祁勝林

摘要：在“雙減”政策的背景下，教師只有實(shí)施精準(zhǔn)化教學(xué)，才能實(shí)現(xiàn)減負(fù)高效提質(zhì)的目標(biāo).而精準(zhǔn)化教學(xué)的組織方式多種多樣，其中微專題教學(xué)是值得推崇的一種教學(xué)方法.尤其是在學(xué)期末的總復(fù)習(xí)階段，實(shí)施微專題復(fù)習(xí)模式，會(huì)使復(fù)習(xí)更有針對性、更易于操作，效率也會(huì)更高.

關(guān)鍵詞：微主題；中點(diǎn)；輔助線；復(fù)習(xí)

1背景分析

進(jìn)入八年級，學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)入了關(guān)鍵時(shí)期.尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科，與七年級階段的基礎(chǔ)性內(nèi)容偏多相比，八年級是整個(gè)初中階段學(xué)習(xí)難度提升較大的一年.具體體現(xiàn)在要求學(xué)生掌握的知識點(diǎn)增多，尤其是幾何部分中性質(zhì)定理的抽象性、幾何圖形的復(fù)雜多變性，對學(xué)生分析和解決問題的能力、抽象概括能力、邏輯推理能力、證明和表達(dá)的能力提出了更高的要求.因此，八年級是初中生學(xué)習(xí)的分水嶺，一些能力較好的學(xué)生能迎難而上、攻克難關(guān)，而許多學(xué)生由于基礎(chǔ)較薄弱，容易出現(xiàn)畏難情緒，數(shù)學(xué)成績走下坡路.人教版八年級上冊涉及的幾何部分有《三角形》《全等三角形》《軸對稱》，在期末復(fù)習(xí)階段，這些內(nèi)容涉及的概念、性質(zhì)、定理以及應(yīng)用是復(fù)習(xí)的重難點(diǎn)，當(dāng)這些知識點(diǎn)糅合在一起對學(xué)生進(jìn)行考查時(shí)，條件相對隱蔽和復(fù)雜，綜合性強(qiáng)，靈活性大，往往需要教師撥開迷霧，指點(diǎn)迷津，輔之以總結(jié)方法，提煉思想.例如輔助線的作法和構(gòu)造技巧，是這學(xué)期學(xué)生需要掌握的重難點(diǎn)，需要教師騰出較多的時(shí)間，給學(xué)生作專題復(fù)習(xí).然而專題復(fù)習(xí)要求教師全面系統(tǒng)地歸納總結(jié)知識點(diǎn)和各類題型，提煉數(shù)學(xué)思想和方法，需花費(fèi)大量時(shí)間準(zhǔn)備，教學(xué)實(shí)施起來也需要大量時(shí)間和精力.為了在有限的時(shí)間里實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)化教學(xué)，提高課堂教學(xué)的效率，不妨把這種專題細(xì)化成一個(gè)個(gè)微小專題，即現(xiàn)在提倡的微專題教學(xué).

2構(gòu)建微主題，實(shí)施高效復(fù)習(xí)策略

與傳統(tǒng)的大專題復(fù)習(xí)相比，微專題復(fù)習(xí)的教學(xué)容量少，往往只是針對某一個(gè)知識點(diǎn)展開的，其講授形式上可以多樣化，時(shí)間上也不受限制，針對性強(qiáng)，易于操作，是一種精準(zhǔn)化教學(xué)模式.從人教版八年級數(shù)學(xué)上冊的幾何部分的內(nèi)容來看，有關(guān)輔助線的作法和構(gòu)造技巧在內(nèi)容上可以細(xì)分為中點(diǎn)的處理技巧、線段和差的處理技巧、角平分線問題的處理技巧、半角與倍角的處理技巧、一線三垂直模型的作法、利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)作輔助線的方法、構(gòu)造全等三角形和等腰三角形的技巧.下面就以中點(diǎn)的處理技巧——與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線作法為一個(gè)微專題，具體談?wù)勅绾螌?shí)施微專題教學(xué).

2.1復(fù)習(xí)作法，確立微專題

在期末總復(fù)習(xí)階段，教師首先需要幫助學(xué)生整合各章節(jié)的知識點(diǎn)，將平時(shí)學(xué)到的零散的、零碎的知識，尤其是一些有某種關(guān)聯(lián)性的知識點(diǎn)，通過縱橫比較、歸納與總結(jié)，有機(jī)地整合在一起，建立知識網(wǎng)絡(luò)，形成結(jié)構(gòu)體系.復(fù)習(xí)的過程，也是學(xué)生對之前學(xué)習(xí)的知識的重新認(rèn)識和進(jìn)一步深化和鞏固，還可以幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺.

