王曉欣

一、探究背景

“非指示性”教學(xué)由浙江師范大學(xué)鄭逸農(nóng)教授于2000年提出，是對(duì)以教師為中心的”指示性“教學(xué)的一種反撥，其更重視的是學(xué)生的自主探究、自主成長(zhǎng)和學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位。其核心思想和準(zhǔn)則與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》的精神是吻合的。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中指出義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)培養(yǎng)目標(biāo)是使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)。而在“非指示性”教學(xué)中也要求在布置任務(wù)時(shí)，教師應(yīng)該依據(jù)學(xué)生自身的發(fā)展水平將要求設(shè)置為三個(gè)維度，難度由低到高，讓每個(gè)學(xué)生都參與，也讓不同層級(jí)的學(xué)生達(dá)到不同層級(jí)的要求，甚至可以做得更好，體現(xiàn)了維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué)理念。

“非指示性”教學(xué)還要求在課堂教學(xué)中應(yīng)該遵循“先生后師”的原則，這與課程標(biāo)準(zhǔn)中“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者”也是相吻合的。

如何在數(shù)學(xué)課堂中貫徹落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)中的精神是一線教師一直關(guān)注并實(shí)踐的重點(diǎn)。所以筆者以浙教版七年級(jí)上冊(cè)《5.1一元一次方程》為例，進(jìn)行了“非指示性”教學(xué)模式下初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)初探，訴諸筆端，與諸君共享。

二、探究過(guò)程

（一）情境創(chuàng)設(shè)，引入新知

1.游戲：猜年齡

問(wèn)題1：猜一猜老師的年齡是多少歲？

（設(shè)計(jì)意圖：調(diào)動(dòng)課堂氛圍，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入上課狀態(tài)。）

問(wèn)題2：老師的年齡乘以2再加上4剛好是60，老師多少歲？你是如何計(jì)算出老師的年齡的？

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧小學(xué)學(xué)過(guò)的算式法和方程法。）

問(wèn)題3：同學(xué)們，你們還記得什么叫做方程嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：回顧方程的概念，為一元一次方程概念的引出作鋪墊。）

2.陽(yáng)光體育大課間

任務(wù)：列出下列三個(gè)問(wèn)題中的方程。

（1）一個(gè)排球按照原價(jià)8折銷售的售價(jià)為32元，這個(gè)排球的原價(jià)是多少元？

設(shè)這個(gè)排球的原價(jià)為x元，可列出方程________.

（2）小華和小全兩人共跳繩330下，小華比小全多跳30下，小全跳了多少下？

設(shè)小全跳了x下，可列出方程_______________.

（3）小強(qiáng)、小紅，小杰和張明四位同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，每人投了10次，小強(qiáng)投進(jìn)6個(gè)，小紅比張明多投進(jìn)2個(gè)，小杰比張明少投進(jìn)2個(gè)，四個(gè)人平均每人投進(jìn)的個(gè)數(shù)為6個(gè)，問(wèn)張明投進(jìn)多少個(gè)？

設(shè)張明投進(jìn)x個(gè)，可列出方程________________.

要求：正確、快速、簡(jiǎn)潔。

時(shí)間：3分鐘。

問(wèn)題1：有沒(méi)有同學(xué)愿意與同學(xué)們分享你的三個(gè)方程及列方程的思路？

問(wèn)題2：觀察上述三個(gè)方程，它們有什么共同點(diǎn)？

（設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際并根據(jù)“非指示”性教學(xué)模式設(shè)置學(xué)習(xí)任務(wù)，一是引出一元一次方程的概念，二是貫徹落實(shí)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位。）

3.數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)

問(wèn)題1：同學(xué)們，你們知道一元一次方程中元的含義是什么嗎？為什么我們將未知數(shù)稱之為元？讓我們一起了解“元”的由來(lái)吧！

數(shù)學(xué)史材料：

著名的中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有專門一章研究方程，但古代數(shù)學(xué)家表示“方程”時(shí)，沒(méi)有使用專門的記法來(lái)表示未知數(shù)。

宋元時(shí)期，中國(guó)的數(shù)學(xué)家們創(chuàng)立了“天元術(shù)”，用天元來(lái)表示未知數(shù)x，“立天元一”相當(dāng)于“設(shè)未知數(shù)x”。

（二）概念辨析，理解新知

任務(wù)：判斷下列各式是不是一元一次方程，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（1）3x+4? ? （2）-5x=7? ?（3）√x+1=5

（4）3x-2y=1 （5）x=6? （6）1-x2=0

要求：正確、快速、簡(jiǎn)潔。

時(shí)間：2分鐘。

問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們四人小組內(nèi)分享自己的答案，比較是否有所不同，如果有，請(qǐng)組內(nèi)統(tǒng)一答案。

