岳芳 吳振華 周清華 肖吉軍

摘要 管理運籌學是研究對人力、物力等資源進行合理籌劃和運用，尋找管理及決策最優(yōu)化的綜合性學科，在經(jīng)濟、管理、社會等領域得到了廣泛的應用。然而，該課程知識概念和方法相對較多且抽象，導致學生難學。文章首先分析了管理運籌學的特點，總結了教學過程中存在的不足，探討了引入MATLAB的必要性。然后通過一些實例，介紹了該軟件在線性規(guī)劃、指派問題、圖論中的應用，充分體現(xiàn)了MATLAB在求解運籌學問題上的優(yōu)勢，達到激發(fā)學生學習興趣、增強學生實踐能力、培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的目的。

關鍵詞 管理運籌學；MATLAB；教學

中圖分類號：G424文獻標識碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.15.039

隨著市場競爭的加劇，企業(yè)所面臨的經(jīng)營環(huán)境具有很大的不可預測性，管理問題也越發(fā)復雜。這就需要企業(yè)轉變傳統(tǒng)的經(jīng)驗式?jīng)Q策模式，利用科學的方法，幫助其進行決策。而針對特定的管理場景，管理者可以利用模型分析所面臨的決策問題，并尋找模型的最優(yōu)解。而運籌學為管理者決策提供了方法論的支持。目前管理運籌學在人力資源規(guī)劃與調度、財務規(guī)劃、市場營銷組合規(guī)劃、生產(chǎn)運營管理、供應鏈管理、投資組合管理、系統(tǒng)調度、定價策略、服務系統(tǒng)規(guī)劃與調度、風險管理等方面都得到了廣泛的應用[1]。

管理運籌學是依照給定條件和目標，從眾多方案中選擇最佳決策方案的應用科學。該課程逐漸成為高校工業(yè)工程、信息管理與信息系統(tǒng)、數(shù)字經(jīng)濟、物流管理、人力資源等專業(yè)的基礎課程之一。

1基于MATLAB管理運籌學教學的必要性

管理運籌學包含線性規(guī)劃、對偶規(guī)劃、運輸問題、整數(shù)規(guī)劃、目標規(guī)劃、圖與網(wǎng)絡分析、決策論、對策論、排隊論等內容。管理運籌學解決問題的一般過程是：①提出問題；②建立模型；③進行求解；④解的檢驗；⑤解的實施。在這些過程中，“提出問題”是關鍵，即將現(xiàn)實世界中的實際問題抽象成數(shù)學模型，然后再選擇對應的方法進行求解。

該課程需要學生學習和掌握的方法非常多。一些方法，例如單純形法、表上作業(yè)法和割平面法等原理比較復雜，求解過程比較煩瑣，有時需要迭代多次。而在運籌學授課過程中，傳統(tǒng)教學方式比較注重算法原理的講解，同時一些問題的求解過程比較復雜、運算量大，因此降低了學生學習的積極性，導致其實踐能力較弱[2]。

針對管理運籌學的教學重點，教師結合目前學生在學習中存在的問題，在課堂教學中引入相關軟件。在教學過程中，盡可能利用軟件去完成管理運籌學中大量且煩瑣的計算工作。這樣既能緩解學生對復雜計算的畏難情緒，又能集中精力攻克“數(shù)學建?！钡碾y關和進行決策優(yōu)化分析[3]。不但可以提高運籌學的上課效率，使課堂生動、活潑，而且也有助于提高學生的動手能力和創(chuàng)新能力。

目前能夠求解運籌學問題的軟件有很多，例如MATLAB、Excel、Lindo、Lingo、Python等，這些軟件特點各有不同。由于管理運籌學中很多方法涉及矩陣運算，例如求逆運算、轉置運算等。MATLAB的很多運算都是直接針對矩陣的。各種矩陣操作，在MATLAB中只需要一個簡單的命令就可以完成，在此選擇MATLAB軟件求解運籌學問題。

