣椒ㄓ嬎愕玫?。根據離散傅里葉變換的性質［11］，諧波參數cn數值解的計算表達式為：

3 綜合設計方程建立

由圖1所示，二自由度六桿機構的軌跡綜合，需要確定12個獨立設計變量：a、a′、b、c、d、q1、q2、q3、r1、μ1、r2、μ2，為使所建立的綜合設計方程能夠求解方便，將該機構拆分兩部分求解機構的設計參數。針對二自由度六桿機構的軌跡綜合問題，已知條件為目標軌跡或軌跡方程，所求為能實現(xiàn)給定目標軌跡方程的機構各桿長尺寸、初始相位角、機構位置參數。由文獻［4］可知，二自由度六桿機構的連桿曲線將在原齒輪五桿機構的基礎上內凹或外凸，機構A′B與A′A的傳動比為i=ω1/ω2= 2時，求解二自由度六桿機構的設計參數。

3.1 左側三桿組的求解

如圖1 所示，應用矢量分析法，建立含有未知設計參數r1、μ1、a、a′、b、q1、q2的左側三桿組封閉矢量方程：

式（4）的復數矢量形式為：

取式（5?1）的共軛可得：

將h= 2，k= 1 帶入式（5?1）和式（5?2），并將兩式相乘化簡可得：

其中，

由文獻［11］可知，利用傅氏級數表示曲線諧波參數時，取有限項低次諧波就可較好的表示原函數，這里取n=?3，?2，…，2，3。由式（1）可知，rC可以表示為以時間t為變量的傅氏級數之和：

將展開后的rC帶入式（6）化簡可得：

其中，

其中：

分析式（8）發(fā)現(xiàn)，表達式H0，H1，H?1，H2，H?2，H3，H?3為完整系數表達式，即當rC、rˉC取更高次諧波時，其將不再變化［13］，由復指數的性質可知，這些表達式的值應為0，由此可以得到如下方程：

方程（9）即求解左側三桿組設計變量的綜合方程，h?1、h1、h2、h?2、h3、h?3、h0為含有設計參數的未知變量，cn(n=?3，?2，…，2，3)可由離散傅里葉變換計算得到。以為變量，計算式（9?1）～式（9?6）求解方程組。將所得到的h?1、h1、h2、h?2、h3、h?3的解帶入方程（9?7）可求得變量h0的解。求得到h?1、h1、h2、h?2、h3、h?3、h0解后，可由下列公式得到的解。

3.2 右側二桿組求解

在得到左側三桿組設計參數r1、μ1、a、a′、b、q1、q2的基礎上，如圖1 所示。應用矢量分析法，建立含有右側未知設計參數r2、μ2、d、c、q3的封閉矢量方程：

方程（10）的復數矢量形式為：

取式（11?1）的共軛可得：

將u= 1 帶入式（11?1）和式（11?2），并將兩式相乘，化簡可得：

其中，

利用傅氏級數表示曲線諧波參數時，取有限項低次諧波就可較好的表示原函數［11］，這里取n=?3，?2，…，2，3。將展開后的rC、rC帶入式（12）化簡可得：

其中，

其中，

分析式（13）發(fā)現(xiàn)，在表達式Hi′(i=?3，?2，…，2，3) 中H0′、H?1′、H1′、H2′、H?2′為完整系數表達式，即當rC取更高次諧波時其將不再變化。由復指數的性質可知，這些表達式的值應為0，由此可以得到如下方程：

方程（14）即求解右側二桿組設計變量的綜合方程，cn(n=?3，?2，…，2，3)可由離散傅里葉變換計算得到。借助Math?ematica軟件中的GroebnerBasis命令，以h?5、h5、h?4、h4為變量，計算式（14?1）～式（14?4）的Groebner基，得到關于h?5一元四次方程如下：

式中：ki′= 0，1，2，3，4—由目標軌跡諧波參數cn，構成的已知量。

求解方程（15）可得到h?5的4個非零解析解，將所得到的h?5解帶入式（14?1）～（14?4）的方程組中，即可求得h5、h?4、h4的解，將所得結果帶入方程（14?5）可求得變量h6的解。求得到h?5、h5、h?4、h4、h6解后，可由下列公式得到d、q3、r2、μ2、c的解。

分析方程求解過程可知d、q、3r、2μ、2c的解最終均可轉化為僅含有(n=?3，?2，…，2，3)的計算公式，其為二自由度六桿機構右側二桿組設計參數的計算通式。

將左右兩側設計參數組合，可以得到多個二自由度六桿機構，將綜合所得機構帶入仿真程序，進行運動分析，檢驗是否存在曲柄，有無分支、順序問題，并依據綜合誤差，最終可得到最優(yōu)綜合結果。

4 綜合步驟

依據前面分析，可以建立二自由度六桿機構軌跡綜合的代數方法，具體步驟如下：

（1）將二自由度六桿機構拆分兩部分，根據目標軌跡生成任務，利用式（4）對目標軌跡進行傅里葉變換，計算得到目標軌跡的諧波參數cn。

（2）將所得到的諧波參數cn代入機構左側三桿組的方程組中，計算得設計變量h?1、h1、h2、h?2、h3、h?3、h0的解。由設計參數計算公式可求得參數r1、μ1、a、a′、b、q1、q2。