問(wèn)題2：以四人小組為單位，選派一名小組代表上臺(tái)分享小組的成果。

問(wèn)題3：通過(guò)該問(wèn)題的解決，你能說(shuō)一說(shuō)判斷一個(gè)方程是否是一元一次方程的關(guān)鍵什么嗎？

（三）深入探究，再探新知

1.概念引出：一個(gè)排球按照原價(jià)8折銷售的售價(jià)為32元，這個(gè)排球的原價(jià)是多少元？

剛剛已經(jīng)列出方程：設(shè)這個(gè)排球的原價(jià)為x元，

0.8x=32

問(wèn)題1：你能算出這個(gè)排球的原價(jià)嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你是如何計(jì)算的。

問(wèn)題2：你的答案正確嗎？你是如何驗(yàn)證的？

概念：像x=40這樣能使一元一次方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，也叫做方程的根。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生直觀感受一元一次方程的解的概念。

2.概念鞏固：小華和小全兩人共跳繩330下，小華比小全多跳30下，小全跳了多少下？

設(shè)小全跳了x下，列出方程2x+30=330。

例1 判斷下列x的值是不是一元一次方程2x+30=330的解，并說(shuō)明理由。

（1）x=140? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2） x=150

問(wèn)題1：x=140是不是該方程的解？你是如何判斷的？（教師書(shū)寫(xiě)格式規(guī)范）

問(wèn)題2：請(qǐng)你們仿照老師的格式，重新書(shū)寫(xiě)判斷x= 150是不是該方程的解的過(guò)程。

（設(shè)計(jì)意圖：理解鞏固一元一次方程的解的概念，掌握規(guī)范的書(shū)寫(xiě)格式。）

3.概念深入：小強(qiáng)、小紅，小杰和張明四位同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，每人投了10次，小強(qiáng)投進(jìn)6個(gè)，小紅比張明多投進(jìn)2個(gè)，小杰比張明少投進(jìn)2個(gè)，四個(gè)人平均每人投進(jìn)的個(gè)數(shù)為6個(gè)，問(wèn)張明投進(jìn)多少個(gè)？

設(shè)張明投進(jìn)x個(gè)，列出方程3x+6/4 = 6

問(wèn)題1：在剛剛的問(wèn)題中，是老師給了大家兩個(gè)數(shù)字，分別是x=140和x=150去判斷它們是否是方程的解。但是現(xiàn)在這個(gè)問(wèn)題中，老師并沒(méi)有提供數(shù)字，同學(xué)們，你們能夠自己去試著找一找該方程的解嗎？

問(wèn)題2：老師發(fā)現(xiàn)部分同學(xué)，已經(jīng)直接對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行了求解。會(huì)對(duì)該方程求解的同學(xué)請(qǐng)舉手。（部分學(xué)生舉手）這部分同學(xué)非常不錯(cuò)，已經(jīng)超前掌握了我們后面的學(xué)習(xí)內(nèi)容。那除了超前使用后面的學(xué)習(xí)內(nèi)容之外，我們還有其他方法去找一找這個(gè)方程的解嗎？（有學(xué)生回答：猜。）

問(wèn)題3：那我們?nèi)绾尾履?？根?jù)什么去猜呢？請(qǐng)四人小組合作有理有據(jù)地猜一猜吧。

生1：小紅最多投進(jìn)10個(gè)，張明比她少兩個(gè)，所以張明最多投進(jìn)8個(gè)。小杰最少投進(jìn)0個(gè)，張明比她多兩個(gè)，所以張明最少投進(jìn)2個(gè)。所以x應(yīng)該在2和8之間。

生2：x還應(yīng)該是整數(shù)，投球沒(méi)有半個(gè)。

問(wèn)題4：請(qǐng)同學(xué)利用下列表格去試著找一找該方程的解。

問(wèn)題5：該方程的解是多少？

生：x=6

問(wèn)題6：該方程還有其他解嗎？請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合表格回答這個(gè)問(wèn)題.

生：沒(méi)有了，因?yàn)殡S著x的增大，（3x+6）/3的值也隨之增大，隨著x的減小，（3x+6）/3的值也隨之減小。

總結(jié)：像剛剛這樣子尋找該方程的解的方法叫嘗試檢驗(yàn)法，是我們數(shù)學(xué)中解決問(wèn)題的一種重要方法。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生積累處理未知問(wèn)題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。）

（四）總結(jié)歸納，回顧新知

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們，你有什么收獲？

三、探后思考

（一）先生后師，尊重學(xué)生

“非指示性”教學(xué)要求在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師通過(guò)問(wèn)題和環(huán)節(jié)的合理設(shè)置，先由學(xué)生自主思考，自主解決，而后再由教師評(píng)價(jià)指導(dǎo)，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)主體的地位，尊重學(xué)生的差異。

在本次探究中，筆者基本已經(jīng)按照“先生后師”的原則進(jìn)行課堂教學(xué)，從而達(dá)到了以下兩個(gè)尊重，體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位。

