顧志國(guó)

(江蘇省宿遷市泗洪縣第一高級(jí)中學(xué))

平面向量的數(shù)量積是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)核心知識(shí)點(diǎn),常與平面幾何、三角函數(shù)、解三角形、解析幾何等綜合考查,題目形式多種多樣,其中求向量的數(shù)量積和模的取值范圍問題就是典型的一種.為幫助同學(xué)們系統(tǒng)掌握這種問題常用的解題策略,本文以幾道典型的例題為例介紹一些常用的解題方法.

1 利用參數(shù)的取值范圍

用參數(shù)表示某些線段上的動(dòng)點(diǎn)是解決有關(guān)向量問題的常用方法,此時(shí)的參數(shù)是有范圍限制的,利用好該范圍是求向量數(shù)量積取值范圍的重要依據(jù).

例1 在矩形ABCD中,邊AB,AD的長(zhǎng)分別為2,1,若M,N分別是邊BC,CD上的點(diǎn),且滿足的取值范圍.

分別以矩形的邊AB,AD為x軸 和y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(2,0),C(2,1).設(shè)

圖1

則M(2,λ),N(2－2λ,1),所以

本題先用參數(shù)λ將兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)表示出來,進(jìn)而可得出所求向量的數(shù)量積,解題時(shí)需注意到參數(shù)λ的取值范圍直接影響到所求向量數(shù)量積的取值范圍.

例2 在直角梯形ABCD中,AB//DC,∠ABC＝90°,AB＝3,BC＝DC＝2.若E,F分別是線段DC和BC上的動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍.

如圖2所示,在直角梯形ABCD中,分別以AB,BC所在的直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系,由已知可得A(－3,0),C(0,2),D(－2,2),則＝(3,2).

圖2

由于本題中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),故需要設(shè)兩個(gè)變量,在確定這兩個(gè)變量的取值范圍后,就可以運(yùn)用不等式的性質(zhì)解決兩個(gè)變量的線性關(guān)系的取值范圍問題.

2 利用二次函數(shù)

通過建立平面直角坐標(biāo)系,可以運(yùn)用坐標(biāo)很快地將有關(guān)向量用含參變量表示出來,這樣向量的數(shù)量積問題可能能轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的二次函數(shù)問題,從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題就順其自然了.

例3 在等腰直角△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝BC＝2,M,N為AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M,N不與A,C重合),且滿足,求的取值范圍.

不妨設(shè)點(diǎn)M靠近點(diǎn)A,點(diǎn)N靠近點(diǎn)C,以等腰直角△ABC的直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖3 所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,2),C(2,0),線段AC的方程為x＋y－2＝0(0≤x≤2).

圖3

圖4

由于求出的向量數(shù)量積是一個(gè)關(guān)于參數(shù)a的二次函數(shù),于是利用二次函數(shù)求最值的方法,根據(jù)參數(shù)的范圍確定向量數(shù)量積的取值范圍便是順理成章的事.

本解法雖然沒有建立平面直角坐標(biāo)系求解,但靈活運(yùn)用了共線向量的定理,通過引入?yún)?shù)將待求的向量數(shù)量積用已知向量進(jìn)行替換變形,進(jìn)而將原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題.

3 利用三角函數(shù)

許多與圓上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的向量問題,通常先設(shè)出該動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),再利用三角函數(shù)的性質(zhì)解題.

例5 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).以A為 圓心、AE為 半徑,作弧 交AD于

點(diǎn)F.若P為劣弧EF上的動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍.

如圖5 所示,分別以AB,AD所在直線為x軸、y軸 建 立 平 面 直 角 坐 標(biāo)系,由于正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則C(2,2),D(0,2),由于P為弧EF上的動(dòng)點(diǎn),不妨設(shè)

圖5

通過建立平面直角坐標(biāo)系求解本題是比較容易想到的一種方法,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo),所求向量的數(shù)量積便可通過三角函數(shù)表示出來,進(jìn)而可將原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的取值范圍問題.

例6 半徑為2的扇形的圓心角為120°,M,N分別為線段OP,OQ的中點(diǎn),A為上任意一點(diǎn),求的取值范圍.

如圖6 所示,以點(diǎn)O為 坐 標(biāo) 原 點(diǎn)、OQ所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則

圖6

因?yàn)樯刃慰煽闯蓤A的一部分,所以通過設(shè)角θ為參數(shù),就可以將向量的數(shù)量積用三角函數(shù)關(guān)系式表示出來,后續(xù)便可利用三角函數(shù)的有界性解題.

本文總結(jié)了求平面向量數(shù)量積取值范圍問題的幾種常規(guī)方法,可能不夠全面,在具體問題中可能還會(huì)有其他奇思妙解,限于篇幅,這里就不贅述了.

(完)