在教學(xué)實(shí)施中，教師可以通過提出問題：在這學(xué)期我們學(xué)習(xí)了哪些中點(diǎn)類問題呢？我們又是怎么處理這些問題的呢？幫助學(xué)生簡單地回顧一些有關(guān)的知識點(diǎn).從《三角形》章節(jié)中中線的概念和性質(zhì)，到《全等三角形》章節(jié)中的遇到中線，如何作輔助線構(gòu)造全等三角形，再到《軸對稱》章節(jié)中的線段垂直平分線、等腰三角形、等邊三角形，每一章里都涉及了中點(diǎn)、中線，整個(gè)學(xué)習(xí)過程從簡單的三角形過渡到特殊三角形，在逐漸深入的探索和應(yīng)用中，中線的性質(zhì)也逐漸豐滿起來.中線這一知識點(diǎn)無疑可以形成一個(gè)大板塊的專題，而與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線的作法是其中的一個(gè)細(xì)微又重要的專題，它是一種構(gòu)圖法，是基于中線的性質(zhì)，再綜合一些輔助線，構(gòu)建基本圖形的方法.大體上講，可以歸納為四種方法.

如圖1-3，已知△ABC，D為BC的中點(diǎn).

方法1：倍長中線法，如圖1，延長中線AD，使DE=AD，連接CE，可得△ABD≌△ECD（SAS）.

方法2：作平行線法，如圖2，過點(diǎn)C作CE∥AB，交AD的延長線于E，可得△ABD≌△ECD（AAS）.

方法3：作垂直法，如圖3，過點(diǎn)B作BF⊥AD交AD于F，過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長線于E，可得△BDF≌△CDE（AAS）.

這三種方法都能將題目條件轉(zhuǎn)化到同一對三角形中來處理問題，可用于構(gòu)造全等三角形、平行線、相等線段.

方法4：等腰三角形的“三線合一”法，如圖4，已知等腰三角形ABC，且AB＝AC.取底邊BC的中點(diǎn)D，連接AD，則AD⊥BC，且AD平分∠BAC.

事實(shí)上，在△ABC中，① AB＝AC；② AD平分∠BAC；③ BD＝CD；④ AD⊥BC.對于以上四條語句，任意選擇兩個(gè)作為條件，都能推出另外兩個(gè)結(jié)論，即“知二得二”.

2.2典例應(yīng)用，鞏固微專題

教師在選擇例題時(shí)，可以先選擇一些經(jīng)典的、基礎(chǔ)的、示范性的例題，若能將與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線的多種作法用于解決同一題，實(shí)現(xiàn)一題多解，則可以幫助學(xué)生深入理解所學(xué)的知識.

例1如圖5，在△ABC中，AD為中線，E為AB上一點(diǎn)，AD與CE交于F，且AE=EF，求證：AB=CF.

證法一：延長FD至G，使FD=DG，連接BG，如圖6，

顯然△BDG≌△CDF（SAS），∴∠G=∠CFD，CF=BG.

∵AE=EF，∴∠EAF=∠AFE.

∵∠AFE=∠CFD，∴∠EAF=∠G，

∴AB=BG，∴AB=CF.

證法二：如圖7，延長AD至P，使AD=DP，連接CP.

顯然△BDA≌△CDP，所以AB=CP，∠BAD=∠P，根據(jù)AE=EF，有∠EAF=∠AFE.又根據(jù)對頂角相等，故∠P=∠CFP.所以CP=CF，所以AB=CF.

證法三：過點(diǎn)B作BH∥CF，交AD的延長線于H，如圖8，

顯然△BDH≌△CDF（AAS），∴CF=BH.∠H=∠CFD.

∵AE=EF，∴∠EAF=∠AFE.∵∠AFE=∠CFD，∴∠EAF=∠H，∴AB=BH，∴AB=CF.

證法四：如圖9，過點(diǎn)C作CQ∥AB交AD的延長線于Q.顯然△BDA≌△CDQ，所以可得∠BAD=∠Q，AB=QC，根據(jù)AE=EF，有∠EAF=∠AFE.又根據(jù)對頂角相等，故∠Q=∠CFQ.所以CQ=CF，所以AB=CF.

證法五：如圖10，過點(diǎn)B作BM⊥AD于M，過點(diǎn)C作CN⊥AD，交AD的延長線于N.

