尹力 郭修瑾

摘要：從算術(shù)到代數(shù)的過渡，是小初數(shù)學(xué)銜接的重要方面。對此，應(yīng)重視在算術(shù)內(nèi)容的教學(xué)中滲透代數(shù)思維，引導(dǎo)學(xué)生挖掘普適性數(shù)學(xué)關(guān)系，感悟一般化抽象、符號化表征、推理、論證等思維過程。具體地，包括：在數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，認(rèn)識不確定的數(shù)；在等號含義的學(xué)習(xí)中，理解等量關(guān)系；在數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，探尋算式結(jié)構(gòu)；在運(yùn)算規(guī)律的學(xué)習(xí)中，經(jīng)歷概括論證。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；代數(shù)思維；算術(shù)內(nèi)容；一般化；數(shù)量關(guān)系

長期以來，小學(xué)數(shù)學(xué)課程重視算術(shù)內(nèi)容，初中數(shù)學(xué)課程重視代數(shù)內(nèi)容。代數(shù)是算術(shù)的發(fā)展：一般化，基于字母表示數(shù)。因此，從算術(shù)到代數(shù)的過渡，是小初數(shù)學(xué)銜接的重要方面。從1978年開始，我國便在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中逐步滲透代數(shù)的內(nèi)容；21世紀(jì)新課程改革以來，“數(shù)與代數(shù)”更是成為我國義務(wù)教育（小學(xué)與初中）數(shù)學(xué)課程共同的一個學(xué)習(xí)領(lǐng)域。但是，小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的代數(shù)內(nèi)容一直有一些變化。比如，1978年的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中設(shè)置了“簡易方程”，而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）將小學(xué)階段的方程內(nèi)容全部移到了初中階段。［1］

實(shí)際上，從算術(shù)到代數(shù)的過渡，更應(yīng)重視在算術(shù)內(nèi)容的教學(xué)中滲透代數(shù)思維。代數(shù)思維是一種區(qū)別于算術(shù)思維的思考數(shù)學(xué)問題的方式，其本質(zhì)在于對一般性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行推理或分析，并且在這個過程中通常出現(xiàn)不確定的量（包括未知量與變量）。［2］發(fā)展小學(xué)生的代數(shù)思維能促進(jìn)其抽象與推理能力的發(fā)展。教師可以在算術(shù)內(nèi)容的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生挖掘普適性數(shù)學(xué)關(guān)系，感悟一般化抽象、符號化表征、推理、論證等思維過程。

一、在數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，認(rèn)識不確定的數(shù)

（一）從靜態(tài)的數(shù)到動態(tài)的數(shù)

數(shù)是確定的，是對數(shù)量的抽象（數(shù)量是對事物屬性的定量刻畫），但其表征與蘊(yùn)含的關(guān)系是多元的，可以根據(jù)需要合理表征。數(shù)的學(xué)習(xí)中，代數(shù)思維體現(xiàn)為不僅將數(shù)看作靜態(tài)結(jié)果，也把數(shù)看成不同關(guān)系的組合，從而建構(gòu)對數(shù)的多角度理解。

啟發(fā)學(xué)生用不同的方式表征數(shù)，是幫助學(xué)生對數(shù)建立動態(tài)理解的關(guān)鍵。比如，要求學(xué)生從5開始寫出三個連續(xù)的自然數(shù)，學(xué)生一般會寫出5、6、7。如果教學(xué)僅限于此，那么，學(xué)生對數(shù)的理解是單一的，數(shù)之間的關(guān)系被淡化了。教師可以組織學(xué)生探索其他表征方式，逐步引導(dǎo)學(xué)生寫出5、5+1、5+2。以這種方式表征，不僅可以表示數(shù)5、6、7，也能促使學(xué)生關(guān)注這三個連續(xù)的自然數(shù)之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生探索更多的方式來表征蘊(yùn)含這樣關(guān)系的三個數(shù)，如7-2、7-1、7，還有6-1、6、6+1等。

