龐錦毅

摘要 傳統(tǒng)的量子場(chǎng)論教學(xué)方法通常是從經(jīng)典場(chǎng)論出發(fā)，首先介紹經(jīng)典場(chǎng)的概念和方法，然后再引入量子力學(xué)的思想，推導(dǎo)出量子場(chǎng)論的基本概念和工具。這種教學(xué)方法對(duì)于已經(jīng)掌握經(jīng)典場(chǎng)論知識(shí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)是自然的，但是對(duì)于那些只掌握量子力學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，往往會(huì)產(chǎn)生巨大的跳躍感。因此，我們提出了一種新的量子場(chǎng)論教學(xué)方法，即直接從多體量子力學(xué)出發(fā)，在正則量子化體系中引入場(chǎng)論的拉格朗日量，并推導(dǎo)出相應(yīng)的哈密頓量，以此來(lái)幫助學(xué)生更好地理解量子場(chǎng)論的基本概念和工具。

關(guān)鍵詞 量子場(chǎng)論；教學(xué)；研究

中圖分類號(hào)：G424文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.10.040

當(dāng)今物理學(xué)領(lǐng)域中量子場(chǎng)論已經(jīng)成為重要的理論框架之一，很多大學(xué)物理學(xué)專業(yè)都在積極推廣量子場(chǎng)論相關(guān)的課程教學(xué)。我們知道場(chǎng)論在統(tǒng)一量子力學(xué)和狹義相對(duì)論的過(guò)程中，首先會(huì)產(chǎn)生反粒子的概念。因此所有的論述都是在一個(gè)多粒子體系中完成的，這說(shuō)明量子場(chǎng)論本質(zhì)上是一個(gè)描述多粒子體系的有效的數(shù)學(xué)工具。從教學(xué)上講，我們可以充分利用這一特點(diǎn)，從大家熟知的單粒子量子力學(xué)出發(fā)發(fā)展出多粒子系統(tǒng)的量子理論，進(jìn)而給出哈密頓公式體系下的二次量子化描述。然后我們將給出一個(gè)拉格朗日公式體系下的非相對(duì)論量子場(chǎng)論，它與之前的哈密頓公式體系下的二次量子化描述是完全等價(jià)的，因此也是一個(gè)描述多粒子系統(tǒng)的量子理論。之后的任務(wù)就是將這樣一個(gè)拉格朗日公式體系下的場(chǎng)論發(fā)展為相對(duì)論性的。最終，我們給學(xué)生寫(xiě)出一個(gè)洛倫茲不變的拉格朗日公式體系下的量子場(chǎng)論，完成量子力學(xué)與狹義相對(duì)論的統(tǒng)一。

1從量子力學(xué)到量子場(chǎng)論的過(guò)渡

傳統(tǒng)的量子場(chǎng)論教學(xué)通常從經(jīng)典場(chǎng)論開(kāi)始，然后通過(guò)正則量子化方法得到對(duì)應(yīng)的量子場(chǎng)論[1-4]。這種教學(xué)方式對(duì)于已經(jīng)對(duì)場(chǎng)論有一定了解的學(xué)生來(lái)說(shuō)是自然的，但是對(duì)于只學(xué)習(xí)了量子力學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)卻很困難。因?yàn)閷W(xué)生需要理解經(jīng)典場(chǎng)論中的概念和數(shù)學(xué)工具，這些內(nèi)容與量子力學(xué)中的概念和工具是不同的，很多學(xué)生在量子力學(xué)的學(xué)習(xí)中，剛剛經(jīng)歷了一個(gè)從經(jīng)典物理的思維習(xí)慣到算符―態(tài)矢描述方式的蛻變，如果此時(shí)再次回到經(jīng)典理論的框架中，這些學(xué)生會(huì)感覺(jué)到很強(qiáng)烈的知識(shí)斷層，進(jìn)而失去解決問(wèn)題的立足點(diǎn)。他們會(huì)無(wú)法分清自己究竟是在處理一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題還是量子問(wèn)題。

3多體量子力學(xué)和量子場(chǎng)論

與傳統(tǒng)教學(xué)方法相比，以多體量子力學(xué)為切入點(diǎn)是一種很自然且很容易讓學(xué)生接受的方式。場(chǎng)論與多體理論具有天然的鏈接，量子場(chǎng)論的基本任務(wù)是統(tǒng)一量子力學(xué)和狹義相對(duì)論，而狹義相對(duì)論的引入會(huì)直接導(dǎo)致反粒子的概念，這會(huì)打破量子力學(xué)中粒子數(shù)守恒的簡(jiǎn)單模型，但單一的單粒子系統(tǒng)、兩粒子系統(tǒng)甚或是多粒子系統(tǒng)，發(fā)展為不同粒子數(shù)狀態(tài)的線性疊加，這就產(chǎn)生了Fock空間的概念。從本質(zhì)上講，量子場(chǎng)論就是一個(gè)Fock空間上建立的多體量子力學(xué)系統(tǒng)。因此，場(chǎng)論的教學(xué)應(yīng)當(dāng)抓住這一本質(zhì)，慢慢地從粒子數(shù)守恒的量子力學(xué)過(guò)渡到Fock空間中的多體量子理論，最終將學(xué)生引入場(chǎng)論的理論構(gòu)造中。實(shí)際上對(duì)于前兩者具有高等量子力學(xué)基礎(chǔ)的同學(xué)是非常熟悉的，只是當(dāng)我們?cè)趫?chǎng)論中不停地向他們灌輸經(jīng)典場(chǎng)的觀念時(shí)，他們無(wú)法認(rèn)識(shí)到量子場(chǎng)論與量子力學(xué)之間非常自然和清晰的演化脈絡(luò)。

