林勛

【摘? 要】數(shù)形結(jié)合思想遵循“數(shù)”與“形”相輔相成的原則，實(shí)現(xiàn)了抽象問題的具體化、復(fù)雜問題的簡單化，能夠切實(shí)幫助學(xué)生解決幾何圖形、函數(shù)方程、等式、代數(shù)式等方面的難點(diǎn)問題，訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維與實(shí)用技能。基于此，本文從“以形變數(shù)”“以數(shù)化形”“數(shù)形互變”三方面系統(tǒng)論述了數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂中的滲透與應(yīng)用策略，以期鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；策略

數(shù)形結(jié)合思想滲透進(jìn)課堂教學(xué)的本質(zhì)在于融入學(xué)生頭腦中的知識(shí)組群，使其能夠在理解的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用它解決數(shù)學(xué)問題。就學(xué)情而言，數(shù)形結(jié)合的思想存在眾多立足點(diǎn)，可以靈活切入數(shù)學(xué)課題，啟迪學(xué)生思維，從而提升學(xué)生的解題效率。因此，教師需要真正將“數(shù)”與“形”的概念引入教學(xué)點(diǎn)滴之中，塑造靈活的思維方式，繼而循序漸進(jìn)地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、以形變數(shù)，化繁為簡

“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微?！弊鳛樨灤┏踔袛?shù)學(xué)教學(xué)的一大思想，數(shù)形結(jié)合將“數(shù)”與“形”融為一體，形成了不可分割的內(nèi)在聯(lián)系。通常而言，教師要想將數(shù)形結(jié)合思想深刻融入教學(xué)，就要尋找“數(shù)”與“形”相互銜接的切入點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)思想的有效過渡。在實(shí)際教學(xué)過程中的數(shù)形結(jié)合點(diǎn)主要有以下兩種。

（一）用數(shù)值量化圖形

利用簡單數(shù)值量化幾何圖形是數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)，適用于較為基礎(chǔ)的幾何運(yùn)算以及應(yīng)用類問題，在學(xué)習(xí)八年級(jí)上冊(cè)關(guān)于三角形、軸對(duì)稱等知識(shí)的過程中，學(xué)生會(huì)遇到大量解析幾何的問題，如果熟練運(yùn)用數(shù)值量化幾何圖形，并結(jié)合三角形的基本特性、特殊三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析，可以使抽象的問題更加直觀化、具體化，提高學(xué)生解答問題的效率。以下題為例：

在正△ABC 的三邊 AB、BC、CA 上分別有點(diǎn) D、E、F。若 DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB 同時(shí)成立，求點(diǎn)D在 AB 上的位置。

在審題的過程中，教師應(yīng)有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生自覺將文字內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具體的幾何圖形，以便提供直觀化的解題參考，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣。從整體上看，雖然這一題目并未明確指出正△ABC中各邊各角的量化關(guān)系，但最終卻要求學(xué)生指出“點(diǎn)D在 AB 上的位置”，即“線段AD與線段AB的量化關(guān)系”。由此可見，該題著重于考查學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合”思想的掌握與運(yùn)用情況。在講解該題目的具體過程中，教師一方面要循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“以形變數(shù)”思想的立足點(diǎn)，另一方面還要啟發(fā)學(xué)生利用已知的幾何條件建立起數(shù)量關(guān)系，從而真正實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的結(jié)合。本題中，“正△ABC”意味著其三邊長度相等、三個(gè)內(nèi)角度數(shù)均為60°，而題目中提供的三個(gè)垂直條件恰好將正△ABC分割成了三個(gè)直角三角形與一個(gè)小等邊三角形的復(fù)合圖形。在此基礎(chǔ)上，教師可以啟發(fā)學(xué)生將圖形中相關(guān)的線段設(shè)未知數(shù)，利用上述角度、長度等條件就可以慢慢推理出線段AD與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系，得到準(zhǔn)確的答案。如“根據(jù)直角三角形的特點(diǎn)和定義，‘30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可以假設(shè)線段BE的邊長是x，則線段BD的長度為2x。在經(jīng)過三角形全等證明之后，可知AD=BE=CF，最后可得AD=x=1/3AB”。