2 MATLAB軟件介紹

MATLAB是一種適合多學科、跨平臺的大型實用科學計算軟件[4]。MATLAB語言的特點：①使用簡潔直觀。它可以進行矩陣運算和實現(xiàn)算法等。在MATLAB中矩陣運算變得非常簡單。②功能強大。其庫函數(shù)十分豐富。MATLAB針對許多專門的領域，將一些重要的問題通過軟件制作成工具箱。

MATLAB軟件功能強大、應用廣泛，已成為21世紀最為重要的科學計算語言。近些年，國內的很多高校也將MATLAB列為本科生的必修課程。運籌學教學中的許多問題可以應用MATLAB的內置函數(shù)通過簡單的編程進行求解。

3應用實例

利用MATLAB軟件求解運籌學問題的步驟如下：首先，根據(jù)教學目標有針對性地設計相關實例[5]；其次，建立相應的運籌學模型；然后，利用MATLAB軟件編寫相關程序；最后，利用軟件求解模型并分析結果。

3.1 MATLAB在線性規(guī)劃中的應用

該標準型與線性規(guī)劃問題定義的標準形式不同。式（1）中，目標函數(shù)求極小。x為n維的決策變量。約束條件分為不等式約束和等式約束兩種類型，不等式約束有m1個，等式約束有m2個。不等式約束形式為“≤”。對應的，b為m1維列向量；beq為m2維列向量；A為m1×n維矩陣；Aeq為m2×n維矩陣。c、x、lb和ub均為n維列向量。

因此，需要將實際應用中不同類型的非標準型化為MATLAB要求的標準型，操作方法如下：①如果遇到對目標函數(shù)求極大的問題，需要在函數(shù)前面加一個負號，轉化為對目標函數(shù)求極小的問題。②如果出現(xiàn)“≥”形式的不等式約束，則需要在兩邊乘以（-1），使其轉化為“≤”形式。③將不等式約束和等式約束均轉化為矩陣形式。

實例：某工廠在計劃期內要安排生產(chǎn)I、II兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設備臺時及A、B兩種原材料的損耗，如表1所示。單位產(chǎn)品Ⅰ和產(chǎn)品Ⅱ的利潤分別為2元和3元，問應如何安排計劃使該工廠獲利最多[6]？

以上模型的求解結果是屬于唯一最優(yōu)解的情況。若求解結果是無窮多最優(yōu)解，MATLAB則只能給出其中一組最優(yōu)解，無法給出其他最優(yōu)解。若求解結果是無界解，MATLAB給出的結果是x=[]，fval=[]。若求解結果是無可行解，MATLAB則給出的結果是“No feasible solution found”。

3.2 MATLAB在指派問題中的應用

在現(xiàn)實生活中，有各種類型的指派問題。例如，有一些工作需要分配給一些員工來完成；一些班級需要安排在一些教室上課等。這些問題都需要滿足一定的指派要求，并使指派方案的總體效果最好[7]。

實例：某汽車公司擬將四種新產(chǎn)品安排到四個工廠進行生產(chǎn)，四個工廠生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本如表2所示。求最優(yōu)生產(chǎn)配置方案。

需要注意的是，該指派問題屬于特殊的0-1整數(shù)規(guī)劃問題。MATLAB工具箱中沒有提供相應的函數(shù)，因此需要提前準備好整數(shù)規(guī)劃的函數(shù)intprog，再進行調用。該函數(shù)的調用格式為[x，fval]=intprog（c，A，b，Aeq，beq，lb，ub，M， TolXInteger）。其中，輸入?yún)?shù)M為有整數(shù)約束條件限制的變量的序號；輸入?yún)?shù)TolXInteger為判定整數(shù)的誤差限，其他參數(shù)的含義與線性規(guī)劃命令linprog中的參數(shù)基本一致。