顯然△BDM≌△CDN（AAS），∴BM=CN.

∵AE=EF，∴∠BAM=∠AFE.又∵∠AFE=∠CFN，

∴∠BAM=∠CFN.再證△BAM≌△CFN（AAS）.

∴AB=CF.

這是一道典型的與中點(diǎn)有關(guān)的題目，證法一和證法二都運(yùn)用了倍長中線法.由于存在中點(diǎn)，則必有一組邊相等和中點(diǎn)處的對頂角相等，將中線或部分中線延長一倍，通過證明全等，從而實(shí)現(xiàn)相等線段和相等角轉(zhuǎn)化的目的.證法三和證法四運(yùn)用了作平行線法，由于有中點(diǎn)存在，則有一組邊相等和中點(diǎn)處的對頂角相等，通過作平行，可得另一對角相等，根據(jù)“ASA”或“AAS”證明全等，為解決問題打開思路并提供必備條件.證法五則是運(yùn)用了作垂直法.同樣由于中點(diǎn)的存在，有一組邊相等和中點(diǎn)位置的一對對頂角相等，通過作垂直，也可構(gòu)造全等三角形繼而解決問題.

將與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線的三種作法靈活巧妙地運(yùn)用于同一道題的解決中，體現(xiàn)了題目不在多而在精的原則，有利于學(xué)生比較這三種方法的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識，在一題多解中打開思路，提高學(xué)習(xí)熱情，體會(huì)數(shù)學(xué)解題的妙處.

2.3變式探究，深化微專題

變式探究題涉及的知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度頗大，需要對已知條件的多方位挖掘，對幾何圖形的直觀把握，對作輔助線的方法和技巧的熟練運(yùn)用，這要求學(xué)生有較高的分析和綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力.

例2如圖11，△ABC為等腰直角三角形，CA=CB，∠ACB=90°，M，N為直線BC上兩點(diǎn)，BN=CM.連接AM，過C作CD⊥AM交直線AB于D，連接DN.

（1） 如圖12，當(dāng)M，N重合時(shí)，求證：∠AMC=∠DNB.

（2） 當(dāng)M，N不重合時(shí)，（1）中結(jié)論還成立嗎？試說明理由.

（3） 如圖14，當(dāng)M，N分別在BC，CB的延長線上時(shí)，作圖并直接寫出∠AMC與 ∠DNB之間的數(shù)量關(guān)系.

解析：（1） 作CF⊥AB于F，交AM于G，如圖10，根據(jù)等腰直角三角形的“三線合一”的性質(zhì)得到∠ACF=∠BCF=45°.因?yàn)镃D⊥AM，所以∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠1=∠2，推出△AGC≌△CDB（ASA），于是得到CG=BD，證得△CGM≌△BDN（SAS），所以∠AMC=∠DNB.

（2） 結(jié)論還成立.作CF⊥AB于F，交AM于G，如圖15，同理（1），可以推出△AGC≌△CDB（ASA），于是得到CG=BD，再證得△CGM≌△BDN（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

（3） 如圖16，過點(diǎn)C作CF⊥AB交AM的延長線于G，由CH⊥AM，得到∠GHC=∠GFB=90°，由于∠GCH=∠FCD，得到∠G=∠CDB，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到∠ACG=∠CBD=135°，推出△ACG≌△CBD（AAS），得到BD=CG.證得∠MCG=∠NBD=45°，又由已知的BN=CM，推出△CGM≌△NBD（SAS）.于是得到∠GMC=∠N，由于∠AMC+∠GMC=180°，等量代換得到∠AMC+∠DNB=180°.

例3已知△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，連接BE，CD，O是BE的中點(diǎn)，連接AO.

（1） 特例探究：如圖17，當(dāng)點(diǎn)D，E分別在AB，AC上時(shí)，線段AO與CD的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________.

（2） 深入探究：如圖18，當(dāng)點(diǎn)D，E不在AB，AC上時(shí)，試判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立，若成立，請證明你的結(jié)論;若不成立，請說明理由（僅就圖② 的情形）.

解析：（1） 由已知條件，先證明△DAC≌△EAB（SAS），所以CD=BE，∠ACD=∠ABE.再過點(diǎn)B作BF∥AE交AD的延長線于F，如圖19，可得到△AOE≌△FOB（AAS），所以AE=FB，∠OAC=∠F，繼而證得△ABE≌△BAF（SAS），所以AF=BE，所以AO=1/2AF=12BE=1/2CD，即AO=OE=OB，所以∠OAE=∠OEA=∠ADC.又∠DAO+∠OAE=90°，所以∠DAO+∠ADC=90°，所以AO⊥CD.

