艾雄雄, 張 博, 鄧 斌, 王 杰

(西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院,陜西 西安 710600)

0 引 言

與傳統(tǒng)旋轉(zhuǎn)電機(jī)相比,永磁直線同步電機(jī)(PMLSM)工作在直接驅(qū)動(dòng)模式下,可以將推力直接加到負(fù)載上,具有定位精度高、推力大、速度快、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點(diǎn),已成功應(yīng)用于交通運(yùn)輸、航空航天、精密激光切割等控制系統(tǒng)中[1-2]。但由于PMLSM取消了齒輪和滾珠絲杠等機(jī)械傳動(dòng)裝置,導(dǎo)致負(fù)載變化和外部擾動(dòng)等不確定因素對(duì)系統(tǒng)的影響大幅提高。此外,直線電機(jī)系統(tǒng)特有的齒槽力、邊端力等內(nèi)部不匹配擾動(dòng)也會(huì)對(duì)控制精度造成影響[3]。因此,如何應(yīng)對(duì)內(nèi)外部不匹配因素對(duì)PMLSM的影響是目前需要解決的主要問題。

滑?？刂剖且环N強(qiáng)魯棒性的非線性控制策略,可以忽略各種不確定因素的影響,廣泛應(yīng)用于伺服控制系統(tǒng)領(lǐng)域。但是傳統(tǒng)滑?？刂撇捎镁€性滑模面,只能保證時(shí)間趨于無窮大時(shí),系統(tǒng)才會(huì)收斂到平衡狀態(tài)[4]。為了提高系統(tǒng)收斂速度,文獻(xiàn)[5]在傳統(tǒng)冪次趨近律的基礎(chǔ)上,引入了Fal函數(shù)并與新型全局快速終端滑模結(jié)合的模型,該模型提高了系統(tǒng)的趨近速度,但是無法避免奇異問題的產(chǎn)生。文獻(xiàn)[6]采用反饋線性化技術(shù)設(shè)計(jì)了單回路終端滑?？刂破?。該方法可使電機(jī)轉(zhuǎn)速和電流在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到參考值,實(shí)現(xiàn)快速瞬態(tài)響應(yīng),但是有限時(shí)間內(nèi)控制方法受系統(tǒng)初始狀態(tài)影響。為了提高系統(tǒng)抗干擾能力,文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了基于反步滑模面的不匹配擾動(dòng)觀測(cè)器,觀測(cè)系統(tǒng)的內(nèi)部與外部不匹配擾動(dòng),但對(duì)于周期小,頻率大的快時(shí)變擾動(dòng)僅能實(shí)現(xiàn)有偏差觀測(cè)。文獻(xiàn)[8]提出了一種超螺旋滑模擾動(dòng)觀測(cè)器,對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)并進(jìn)行前饋補(bǔ)償,進(jìn)一步提高了系統(tǒng)的魯棒性。但是超螺旋算法參數(shù)需要根據(jù)擾動(dòng)的上界進(jìn)行選取,在實(shí)際應(yīng)用中難以獲取[9]。

鑒于上述分析,本文設(shè)計(jì)了一種基于擾動(dòng)估計(jì)補(bǔ)償?shù)墓潭〞r(shí)間積分滑?？刂?DFISMC)方法。DFISMC采用固定時(shí)間趨近律結(jié)合非奇異快速終端滑模面的方式,保證系統(tǒng)狀態(tài)在避免非奇異問題的同時(shí)可在固定時(shí)間內(nèi)收斂,收斂時(shí)間與趨近率參數(shù)相關(guān)。為進(jìn)一步加快收斂速度,設(shè)計(jì)固定時(shí)間動(dòng)態(tài)趨近率,加快收斂速度的同時(shí)減小系統(tǒng)抖振?？紤]到系統(tǒng)的不確定性擾動(dòng)對(duì)電機(jī)運(yùn)動(dòng)過程的影響,設(shè)計(jì)了自適應(yīng)超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器,實(shí)現(xiàn)不確定性擾動(dòng)有限時(shí)間觀測(cè),提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。利用Lyapunov函數(shù)分析方法驗(yàn)證了該方案的有效性和穩(wěn)定性。最后,通過試驗(yàn)驗(yàn)證了該控制方法比PI控制及積分滑?？刂凭哂懈玫恼{(diào)節(jié)性能和更強(qiáng)的抗干擾能力。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 PMLSM數(shù)學(xué)模型

