高學(xué)賢

【摘? 要】? 初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動點(diǎn)問題主要涉及與角、三角形、四邊形相關(guān)的問題，求解此類問題，需要依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，判定是單動點(diǎn)還是雙動點(diǎn)，找出變量與不變量，作圖并分類討論，綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法，有效求解.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；動點(diǎn)問題

1? 與角相關(guān)的二次函數(shù)動點(diǎn)問題

此類動點(diǎn)問題主要是等角型動點(diǎn)問題，即在拋物線上或某區(qū)域內(nèi)找一個(gè)或幾個(gè)動點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)建已知角度的角.解決此類問題主要依據(jù)等角特點(diǎn)來構(gòu)建三角形外接圓、平行四邊形，再利用圓周角性質(zhì)等進(jìn)行解題.

例1? 如圖1所示，二次函數(shù)與軸交于，與軸相交于，連接PM、PN.

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）若Q點(diǎn)在拋物線對稱軸上移動，求滿足的Q點(diǎn)坐標(biāo).

解析? （1）容易求出函數(shù)解析式；

（2）需考慮Q點(diǎn)在PN上方或下方面兩種情況：

①Q(mào)點(diǎn)在PN線段下方時(shí)，

拋物線和MN線段的對稱軸是，可容易求出PN的直線方程是，容易求出對稱軸與直線交點(diǎn)，

則D點(diǎn)是的外接圓心，以DN為半徑作圓，則圓與拋物線對稱軸交點(diǎn)就是所求Q點(diǎn)坐標(biāo).

因?yàn)?，所?

②Q點(diǎn)在PN線段上方時(shí)，運(yùn)用同樣方法求解，可得出.

2? 與三角形相關(guān)的二次函數(shù)動點(diǎn)問題

此類動點(diǎn)問題包括與特殊三角形性質(zhì)、三角形面積、周長、相似性質(zhì)相關(guān)的動點(diǎn)問題，求解方法主要運(yùn)用解析法、切割法、幾何法等方法求解.

例2? 如圖2 所示，二次函數(shù)經(jīng)過三點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)M是拋物線對稱軸上動點(diǎn)時(shí)，求為等腰三角形時(shí)的點(diǎn)M共有幾個(gè)？

解析? （1）容易求出二次函數(shù)解析式是，拋物線對稱軸是.

（2）由于M是動點(diǎn)且在拋物線對稱軸上，可設(shè)其坐標(biāo)是，在本小題中，需要對分情況進(jìn)行討論：

①如果AB為底構(gòu)建等腰三角形，則，

過AB的中點(diǎn)作其垂線并與對稱軸交于M點(diǎn)，

容易求出DM直線的表達(dá)式是，

∴可求得M點(diǎn)坐標(biāo)是.

②如果AB為腰、為頂角來構(gòu)建等腰三角形，則容易求出，

過MB中點(diǎn)作垂線，同樣可求出M點(diǎn)坐標(biāo)是.

③同理，如果AB為腰、為頂角來構(gòu)建等腰三角形，

可求出M點(diǎn)坐標(biāo)是，

因此符合條件的M點(diǎn)共有5個(gè).

3? 與四邊形相關(guān)的二次函數(shù)動點(diǎn)問題

此類動點(diǎn)問題主要是求解四邊形面積或周長的最值問題，主要通過構(gòu)造特殊四邊形及利用多種方法和四邊形性質(zhì)等來解題.

例3? 二次函數(shù)過點(diǎn)，其頂點(diǎn)是，如圖3所示.

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）二次函數(shù)與軸交于A點(diǎn)（與P點(diǎn)不重合），與軸交于B點(diǎn)，點(diǎn)C是直線位于軸下方一點(diǎn)，D是上一點(diǎn)，如果A、B、C、D能構(gòu)成菱形，求值是多少？

解析? （1）易求出函數(shù)解析式.

（2）本題是“兩定點(diǎn)兩動點(diǎn)”構(gòu)建菱形問題，解題時(shí)可把兩個(gè)定點(diǎn)間線段作為菱形一條邊或?qū)蔷€，再利用其性質(zhì)解題.

易求出：.

直線與軸交于，

所以為等腰直角三角形，，

因?yàn)镈是反比例函數(shù)上一點(diǎn)，C點(diǎn)位于直線下方，所以D點(diǎn)只能在一、三象限，需分類討論：

①把AB、AC作為一組鄰邊構(gòu)建菱形ABDC，則D點(diǎn)位于第三象限.

過D作軸垂線交于Q點(diǎn)，在中易求出，，

可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，

因?yàn)镈點(diǎn)是上一點(diǎn)，

所以.

②把AB作對角線構(gòu)建菱形AD1BC1，則D1點(diǎn)在第一象限，

設(shè)其坐標(biāo)為，在中用勾股定理易求出，

再利用兩點(diǎn)間公式，

所以 ，，.

所以或.

4? 結(jié)語

總之，動點(diǎn)問題是二次函數(shù)解題的難點(diǎn)，也常是中考數(shù)學(xué)壓軸大題，需要教師高度此類問題求解，在二次函數(shù)動點(diǎn)問題解題時(shí)，利用二次函數(shù)圖像性質(zhì)，掌握動點(diǎn)問題解題思路，綜合利用多種數(shù)學(xué)思想與方法，就能有效提高動點(diǎn)問題解題效率.

參考文獻(xiàn)：

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[2]劉旭鵬.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)動點(diǎn)問題的教學(xué)要點(diǎn)[J].新課程，2021（14）：111.