像這樣表征數(shù)的方式，可以進(jìn)一步拓展到其他問題中。比如，隨著學(xué)生認(rèn)數(shù)范圍的擴(kuò)充，教師可以引導(dǎo)學(xué)生表征較大的整數(shù)以及小數(shù)、分?jǐn)?shù)。隨著學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)的豐富，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生表征連續(xù)的奇數(shù)或者偶數(shù)，甚至可以用來探索各種與數(shù)有關(guān)的規(guī)律。例如：在圖1中任意框出“十字架”形的5個數(shù)，說出其他4個數(shù)與中間的數(shù)有什么關(guān)系？［3］用13、17、18、19、23這樣的形式表達(dá)，其內(nèi)在的規(guī)律不易被發(fā)現(xiàn)。而用18-5、18-1、18、18+1、18+5的表征方式多列舉幾組，學(xué)生就容易發(fā)現(xiàn)并概括其中蘊(yùn)含的數(shù)的規(guī)律：用a表示中間的數(shù)，則a-5、a+5、a-1、a+1分別表示上下左右4個數(shù)。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生體會到數(shù)是動態(tài)的，可以進(jìn)行合理的分解，感悟數(shù)中蘊(yùn)含著多元的關(guān)系。

（二）從具體的數(shù)到概括的數(shù)

代數(shù)思維的核心是“一般化”，即不斷提升數(shù)學(xué)對象的抽象水平。對數(shù)的再抽象便是從具體的數(shù)向概括的數(shù)發(fā)展。有的問題中，數(shù)是已知且確定的，學(xué)生能理解用某個具體的數(shù)表示。而有的問題中，數(shù)是不確定的，需要用多個甚至是無數(shù)個具體的數(shù)表示。這不利于實(shí)際應(yīng)用，所以需要轉(zhuǎn)變思維，用某個符號表征這些不確定的數(shù)，并理解符號所表征的數(shù)的含義與能夠參與運(yùn)算的功能。

從具體的數(shù)到概括的數(shù)的認(rèn)識過程不是一蹴而就的。教師需要捕捉教學(xué)中的契機(jī)，引入適當(dāng)?shù)膯栴}情境，促使學(xué)生主動對具體的數(shù)進(jìn)行概括?！坝米帜副硎緮?shù)”是專門學(xué)習(xí)概括的數(shù)的內(nèi)容，教學(xué)中可出示問題：甲、乙兩地之間的公路長280千米，一輛汽車從甲地開往乙地，行了多少千米，還剩多少千米？對此，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生體會行駛的路程是不確定的，無法用具體的數(shù)表示，需要用其他符號表示；其次才是引導(dǎo)學(xué)生從多種表征方式向規(guī)范的字母表示發(fā)展。當(dāng)然，在學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”之前，也有很多機(jī)會讓學(xué)生感知數(shù)的概括意義。比如上述探索數(shù)的規(guī)律的問題，在表征規(guī)律時，具體的數(shù)有局限性，用符號表征才能幫助學(xué)生理解規(guī)律的普遍適用性。

二、在等號含義的學(xué)習(xí)中，理解等量關(guān)系

等號具有兩重含義，即程序性意義與關(guān)系性意義。前者是算術(shù)思維的體現(xiàn)，后者是代數(shù)思維的體現(xiàn)。卡彭特等認(rèn)為，由算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)換的標(biāo)志之一是從等號的程序觀念到關(guān)系觀念的轉(zhuǎn)變。實(shí)際上，學(xué)生剛認(rèn)識大于、小于和等于時，認(rèn)為三種符號就是用來表征關(guān)系的。后來，長時間的運(yùn)算學(xué)習(xí)使得學(xué)生將等號看作執(zhí)行運(yùn)算的指令，即等號的右邊要輸出運(yùn)算的結(jié)果。因而，在算術(shù)教學(xué)中，應(yīng)該重建學(xué)生對等號的理解，強(qiáng)化學(xué)生對等號關(guān)系性質(zhì)的認(rèn)識，啟發(fā)學(xué)生將等號看作等價的標(biāo)志，即表示兩邊的數(shù)學(xué)對象大小相等。