運行上述程序后，得到該指派問題的最優(yōu)解，x=（1，0，0，0，0，0，0，1，0，0，1，0，0，1，0，0）T，fval=513。即最優(yōu)方案是工廠1生產(chǎn)產(chǎn)品1，工廠2生產(chǎn)產(chǎn)品4，工廠3生產(chǎn)產(chǎn)品3，工廠4生產(chǎn)產(chǎn)品2。此時生產(chǎn)總成本為513元。但實際上這個問題有兩組最優(yōu)解，另一組最優(yōu)解是工廠1生產(chǎn)產(chǎn)品1，工廠2生產(chǎn)產(chǎn)品3，工廠3生產(chǎn)產(chǎn)品4，工廠4生產(chǎn)產(chǎn)品2。需要注意的是，MATLAB計算得到的是其中一組最優(yōu)解。

3.3 MATLAB在圖論中的應用

運籌學在實際中應用非常廣泛，除了以上所提到幾個方面的問題外，還有圖論中的最小樹問題、最短路問題和最大流問題等，這些問題也都可以利用MATLAB進行求解。

在各種各樣的圖中，有一類簡單又十分重要的圖，就是樹。樹在電路網(wǎng)絡分析、管理決策、計算機算法等許多領域都有著廣泛的應用。

實例：某辦公大樓連接情況圖1所示（p124），試求最佳的網(wǎng)絡布線方案。

MATLAB工具箱中沒有求解最小樹的命令，因此需要提前準備好函數(shù)kruskal再進行調用。函數(shù)kruskal設計的原理是基于避圈法。kruskal函數(shù)的調用格式：[T，v，c]= kruskal（b），其中，輸入?yún)?shù)b為所有邊及其權數(shù)組成的矩陣。輸出參數(shù)T為最小樹的邊，v為最小樹的鄰接矩陣，c為最小樹的總權數(shù)。

4結論

通過以上實例說明，利用MATLAB可以方便地求解生產(chǎn)計劃等各種管理運籌學問題。MATLAB的優(yōu)點在于，第一，語法規(guī)則簡單，便于學生理解和使用。第二，MATLAB提供了很多計算函數(shù)，提高了學生計算的效率和準確性。第三，該軟件靈活度高，對于一些有特殊要求的模型，可以靠自己編寫程序實現(xiàn)。但需要注意的是，第一，如果原問題有最優(yōu)解，利用MATLAB只能給出其中一組最優(yōu)解。第二，MATLAB直接給出結果，無法展示求解的具體步驟。

本文把MATLAB軟件引入管理運籌學的教學，通過有針對性地設計相關實例，引導學生動手編寫相關程序，使學生可以直觀地看到算法的實現(xiàn)過程，從而提高學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，為將來科研素養(yǎng)的培養(yǎng)打下基礎。

*通訊作者：肖吉軍

基金項目：廣西高等教育本科教學改革工程項目“融入課程思政的工業(yè)工程專業(yè)課程教學改革與實踐”（2021JGB188）；廣西高等教育本科教學改革工程項目“工程教育專業(yè)認證背景下機械類專業(yè)基礎課程混合式教學的考核方式改革與實踐”（2023JGA208）；廣西“四新”研究與實踐項目“新文科視閾下地方高校新型工業(yè)工程專業(yè)建設研究與實踐”。

參考文獻

[1]肖勇波.運籌學：原理、工具及應用[M].北京：機械工業(yè)出版社，2021.

[2]張明，王文文.Matlab在經(jīng)管類運籌學教學中的探索與實踐[J].大學教育，2012，1（7）：81-82，89.

[3]吳睿，陳鵬.“管理運籌學”課程教學改革思路探索[J].遼寧工業(yè)大學學報（社會科學版），2009，11（6）：137-139.

[4]李明.詳解MATLAB在優(yōu)化計算中的應用[M].北京：電子工業(yè)出版社，2017.

[5]王怡.經(jīng)管類專業(yè)運籌學實驗課程優(yōu)化改革探討[J].科教導刊（中旬刊），2015（32）：49-50.

[6]運籌學教材編寫組.運籌學（第四版）[M].北京：清華大學出版社， 2015.

[7]李軍.管理運籌學[M].北京：中國輕工業(yè)出版社，2016.