4從哈密頓體系過(guò)渡到拉格朗日體系

盡管這一推導(dǎo)過(guò)程很難直接與物理圖像聯(lián)系，但是它卻自然地將場(chǎng)論的拉格朗日體系與一個(gè)多體量子系統(tǒng)的哈密頓量連接起來(lái)，這就給學(xué)生提供了從量子力學(xué)到量子場(chǎng)論的通道，向他們指明了如何將量子力學(xué)中學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用到量子場(chǎng)論中。如果沒(méi)有這樣一個(gè)過(guò)渡，場(chǎng)論中的很多計(jì)算會(huì)顯得非常零碎，量子場(chǎng)論看上去好像與量子力學(xué)毫無(wú)關(guān)聯(lián)，但有些地方又會(huì)突然用到一些量子力學(xué)的概念。這樣一個(gè)邏輯斷層是很多學(xué)生學(xué)習(xí)量子場(chǎng)論的障礙，我們所提出的這一新的教學(xué)思路可以有效克服這一弊病。

5相對(duì)論量子力學(xué)

我們引入相對(duì)論協(xié)變性的方式與傳統(tǒng)的相對(duì)論量子力學(xué)有所不同[5]。這里我們直接對(duì)非相對(duì)論場(chǎng)論進(jìn)行改造，而非傳統(tǒng)教學(xué)中對(duì)薛定諤方程進(jìn)行改造。雖然相對(duì)論量子力學(xué)是解決物理學(xué)中微觀現(xiàn)象的重要理論，但是其涉及負(fù)能量、負(fù)幾率等問(wèn)題，在量子場(chǎng)論中并不需要使用這些概念。在量子場(chǎng)論中我們可以使用正能量、正幾率來(lái)描述物理現(xiàn)象，并且這種描述方法更加符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

在教授量子場(chǎng)論時(shí)應(yīng)該避免使用相對(duì)論量子力學(xué)中的一些概念，以便讓學(xué)生更好地理解量子場(chǎng)論。例如，我們不必討論薛定諤方程或波粒二象性等概念，而應(yīng)該直接介紹量子場(chǎng)論中的基本概念，如量子場(chǎng)、量子態(tài)、相互作用等。

此外，量子場(chǎng)論的數(shù)學(xué)形式和相對(duì)論量子力學(xué)也有很大的不同。在相對(duì)論量子力學(xué)中，我們使用四維矢量和洛倫茲變換來(lái)描述物理現(xiàn)象，而在量子場(chǎng)論中我們使用算符和對(duì)易關(guān)系來(lái)描述物理現(xiàn)象。因此，我們需要特別注重對(duì)算符和對(duì)易關(guān)系的講解，以便學(xué)生更好地理解量子場(chǎng)論的數(shù)學(xué)形式。在教授量子場(chǎng)論時(shí)，還應(yīng)該特別注重實(shí)驗(yàn)結(jié)果和物理概念的聯(lián)系。量子場(chǎng)論中的許多概念和公式都是基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果和物理概念推導(dǎo)出來(lái)的，因此我們需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和物理概念來(lái)解釋量子場(chǎng)論中的概念和公式，讓學(xué)生更好地理解量子場(chǎng)論的物理意義。

總之，教授量子場(chǎng)論需要注意避免相對(duì)論量子力學(xué)的一些缺陷和不必要的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)量子場(chǎng)論的基本概念和數(shù)學(xué)形式，并注重實(shí)驗(yàn)結(jié)果和物理概念的聯(lián)系，以便讓學(xué)生更好地理解量子場(chǎng)論。

6總結(jié)

本文提出了對(duì)于量子場(chǎng)論教學(xué)的新思路。通過(guò)將多體量子力學(xué)中的哈密頓量轉(zhuǎn)化為場(chǎng)論中的拉格朗日量，我們可以直接從多體量子力學(xué)的基礎(chǔ)上引入量子場(chǎng)論的概念，從而幫助那些只掌握量子力學(xué)知識(shí)的學(xué)生更好地理解量子場(chǎng)論。通過(guò)對(duì)這種新的量子場(chǎng)論教學(xué)方法進(jìn)行總結(jié)和展望，可以強(qiáng)調(diào)這種方法的優(yōu)勢(shì)和局限性，同時(shí)也可以進(jìn)一步討論改進(jìn)和發(fā)展的方向。例如，我們可以探討如何將這種方法應(yīng)用到更復(fù)雜的量子場(chǎng)論模型中，以及如何將這種方法與其他教學(xué)方法相結(jié)合，以提高教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1]Steven Weinberg. The Quantum Theory of Fields[M]. Cambridge University Press， 1995.

[2]Michael Peskin， Daniel Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory[M].Westview Press， 1995.

[3]Mark Srednicki. Quantum Field Theory[M].Cambridge University Press， 2007.

[4]Anthony Zee. Quantum Field Theory in a Nutshell[M].Princeton University Press， 2003.

[5]J.D. Bjorken， S.D. Drell. Relativistic Quantum Mechanics[M]. McGraw-Hill， 1964.