（二）用幾何量化圖形

相比于數(shù)值，幾何量在呈現(xiàn)方式上更委婉含蓄，更傾向于考查學(xué)生對(duì)隱性條件的轉(zhuǎn)化與理解能力。在缺乏具體數(shù)據(jù)支撐、幾何量復(fù)雜多樣的解析幾何題目中，學(xué)生往往會(huì)因題目條件的冗雜而生畏，降低了原有的學(xué)習(xí)效能感。但事實(shí)上，面積、距離、角度等幾何量與分?jǐn)?shù)、整數(shù)等數(shù)值并無本質(zhì)上的差別，教師應(yīng)幫助學(xué)生打破心理屏障，正確認(rèn)識(shí)幾何量的本質(zhì)，從而高效解答幾何難題。在學(xué)習(xí)九年級(jí)三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，學(xué)生通常會(huì)遇到“特殊角的三角函數(shù)”問題。例如，在一個(gè)直角三角形ABC當(dāng)中，∠B為90°，AB邊的長為6，BC邊的長為2，要求出∠A的度數(shù)。在題目提供圖形信息的條件下，教師可以組織學(xué)生將題目所提供的數(shù)值信息標(biāo)注在圖形對(duì)應(yīng)的位置，從而形成直觀清晰的感官體驗(yàn)。接著，教師應(yīng)進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生尋找解答該題的思路，并認(rèn)真回想有關(guān)30°、45°、60°等特殊角的三角函數(shù)值，明確角度和邊長等各個(gè)幾何量之間的關(guān)系。最后，將圖形條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的計(jì)算公式，通過代數(shù)計(jì)算獲得正確答案。

二、以數(shù)化形，化抽象為具體

相較于直觀具體的圖形，數(shù)字的抽象性特點(diǎn)更為明顯，這恰恰為“數(shù)”與“形”的結(jié)合創(chuàng)造了優(yōu)勢條件。于初中生而言，其抽象思維還未得到充分開發(fā)，面對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)列式，大部分學(xué)生的第一反應(yīng)都是尋找可套用公式的切入點(diǎn)，接著利用熟練背誦的公式或模板解決問題。這一解題過程并不能有效鍛煉學(xué)生的抽象思維能力，相反會(huì)導(dǎo)致學(xué)生更加依賴于模式化的題目，若突然遇到形式新穎靈活的題目，學(xué)生往往會(huì)選擇蒙題、猜題甚至是逃避。要想消除這一依賴性，教師要引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中構(gòu)建“數(shù)”與“形”的橋梁，并學(xué)著從橋梁中抽象的一頭走到具象的一頭，如此學(xué)生才能夠摸清“以數(shù)化形”的內(nèi)在機(jī)制。例如在學(xué)習(xí)不等式的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，其中涉及到了“以數(shù)化形，化難為易”的數(shù)學(xué)思想。面對(duì)較為復(fù)雜但又有內(nèi)在規(guī)律可循的不等式，教師可以借助圖像幫助學(xué)生解題，將抽象化的式子轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)系中具體的函數(shù)圖像，從而更加直觀地推斷出不等式的解集。以下題為例，“已知直線y1=kx+b（k＜0）過A點(diǎn)（0，2），且與直線y₂=mx（m＞0）相交于點(diǎn)M（1，m），則不等式mx＞kx+b的解集是____”通過審題可知，這是一道關(guān)于x的含參不等式的問題，其中所含信息較為復(fù)雜，且參數(shù)數(shù)值不明，如果學(xué)生單純依賴于數(shù)值計(jì)算較難得出答案。在此情況下，學(xué)生應(yīng)當(dāng)重新尋找解題的方向。通過再次審題不難發(fā)現(xiàn)，題目中有關(guān)于“直線”“交點(diǎn)”“坐標(biāo)”等信息無一不指向平面直角坐標(biāo)系。因此，可以根據(jù)題目在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)函數(shù)的大致圖像，并將提供的條件標(biāo)注在其中進(jìn)行整體分析。事實(shí)上，這道題目的分析和解答是離不開圖形的，只有將圖像引入題目當(dāng)中才會(huì)事半功倍，學(xué)生必須要通過觀察兩條直線交點(diǎn)以及直線的走向來判斷當(dāng)y₂＞y₁時(shí)x的取值范圍。此解題過程體現(xiàn)出了幾何圖形運(yùn)用于代數(shù)運(yùn)算中的一個(gè)方面：借助數(shù)軸或平面直角坐標(biāo)系賦予代數(shù)表達(dá)式幾何意義，通過構(gòu)造直觀化的幾何圖形使代數(shù)運(yùn)算簡單化，從而提高解題的效率和準(zhǔn)確性。教師在輔助學(xué)生解題的過程中，應(yīng)當(dāng)教會(huì)學(xué)生尋找題目中的線索和暗示，大膽運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從而避免走上思考的彎路。