（2） 如圖20，延長AO到G，使OG=AO，連接BG，EG.顯然可以得到△AOE≌△GOB（SAS），所以AO=GO，AE=GB，∠OAE=∠BGO，所以AE∥BG，所以∠ABG+∠BAE=180°.又∠DAE+∠BAC=180°，即∠DAC+∠BAE=180°，所以∠ABG=∠DAC.故可以得到△ABG≌△CAD（SAS），所以AG=DC，所以AO=1/2CD.因?yàn)椤螧AG+∠CAG=90°，所以∠ACD+∠CAG=90°，所以AO⊥CD.

例2是對等腰三角形“三線合一”法的綜合應(yīng)用，例3是以等腰直角三角形為背景的對中點(diǎn)輔助線的作法——作平行線法和倍長中線法的應(yīng)用.兩道題都是先從特殊情況著手，再過渡到一般情形的探究，雖然已知條件和圖形變得更加復(fù)雜、抽象，但是特殊情形的解答過程往往隱含著一般情形的解決方法，所以只要厘清題目的條件，抓住問題的本質(zhì)，找尋解決問題的突破口，確定基本的解題思路，解決問題也是水到渠成的.

像這種變式探究的綜合題，作對輔助線是解決問題的突破口，一般來說需要借助輔助線巧妙地構(gòu)造出全等三角形.有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多根輔助線，和多次證明全等三角形的情況，這需要解題者步步為營，可以從待求的結(jié)論出發(fā)，采用逆向思維來推理，為含有結(jié)論的兩個(gè)全等三角形找對應(yīng)相等的邊角關(guān)系.總之，基本的思路可以概括為從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.

3關(guān)于微主題復(fù)習(xí)的教學(xué)思考

以提升能力為目標(biāo)的微專題復(fù)習(xí)是對重難點(diǎn)知識和重點(diǎn)題型的集中突破，是專題復(fù)習(xí)的進(jìn)一步深化，是實(shí)現(xiàn)從學(xué)生已經(jīng)掌握的知識或思想方法向?qū)嶋H解題能力轉(zhuǎn)化的重要手段.

微主題的內(nèi)容需要教師基于教情、學(xué)情、考情有針對性地選取材料，可以是教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)、易混點(diǎn)、疑問點(diǎn)，考試的高頻知識點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn).這個(gè)“點(diǎn)”是建立在學(xué)生已具備初步的知識和能力的基礎(chǔ)上的，它的切口要小，以便于在課堂有限的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行具體地實(shí)施.

習(xí)題的講解是實(shí)施微專題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，要以學(xué)生最近的能力生長點(diǎn)為落腳點(diǎn)，解法的依據(jù)是教材中要求掌握的知識點(diǎn)和基本數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生必須具備的解題方法和技巧，切忌搞偏題怪題以及古怪的解法，否則就失去了微專題的構(gòu)建意義.如果說知識點(diǎn)是微專題復(fù)習(xí)的圓心，那么習(xí)題是微專題復(fù)習(xí)的圓環(huán).題目的講解過程要呈現(xiàn)一個(gè)“圓形”的路徑，從最基本的知識點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過對題目的一系列分析和求解之后，再回過頭來指導(dǎo)學(xué)生反思這些基本的知識點(diǎn)是如何應(yīng)用于解題的.

微專題復(fù)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，把知識目標(biāo)轉(zhuǎn)化為能力目標(biāo)，讓學(xué)生有積極的情感體驗(yàn)，是教師的重要任務(wù).教師除了需要在教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)上要多加琢磨外，教學(xué)方式方法和教學(xué)評價(jià)上也要仔細(xì)研究.復(fù)習(xí)最忌一味地灌輸式的講解，其過程是可以豐富多彩的，如多媒體的介入，小組之間的合作與交流，講練結(jié)合都可以讓復(fù)習(xí)過程更有趣.

總之，微專題復(fù)習(xí)是一個(gè)系統(tǒng)的過程，從教學(xué)目標(biāo)到內(nèi)容設(shè)計(jì)，再到具體實(shí)施過程，都是需要教師精心準(zhǔn)備和預(yù)設(shè)的.也只有這種有針對性、靈活性的微專題復(fù)習(xí)，才能提高復(fù)習(xí)的效率，提升學(xué)生的能力，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).參考文獻(xiàn)：

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