（一）借助直觀模型，理解相等關(guān)系

天平是表征關(guān)系的直觀模型。借助天平，學(xué)生能從感性到理性逐步理解等號的關(guān)系性質(zhì)。比如，利用天平開展數(shù)學(xué)活動：如圖2，盤子里每個蘋果的重量都相等，從5個盤子里選出一些盤子里的蘋果（一個盤子里的蘋果不分開）放到天平的兩邊，使天平保持平衡，可以怎么放？引導(dǎo)學(xué)生找出多種方法，重點(diǎn)體會任意一種方法中天平左右兩邊蘋果交換后仍然可以保持平衡，為學(xué)生理解等號兩邊的數(shù)或式交換位置后相等關(guān)系仍然成立打下基礎(chǔ)。再啟發(fā)學(xué)生用算式表示天平兩邊蘋果的數(shù)量關(guān)系，主要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)天平模型寫出3=1+2、5=1+4、5=2+3一類算式。接著，組織學(xué)生觀察這類算式的特點(diǎn)，并與1+2=3、1+4=5、2+3=5這類算式比較，體會等號表示兩邊的數(shù)相等，等號兩邊的數(shù)即便交換位置，也不會改變它們的相等關(guān)系。

（二）建構(gòu)等式性質(zhì)，強(qiáng)化相等關(guān)系

等式性質(zhì)是對相等關(guān)系的拓展，有助于學(xué)生進(jìn)一步理解等號的關(guān)系性質(zhì)，以代數(shù)思維分析與解決問題。等式的性質(zhì)1與等式的性質(zhì)2具有內(nèi)在的關(guān)聯(lián)：兩邊同時乘一個數(shù)，本質(zhì)上是兩邊同時加上若干個相同的數(shù)；兩邊同時除以一個非0的數(shù)，本質(zhì)上是兩邊同時連續(xù)減去若干個相同的數(shù)。教學(xué)時，仍需借助天平這一直觀模型，幫助學(xué)生理解等號兩邊同時變化的過程，逐步抽象出等式的性質(zhì)1與等式的性質(zhì)2，形成意義理解。

在此基礎(chǔ)上，有意識地應(yīng)用等式的性質(zhì)判斷等式是否成立，是衡量學(xué)生是否具有代數(shù)思維的標(biāo)志。比如，通過問題

“已知m=n，在（）里填入合適的數(shù)或字母：m+4=n+（），m×p=n×（），m-（）=n-17，m÷（）=n÷q”［4］，測評學(xué)生對等式性質(zhì)的掌握水平。算術(shù)思維下，學(xué)生判斷等號左右兩邊是否相同，需要算出結(jié)果進(jìn)行比較。而該問題中，學(xué)生無法計算，只能依據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行推理。在探索與應(yīng)用等式性質(zhì)的過程中，學(xué)生不僅能從新的角度理解等號的含義，也能接觸很多新穎的等式（以往都是等號右邊只有一個數(shù)的類型），從而為代數(shù)思維的發(fā)展打下基礎(chǔ)。

三、在數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，探尋算式結(jié)構(gòu)

計算是算術(shù)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容。教師普遍重視學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，學(xué)生也基本能形成良好的運(yùn)算技能，最顯著的表現(xiàn)是：遇到一步算式，便列豎式計算；遇到綜合算式，便按照運(yùn)算順序一步步計算，熟練度與正確率都比較高，但這些都是程序化算術(shù)思維的體現(xiàn)。而運(yùn)算能力不僅指正確計算，還包含根據(jù)運(yùn)算律選擇合理簡潔的運(yùn)算途徑。這其中蘊(yùn)含了代數(shù)思維的培養(yǎng)契機(jī)。