PMLSM采用id=0的磁場(chǎng)定向控制,磁滯和渦流損耗不計(jì),空間磁場(chǎng)呈對(duì)稱正弦分布。在表貼式PMLSM中Ld=Lq,則簡化的PMLSM模型表示為

(1)

式中:ud和uq分別為d、q軸電壓;id和iq為d、q軸電流;Rs為繞組電阻;Ld、Lq分別為d、q軸電感;Fe為電磁推力;kf為推力系數(shù);τ為永磁體極距;np為電機(jī)的極對(duì)數(shù);ψf為永磁體磁鏈。

PMLSM運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

式中:M為動(dòng)子質(zhì)量;B為黏性摩擦因數(shù);v為動(dòng)子運(yùn)動(dòng)速度;F為不確定因素,包括摩擦力Fd、負(fù)載擾動(dòng)Fl和參數(shù)變化FΔ。

(3)

設(shè)定vd為速度信號(hào),并作出以下假設(shè):

1.2 定義與引理

定理1:固定時(shí)間基本理論

考慮如下非線性系統(tǒng):

(4)

其中,f(x):Rn→Rn,是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。

當(dāng)系統(tǒng)(4)處于全局有限時(shí)間穩(wěn)定的狀態(tài),并且存在一個(gè)穩(wěn)定時(shí)間函數(shù)T(x),使得T(x)≤Tmax成立,其中Tmax是固定常數(shù)。則系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)x=0時(shí)固定時(shí)間穩(wěn)定[10]。

2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

基于擾動(dòng)估計(jì)補(bǔ)償?shù)墓潭〞r(shí)間積分滑?？刂品椒ㄏ到y(tǒng)框圖如圖1所示。設(shè)計(jì)積分定時(shí)滑模面用于PMLSM控制器,觀測(cè)器采用自適應(yīng)超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器,有效提高系統(tǒng)的控制精度和魯棒性。

圖1 基于擾動(dòng)估計(jì)補(bǔ)償?shù)腜MLSM固定時(shí)間積分滑?？刂葡到y(tǒng)框圖

2.1 固定時(shí)間積分滑模面設(shè)計(jì)

設(shè)vd為指定速度參考信號(hào),定義速度跟蹤誤差e為

e=vd-x2

(5)

定義滑模面為

k2|e|α2sign(e)]dμ

(6)

式中:k1>0,k2>0;0<α1<1,α2>1。

將式(3)、式(5)代入式(6)并對(duì)其求導(dǎo)得到如下表達(dá)式:

k2|e|α2sign(e)

(7)

k2|e|α2sig(e)+l1sign(S)+

l2|S|β1sign(S)]

(8)

式中:l1>0,l2>0;β1>1。

將式(8)代入式(7)可得:

(9)

l2|S|β1sign(S)]≤D|S|-l1|S|-

(10)

式中:λ1=D-l1>0。

當(dāng)S=0時(shí),根據(jù)定理1,系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到滑模面,其收斂時(shí)間上界為

(11)

2.2 自適應(yīng)超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

據(jù)式(11)可知,系統(tǒng)擾動(dòng)對(duì)收斂時(shí)間有重要影響。因此,本節(jié)設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器,用來補(bǔ)償系統(tǒng)擾動(dòng),提高控制精度。對(duì)于式(3)這一類含有不確定擾動(dòng)的系統(tǒng),設(shè)計(jì)輔助滑模面S1為

(12)

將式(3)帶入式(13)并對(duì)其求導(dǎo)得:

(13)

(14)

此時(shí)補(bǔ)償?shù)碾娏髦禐?/p>

(15)

式中:ζ1和ζ2為自適應(yīng)項(xiàng)。

自適應(yīng)項(xiàng)表達(dá)式為

(16)