（3）將目標軌跡的諧波參數cn帶入右側二桿組設計參數的計算通用公式，求解得到設計參數r2、μ2、c、d、q3。

（4）對所得多個二自由度六桿機構進行運動分析，檢驗其是否存在曲柄，有無分支問題、順序問題，最終得到滿足設計要求的二自由度六桿機構。

5 綜合實例

（1）根據目標軌跡得到二自由度六桿機構連桿曲線的諧波參數cn，如表1所示。將上述所得諧波參數cn的值帶入二自由度六桿機構左側方程組中計算得到h?1、h1、h2、h?2、h3、h?3、h0的解，由設計參數計算公式可求得r1、μ1、a、a′、q1、b、q2。

表1 目標軌跡點的諧波參數Tab.1 Fourier Coefficients of Coordinates of Prescribed Points

（2）將目標軌跡的諧波參數cn帶入右側二桿組設計參數的計算通用公式，求解得到設計參數r2、μ2、c、d、q3。

（3）將兩部分的解過進行組合，應用仿真程序對所得綜合結果進行運動分析和檢驗，得到滿足設計要求的機構參數如下：

第一組

r1= 127.8757，μ1= 1.3993，a= 52.1775，a′= 2.1050，q1= 0.0491，q2=?3.0434，b= 80.5811，d= 37.0150，

r2= 53.6080，μ2=?1.6810，c= 209.2492，q3= 0.3203

第二組

r1= 127.8757，μ1= 1.3993，a= 52.1775，a′= 2.1050，

q1= 0.0491，q2=?3.0434，b= 80.5811，d= 37.0450，

r2= 305.340，μ2= 1.5901，c= 209.2492，q3=?0.2221

第三組

r1= 118.9139，μ1= 0.5690，a= 30.1116，a′= 2.0495，

q2= 1.9544，q1= 0.0570，b= 63.9338，d= 52.3545，

r2= 343.9492，μ2= 0.3751，c= 219.8096，q3= 0.0491

第四組

r1= 212.9589，μ1= 1.0811，a= 30.1116，a′= 2.0495，

q1= 0.0411，q2=?1.7581，b= 63.9338，d= 37.0450，

r2= 305.3396，μ2= 1.5901，c= 209.2492，q3=?0.2221第五組

r1= 212.9589，μ1= 1.0811，a= 30.1116，a′= 2.0495，q1= 0.0411，q2=?1.7581，b= 63.9338，d= 52.3545，r2= 343.9492，μ2= 0.3751，c= 219.8096，q3= 0.0491

第六組

r1= 161.3913，μ1= 0.8958，a= 41.1465，a′= 0.6027，

q2=?3.0434，q1= 0.0491，b= 11.3230，d= 52.3545，

r2= 343.9492，μ2= 0.3751，c= 219.8096，q3= 0.0491

第七組

r1= 222.9913，μ1= 0.6005，a= 52.1772，a′= 0.8993，

q1= 0.0490，q2= 0.0982，b= 84.6811，d= 37.0450，

r2= 53.6080，μ2=?1.6810，c= 209.2492，q3= 0.3203

第八組

r1= 222.9913，μ1= 0.6005，a= 52.1772，a′= 0.8993，

q1= 0.0490，q2= 0.0982，b= 84.6811，d= 37.0450，

r2= 305.3396，μ2= 1.5901，c= 209.2492，q3=?0.2221

第九組

r1= 118.914，μ1= 0.5690，a= 30.1116，a′= 2.0495，

q2= 1.9544，q1= 0.0570，b= 63.9338，d= 37.0450，

r2= 53.6080，μ2=?1.6810，c= 209.2492，q3= 0.3203

綜合所得機構的運動仿真圖，如圖2所示。經進一步驗證，發(fā)現(xiàn)滿足桿長條件的9組解，均能較好的生成目標軌跡。目標軌跡與機構生成軌跡的比較圖，如圖3所示。從圖中可以看出，綜合所得機構生成的軌跡與目標軌跡十分接近，說明文中建立的二自由度六桿構軌跡綜合的代數方法具有較高的綜合精度。

圖2 機構運動仿真圖Fig.2 Simulation Analysis of Mechanism

圖3 綜合機構生成軌跡與目標軌跡點圖的比較Fig.3 Comparison between Prescribed Points and Corresponding Generated Path

綜合所得機構的運動軌跡圖，如圖3 所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，綜合所得9個機構均能較好的生成目標軌跡，其中機構7為最優(yōu)機構。應用優(yōu)化方法［4］綜合所得機構生成軌跡和文中代數法綜合所得機構7生成軌跡與目標軌跡的比較圖，如圖4所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，與優(yōu)化法的綜合結果相比較，文中方法綜合所得機構的生成軌跡與目標軌跡的擬合情況更好，所得結果更為精確，誤差更小。比于優(yōu)化方法，這里方法不但獲得較高精度的綜合結果，而且可以同時獲得多個在一般安裝位置的機構尺寸型，這為設計者優(yōu)化機構其他性能提供了更多的選擇。

圖4 機構生成軌跡與目標軌跡點圖的比較Fig.4 Comparison Between Prescribed Points and Corresponding Generated Path

6 結論

建立了一種基于傅氏級數的二自由度六桿機構軌跡綜合的代數求解新方法。與已有的綜合方法相比，該方法無需給定初值和建立數值圖譜庫，不需要進行查找和迭代運算，具有計算速度快、求解精度高、可重復性強的優(yōu)點；二自由度六桿機構相比于齒輪五桿機構得到軌跡類型更加豐富，滿足要求解的個數更多，可以為設計者提供更多的選擇。如果該方法所得結果的精度不能滿足設計要求，可將其作為初值進行優(yōu)化綜合，進一步得到滿足設計要求的結果。