1.尊重學(xué)生的差異

學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的差異是客觀存在的，在課堂上如何處理學(xué)生的認(rèn)知差異是對(duì)教師的考驗(yàn)。在本次教學(xué)探究過(guò)程中，筆者牢牢抓住了“非指示性”教學(xué)的三級(jí)要求，在尊重學(xué)生的差異的基礎(chǔ)上，力求讓不同學(xué)生達(dá)到不同的要求，不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。如在概念辨析過(guò)程中，對(duì)學(xué)生的三級(jí)要求是：正確、快速、簡(jiǎn)潔。正確是最低層級(jí)的要求，是預(yù)設(shè)班里大部分學(xué)生要達(dá)到的水平，是對(duì)一元一次方程的概念達(dá)到一個(gè)了解的狀態(tài)?？焖偈窃谡_基礎(chǔ)上的進(jìn)一步要求，不僅僅要求學(xué)生的正確率，也要求學(xué)生的速度。簡(jiǎn)潔是最高層級(jí)的要求，也是對(duì)學(xué)生新知識(shí)學(xué)習(xí)水平的考查。若學(xué)生能夠在前兩級(jí)要求的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)潔表述出理由，這就說(shuō)明了學(xué)生對(duì)于一元一次方程這一概念由了解進(jìn)入到了理解這一狀態(tài)。

2.尊重學(xué)生的心理發(fā)展

初中生正處于青春期階段，此時(shí)的他們對(duì)于外界充滿了好奇心，也樂(lè)于幫助他人。在概念辨析過(guò)程中，筆者先由學(xué)生自主完成對(duì)6個(gè)式子的判斷并思考理由。結(jié)束后，筆者并不著急公布答案。而是選擇了讓學(xué)生之間互相交流。這是為何？因?yàn)榇藭r(shí)的他們最好奇的不僅僅是自己的答案正確與否，更好奇同伴做得如何。通過(guò)他們的交流，再讓學(xué)生組內(nèi)合作統(tǒng)一答案，既能讓學(xué)生在交流的過(guò)程中重新理清一元一次方程的概念，糾正認(rèn)知偏差，也能讓學(xué)生互相幫助，體會(huì)幫助他人和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

“非指示性”教學(xué)模式中的“先生后師”，尊重了學(xué)生，確確實(shí)實(shí)地讓學(xué)生成為了學(xué)習(xí)的主體，而老師則是作為了組織者、引導(dǎo)者和合作者。

（二）問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)思維

“非指示性”教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐中要以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為導(dǎo)向組織教學(xué)活動(dòng)，通過(guò)問(wèn)題來(lái)引領(lǐng)思維。本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是嘗試檢驗(yàn)法的引出和理解。為什么要用嘗試檢驗(yàn)法去找方程解是很多學(xué)生難以理解的，也是在日常教學(xué)中很多老師會(huì)一筆帶過(guò)的。如果一筆帶過(guò)，那顯然是錯(cuò)過(guò)了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一個(gè)好機(jī)會(huì)。嘗試檢驗(yàn)法是引導(dǎo)學(xué)生思考在未知情況下該如何解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從何處突破的重要方法。

在本次教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，筆者利用陽(yáng)光體育大課間這一活動(dòng)中列出的三個(gè)一元一次方程層層推進(jìn)：1.通過(guò)求排球的原價(jià)和如何判斷x=40是否正確這兩個(gè)問(wèn)題先引出一元一次方程的解的概念，讓學(xué)生直觀感知；2.在跳繩問(wèn)題中，筆者給出x=140和x=150，讓學(xué)生判斷其是否是方程的解。目的在于讓學(xué)生理解鞏固一元一次方程的解的概念；3.投籃問(wèn)題中方程的解是多少？如何去求？這是在前兩個(gè)問(wèn)題基礎(chǔ)上的進(jìn)一步提升。在跳繩問(wèn)題中，是由教師給出兩個(gè)值進(jìn)行判斷是否是方程的解，那么投籃問(wèn)題中教師沒(méi)有對(duì)x進(jìn)行賦值，又該如何解決呢？

通過(guò)上述層層推進(jìn)，對(duì)于投籃問(wèn)題中方程的解，此時(shí)的學(xué)生分為了三類：一是直接求解型；二是猜測(cè)驗(yàn)算型；三是茫然無(wú)知型。筆者肯定直接求解型的同學(xué)，學(xué)在前列，而后側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)驗(yàn)算，引導(dǎo)學(xué)生思考是否可以確定x的大致范圍及其方法和依據(jù)。

通過(guò)上述三個(gè)問(wèn)題的遞進(jìn)，不僅引導(dǎo)學(xué)生理解掌握了一元一次方程的解的概念，也讓學(xué)生積累了處理未知問(wèn)題時(shí)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一種提升。

“非指示性”教學(xué)模式是符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神的，是值得我們繼續(xù)嘗試和挖掘的。路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索。