式中:a,b,χ,τ,ζm為正參數(shù)。

2.3 基于擾動(dòng)估計(jì)補(bǔ)償?shù)墓潭〞r(shí)間積分滑?？刂圃O(shè)計(jì)

為了進(jìn)一步加快收斂速度并削弱抖振,基于式(14)的自適應(yīng)超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器和式(6)的積分滑模面,設(shè)計(jì)控制率如下所示[12-14]:

u=iq0+iq1=

(17)

將式(17)帶入式(7)可得:

(18)

當(dāng)擾動(dòng)可以被精確估計(jì)時(shí),式(17)可表示為

(19)

(20)

根據(jù)定理1,系統(tǒng)在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到滑模面,其收斂時(shí)間上界為

(21)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上時(shí),S=0,對(duì)式(6)求導(dǎo)可得:

(22)

(23)

根據(jù)引理1,誤差狀態(tài)e會(huì)在固定時(shí)間內(nèi)收斂于零,T3可表示為

(24)

綜上所述,本文提出的基于擾動(dòng)估計(jì)補(bǔ)償?shù)墓潭〞r(shí)間積分滑?？刂破鳚M足Lyapunov穩(wěn)定性,并且可在固定時(shí)間內(nèi)收斂到零。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文提出的DFISMC系統(tǒng)有效性,搭建PMLSM仿真模型,分析DFISMC方法在不同輸入信號(hào)情況下的收斂速度、速度誤差和突加擾動(dòng)情況下的抗干擾能力,證明本方法的有效性。通過與PI控制、積分滑模控制等算法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證本方法的改進(jìn)效果。PMLSM仿真模型各項(xiàng)參數(shù)如表1所示。

表1 PMLSM參數(shù)表

(1) 電機(jī)空載起動(dòng),采樣周期為1 s,給定速度信號(hào)為0.2 m/s,在0.3 s時(shí)給定外部負(fù)載擾動(dòng),其值為50 N。速度響應(yīng)曲線如圖2所示,從圖中可知在到達(dá)階段,DFISMC方法在0.018 s時(shí)到達(dá)給定速度,積分滑模方法在0.03 s時(shí)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài),相較于其他兩種方法,PI控制方法超調(diào)較大,在0.05 s時(shí)才到達(dá)給定速度。在突加擾動(dòng)時(shí),PI控制方法波動(dòng)明顯,恢復(fù)穩(wěn)態(tài)時(shí)間為0.05 s,積分滑模方法波動(dòng)較小,收斂速度與PI控制相當(dāng),而DFISMC方法波動(dòng)最小,收斂速度也最快。

圖2 階躍信號(hào)下的速度跟蹤圖

圖3為PI控制方法速度跟蹤誤差曲線圖,速度誤差約為-0.12～0.12 mm/s。圖4為積分滑?？刂品椒ㄋ俣雀櫿`差曲線圖,速度誤差約為-0.04～0.05 mm/s,圖5為DFISMC控制方法速度跟蹤誤差曲線圖,速度誤差約為-0.02～0.02 mm/s。由圖3～圖5可知,相較于PI控制方法,其他兩種方法誤差曲線更平滑,三種方法中DFISMC方法速度跟蹤誤差最小,跟蹤精度最高。由此可知DFISMC方法動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度更快,遇到擾動(dòng)時(shí)超調(diào)量較小,具有較強(qiáng)的魯棒性和抗干擾能力強(qiáng)。

圖3 PI控制算法速度誤差圖

圖4 積分滑模控制算法速度誤差圖

圖5 DFISMC控制算法速度誤差圖

(2) 為驗(yàn)證本文提出的方法在變速條件下的動(dòng)態(tài)性能,給定梯形軌跡速度信號(hào),初始速度為0,在0.25～0.75 s之間為0.2 m/s的勻速運(yùn)動(dòng),其余時(shí)間為變速運(yùn)動(dòng)。三種方法的速度跟蹤對(duì)比圖如圖6所示,通過細(xì)節(jié)放大圖可知,在加速度突變時(shí)PI控制算法會(huì)有小幅超調(diào),其余階段三種方法都能很好地跟蹤到給定速度。