早期代數(shù)研究者提出“準(zhǔn)變量”的概念，意指在一個或一組算式中，存在某些潛在的數(shù)學(xué)關(guān)系，這些數(shù)學(xué)關(guān)系不會因?yàn)閿?shù)字的改變而變化。數(shù)字是具體可變的，但其中蘊(yùn)含的關(guān)系一般是不變的。學(xué)生可以具體數(shù)字為載體，探索應(yīng)用其中的一般關(guān)系。因而，“準(zhǔn)變量思維”被稱作溝通算術(shù)思維與代數(shù)思維的橋梁。計算教學(xué)中，可以啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)換自動化的算術(shù)思維，應(yīng)用“準(zhǔn)變量思維”挖掘算式中隱藏的關(guān)系，通過恒等變形探索更合理簡潔的運(yùn)算途徑。例如，計算103×25，學(xué)生的第一反應(yīng)是列豎式計算，這是程序化的算術(shù)思維。若不加引導(dǎo)，學(xué)生的算術(shù)思維會愈加自動化，關(guān)系性的代數(shù)思維會更難扎根發(fā)展。在學(xué)生掌握乘法分配律后，可以引導(dǎo)學(xué)生將103看作準(zhǔn)變量，進(jìn)行合理的分解：103×25＝（100+3）×25=100×25＋3×25。由此，學(xué)生不難通過口算得出結(jié)果。當(dāng)然，103的分解方法是多樣的，分解成100與3只是其中使得運(yùn)算最合理簡潔的一種。對上述案例進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)算中算術(shù)思維與代數(shù)思維的區(qū)別：算術(shù)思維的著眼點(diǎn)在細(xì)節(jié)，弄清每一步做什么，然后按照計劃執(zhí)行；代數(shù)思維的著眼點(diǎn)在全局，先進(jìn)行整體上的分析，厘清關(guān)系后進(jìn)行恒等變形，找出更加合理的運(yùn)算途徑后再計算。而這時候的計算要比算術(shù)思維下的計算簡潔很多。

實(shí)際上，在小學(xué)階段，學(xué)生會掌握很多運(yùn)算律或運(yùn)算性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律、分配律、商不變的規(guī)律、積的變化規(guī)律、除法性質(zhì)與減法性質(zhì)等。這些都是蘊(yùn)含在具體算式中的一般關(guān)系，等待學(xué)生挖掘與應(yīng)用。也就是說，學(xué)生已經(jīng)具備了進(jìn)行代數(shù)思維的知識基礎(chǔ)，關(guān)鍵是教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方式，緩解算術(shù)思維的自動化程度，培養(yǎng)整體分析算式、進(jìn)行恒等變形的代數(shù)意識。

而且，應(yīng)用“準(zhǔn)變量”概念探尋算式結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生認(rèn)識到運(yùn)算是一種制造對應(yīng)關(guān)系的法則，從而初步體會函數(shù)思想［5］——從本質(zhì)上看，各種運(yùn)算都是對應(yīng)法則，都是函數(shù)。

四、在運(yùn)算規(guī)律的學(xué)習(xí)中，經(jīng)歷概括論證

算術(shù)思維關(guān)注的是具體的數(shù)或算式，代數(shù)思維關(guān)注的是一般的對象或關(guān)系。所以，代數(shù)思維的核心是一般化：將若干個具體的實(shí)例概括成統(tǒng)一的形式。算術(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生會遇到很多運(yùn)算規(guī)律，這些運(yùn)算規(guī)律都是對算術(shù)中普遍性關(guān)系結(jié)構(gòu)的概括。在運(yùn)算規(guī)律的學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納概括與推理論證的過程，有利于學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展。

（一）概括運(yùn)算規(guī)律

歸納概括是從幾個具體的例子推出一般規(guī)律的思維過程，包括有序經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證規(guī)律、歸納規(guī)律、概括表征等學(xué)習(xí)活動，有助于學(xué)生逐步體驗(yàn)運(yùn)算規(guī)律的一般化，感知代數(shù)思維的一般化特征。