此外，幾何圖形還可以運(yùn)用于代數(shù)公式的記憶與推導(dǎo)層面上，如完全平方公式與平方差公式的幾何推理。由于代數(shù)公式的抽象性，大部分學(xué)生都難以準(zhǔn)確記憶運(yùn)算公式，導(dǎo)致做題效率大大降低。為打破這一學(xué)習(xí)瓶頸，教師可以從推導(dǎo)過程入手，借助幾何圖形的直觀性幫助學(xué)生深刻理解并準(zhǔn)確記憶公式。以（a+b）²=a²+2ab+b²的幾何推理為例，已知一個(gè)邊長為a+b的正方形，其中包含兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形以及兩個(gè)全等的長方形（短邊長為b，長邊為a）。因此，通過等面積法建立等式可知，大正方形的面積為（a+b）²，內(nèi)部四個(gè)圖形的面積分別為a²，b²，ab，ab，列式為（a+b）²=a²+ab+ab+b²，即完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²，由此完全平方公式便得以證明。記憶公式的本質(zhì)不在于死記硬背，而是讓學(xué)生從推導(dǎo)的過程中真正感受數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，使其邏輯思維能力得到進(jìn)一步發(fā)展。

三、數(shù)形互變，化單向?yàn)殡p向

數(shù)形互變?cè)凇耙詳?shù)化形”“以形變數(shù)”的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了思維更高層次的靈活性和深刻性，是從單向過渡到雙向的重要途徑。這一思想不僅要求學(xué)生由考慮“形”的直觀性變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密性，還要從“數(shù)”的嚴(yán)密性聯(lián)想到“形”的直觀性。在解決這類問題時(shí)，學(xué)生往往需要同時(shí)立足于已知條件與可能結(jié)論，認(rèn)真挖掘“數(shù)”與“形”兩者間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)形的互通、互變。例如在以下應(yīng)用題中便考查了數(shù)形互變的解題思想（如圖1）：

“低碳環(huán)保，綠色出行”的概念得到廣大群眾的接受，越來越多的人喜歡選擇騎自行車作為出行工具。小軍和爸爸同時(shí)騎車去圖書館，爸爸先以1500米/分的速度騎行一段時(shí)間，休息了5分鐘，再以m米/分的速度到達(dá)圖書館。小軍始終以同一速度騎行。兩人騎行的路程為y（米），與時(shí)間x（分鐘）的關(guān)系如圖1，請(qǐng)結(jié)合圖像，解答下列問題：

（1）填空：a=_____， b=_____， m=_____。

（2）若小軍的速度是1200米/分，求小軍第二次與爸爸相遇時(shí)距圖書館的距離。

（3）在（2）的條件下，爸爸自第二次出發(fā)后，騎行一段時(shí)間后與小軍相距1000米，此時(shí)小軍騎行的時(shí)間為_____分鐘。

通過審題，學(xué)生可以明確把握題目中的“數(shù)”與“形”，在頭腦中建立起基本的數(shù)形關(guān)系框架，但在真正的分析過程中，大部分同學(xué)卻難以將 “路程——時(shí)間”圖像中的數(shù)值信息充分利用起來，將數(shù)值與圖形真正融為一體。此時(shí)，為打破學(xué)生的單向思維定勢，教師不妨將題目中的文字?jǐn)⑹霾糠蛛[藏起來，在“路程-時(shí)間”圖像之中標(biāo)注已提供的重點(diǎn)數(shù)值信息，并引導(dǎo)學(xué)生在仔細(xì)觀察圖像后用語言將“爸爸”和“小軍”的騎行過程描述出來。這一過程可以使學(xué)生從“形”中發(fā)現(xiàn)“數(shù)”，并從“數(shù)”中感受“形”，實(shí)現(xiàn)數(shù)形互變。除此之外，在處理本題的圖像問題時(shí)，教師可以借助發(fā)散思維鍛煉學(xué)生多樣化的數(shù)形互變能力。具體而言，若以“路程-時(shí)間”圖像為參考，學(xué)生可以從函數(shù)表達(dá)式的角度分別求出“爸爸”和“小軍”行駛路程與時(shí)間的關(guān)系表達(dá)式，并通過方程組求解答案；在此基礎(chǔ)上，教師可以變換圖像指標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生將“路程-時(shí)間”圖像轉(zhuǎn)化為“速度-時(shí)間”圖像，啟發(fā)學(xué)生從圖形面積的角度求解本題，如此便能夠?qū)缀螆D形面積求解的知識(shí)點(diǎn)融入進(jìn)問題之中，活化學(xué)生的思維，深化數(shù)形互變思想。

綜上所述，深入剖析并挖掘數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值是每一位初中教師貫徹教書育人理念的基本職責(zé)，也是提高教學(xué)質(zhì)量與效率的有效途徑。作為傳授系統(tǒng)知識(shí)、啟迪學(xué)生智慧的主力，教師應(yīng)針對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的滲透做出深刻的研究與實(shí)踐，將“以形變數(shù)”“以數(shù)化形”“數(shù)形互變”的思想扎根于學(xué)生的思維系統(tǒng)之中，促進(jìn)數(shù)形結(jié)合與初中數(shù)學(xué)的深度融合。

【參考文獻(xiàn)】

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