圖6 梯形信號(hào)下的速度跟蹤圖

圖7為PI控制方法速度跟蹤誤差曲線圖,速度誤差約為-0.1～0.09 mm/s,圖8為積分滑?？刂品椒ㄋ俣雀櫿`差曲線,速度誤差約為-0.05～0.05 mm/s。圖9為DFISMC方法速度跟蹤誤差曲線,速度誤差約為-0.01～0.01 mm/s。由圖7～圖9可知,在0.25 s和0.75 s處加速度突變時(shí),PI控制方法的誤差精度會(huì)有明顯變化,積分滑模方法的誤差精度也有小幅波動(dòng),DFISMC方法受影響最小,誤差曲線最平滑,誤差精度最低。

圖7 PI控制算法速度誤差圖

圖8 積分滑?？刂扑惴ㄋ俣日`差圖

圖9 DFISMC算法速度誤差圖

(3) 為驗(yàn)證本文提出的自適應(yīng)超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器的觀測(cè)性能,在負(fù)載側(cè)施加定位力,構(gòu)造定位力時(shí),將定位力看作是動(dòng)子位置的函數(shù),以一個(gè)極距、半個(gè)極距、四分之一個(gè)極距和八分之一個(gè)極距為周期分別構(gòu)造推力波動(dòng)的基波、二次諧波、四次諧波和八次諧波。定位力構(gòu)造計(jì)算式如下[8]:

Ff=2.29·sinθ+6.27·sin(2θ)+

1.01·sin(4θ)+0.6·sin(8θ)

(25)

其中,θ=2πx/τ。

圖10為定位力觀測(cè)結(jié)果圖,圖11為觀測(cè)誤差圖。由從圖10～圖11可知,自適應(yīng)超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器可以較為準(zhǔn)確地觀測(cè)到定位力,觀測(cè)誤差約為-0.5～0.5 N。由此可知,當(dāng)實(shí)際運(yùn)行中定位力存在時(shí),本文提出的自適應(yīng)超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器可以有效地觀測(cè)到擾動(dòng)值,提高系統(tǒng)抗干擾能力。

圖10 定位力觀測(cè)圖

圖11 定位力觀測(cè)誤差圖

由上述仿真結(jié)果可知,本文提出的基于DFISMC的算法在不同輸入信號(hào)的情況下,都能準(zhǔn)確地跟蹤到給定速度,有效降低了系統(tǒng)速度跟蹤誤差,給定模擬定位力時(shí)也能準(zhǔn)確地觀測(cè)到擾動(dòng)值。與改進(jìn)之前的方法對(duì)比可知,基于DFISMC的算法提高了系統(tǒng)位置跟蹤性能,減少了未知因素的影響。

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于擾動(dòng)估計(jì)補(bǔ)償?shù)墓潭〞r(shí)間積分滑?？刂品椒▉砀纳葡到y(tǒng)參數(shù)變化、負(fù)載擾動(dòng)等問題,設(shè)計(jì)了一種固定時(shí)間積分終端滑模面,引入函數(shù)f(s)促使趨近率系數(shù)可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整,在避免非奇異問題的同時(shí)加快了收斂速度。針對(duì)內(nèi)部和外部不匹配因素的影響引入自適應(yīng)超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器并將觀測(cè)結(jié)果進(jìn)行前饋補(bǔ)償,最后通過仿真與其他控制方法進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明,本文設(shè)計(jì)的DFISMC算法在不同輸入情況下都能有效地跟蹤到給定信號(hào),超螺旋擾動(dòng)觀測(cè)器在添加定位力和負(fù)載時(shí)都能準(zhǔn)確地觀測(cè)到擾動(dòng)值并給予反饋。與改進(jìn)之前的方法進(jìn)行對(duì)比可知,DFISMC算法降低了速度跟蹤誤差,提高了動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度,保證了系統(tǒng)的全局魯棒性,可以應(yīng)用于PMLSM伺服系統(tǒng)。