比如，教學(xué)“乘法分配律”，一般先引導(dǎo)學(xué)生探索問題情境（如下頁圖3所示），得出具體的等式（6+4）×24=6×24+4×24；再讓學(xué)生觀察這樣的等式，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在學(xué)生獲得一定發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上提出問題：“其他的數(shù)的運(yùn)算也符合這樣的規(guī)律嗎？寫幾道這樣的式子，并驗(yàn)證等號兩邊的結(jié)果是否相等?！崩^續(xù)引導(dǎo)：“像這樣的等式還有嗎？你們能寫完嗎？”啟發(fā)學(xué)生理解，數(shù)可以任意變化，但其中蘊(yùn)含的規(guī)律是不變的?！澳苡靡痪湓挶硎締?？能用更簡潔的方法表示嗎？”引導(dǎo)學(xué)生先用個性化的語言表征規(guī)律，將重點(diǎn)放在規(guī)律概括的正確性上。最后啟發(fā)學(xué)生用多樣、簡潔的方式表示，最終向規(guī)范化的字母表征發(fā)展。需要注意的是：教學(xué)的要點(diǎn)是對運(yùn)算規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與概括，即引導(dǎo)學(xué)生正確地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會用數(shù)字表征的局限性，感悟其他符號概括數(shù)的功能。至于是否用字母進(jìn)行表征，則是相對次要的。

（二）論證運(yùn)算規(guī)律

對于所說的“一般化”，應(yīng)該有更加完整的理解，即不僅是指由特殊上升到一般，也包括結(jié)果的表述與論證。［6］運(yùn)算規(guī)律的歸納概括主要是一種歸納推理，具有或然性，需要通過推理論證來說明必然性。經(jīng)歷推理論證過程，不僅能深化學(xué)生對運(yùn)算規(guī)律的理解，也能促進(jìn)運(yùn)算規(guī)律的應(yīng)用。

比如，教學(xué)“乘法分配律”，從多個具體的等式中歸納出（a+b）×c＝a×c+b×c后，需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考這一規(guī)律為何成立?？梢詥l(fā)學(xué)生從兩個角度理解規(guī)律。第一個角度，借助直觀模型理解。如圖4，有兩個小長方形，其面積和有兩種算法：可以先求出兩個小長方形的面積再相加，即a×c+b×c；也可以先把兩個小長方形合成一個大長方形，再算出面積，即（a+b）×c。這兩種算法結(jié)果相同，所以，（a+b）×c＝a×c+b×c。

第二個角度，借助乘法的意義理解。a×c表示a個c相加，b×c表示b個c相加，a×c+b×c表示（a+b）個c相加，即（a+b）×c。

有時，我們的教學(xué)過于重視運(yùn)算規(guī)律的應(yīng)用，在歸納概括出規(guī)律后，便匆忙用其解決問題，忽視了對規(guī)律的理解與論證。這不僅導(dǎo)致機(jī)械學(xué)習(xí)、淺層理解與錯誤頻發(fā)，也使學(xué)生缺失了對相等關(guān)系的深度體悟。因此，運(yùn)算規(guī)律的教學(xué)中，概括與論證不可或缺，共同促進(jìn)學(xué)生體會代數(shù)思維中的“一般化”。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 呂世虎，顏飛.新課標(biāo)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容分析：從結(jié)構(gòu)到要求［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（11）：89.

［2］ 鄧茜茜，丁銳.西方早期代數(shù)相關(guān)研究及啟示［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2023（5）：69.

［3］ 尹力，郭修瑾.從符號表征入手——也談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的符號意識培養(yǎng)［J］.教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2021（8）：64.

［4］ 朱向明，劉曉萍.讓代數(shù)思維在探究等式的性質(zhì)中萌發(fā)——“等式的性質(zhì)”教學(xué)實(shí)踐與思考［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2023（4）：1016.

［5］ 張景中.感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量——寫給小學(xué)數(shù)學(xué)教師們［J］.人民教育，2007（18）：32.

［6］ 鄭毓信.“代數(shù)思維的滲透”與“認(rèn)知心理學(xué)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”——《數(shù)學(xué)教育研究手冊》的學(xué)習(xí)和思考之一［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2021（9）：48.