王中學(xué) 何 虎

(安徽省合肥一六八中學(xué))

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容,也是高考的必考考點(diǎn),高考主要考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基本性質(zhì)的掌握程度,因此備受高考命題者的青睞.但由于三角函數(shù)具備單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性、最值等多種性質(zhì),特點(diǎn)鮮明,部分同學(xué)對(duì)其理解與轉(zhuǎn)化存在一定的困難.根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式中的初相φ的值或取值范圍是三角函數(shù)中比較典型的一類問題,本文以近幾年的高考題及模擬題為例,立足于三角函數(shù)的性質(zhì),對(duì)三角函數(shù)中初相φ的求解策略進(jìn)行歸納總結(jié).

1 與函數(shù)的對(duì)稱性有關(guān)

1.1 對(duì)稱軸

1.2 對(duì)稱中心(或零點(diǎn))

例3 (2020年新高考Ⅰ卷10,多選題)圖1是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的 部 分 圖 像,則sin(ωx＋φ)＝( ).

圖1

圖2

綜上,選BC.

函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)是由函數(shù)y＝Asinμ和μ＝ωx＋φ復(fù)合而成的,把正弦函數(shù)y＝sinx的對(duì)稱中心(kπ,0)以及對(duì)稱軸)進(jìn)行整體代換即可,形如函數(shù)y＝Asinωx(A≠0,ω≠0)的函數(shù)為奇函數(shù),關(guān)于(0,0)對(duì)稱;形如y＝Acosωx(A≠0,ω≠0)的函數(shù)為偶函數(shù),關(guān)于y軸對(duì)稱;在進(jìn)行變換時(shí),也可以用誘導(dǎo)公式進(jìn)行變換,而符號(hào)不影響函數(shù)的奇偶性.

2 與函數(shù)值有關(guān)

例4 (2022年全國(guó)乙卷理15)記函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期為T,若為f(x)的零點(diǎn),則ω的最小值為__________.因?yàn)閒(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π),所以f(x)的最小正周期為,而

方法2 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為2,所以sin(x＋φ)＝cosx＝1,解得x＝2kπ(k∈Z),則

方法3 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為2,而(cosx)max＝1,因此只需要把sin(x＋φ)轉(zhuǎn)化為cosx即可.

求解時(shí),將一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)的坐標(biāo)代入解析式,再結(jié)合圖形求解φ.若對(duì)φ的范圍有要求,則可寫出φ所滿足的一般式,對(duì)其所有的取值進(jìn)行驗(yàn)證,使其符合要求.

3 與函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)

4 與ω 的取值有關(guān)

例10 已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖像的一部分如圖3 所示,求函數(shù)f(x)的解析式.

圖3

ω的取值情況會(huì)影響初相φ值的確定,由ω的取值得出初相φ的表達(dá)式,然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、對(duì)稱性、最值點(diǎn)、零點(diǎn)、函數(shù)值等最終確定初相φ的取值.

5 小結(jié)

通常三角函數(shù)中的初相φ的變化是由函數(shù)圖像的左右平移產(chǎn)生的,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、最值點(diǎn)等性質(zhì)會(huì)隨著圖像左右平移有所變化.但無論題目的背景換成什么,其本質(zhì)不變,都是通過正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)來解決.因此,借助三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)解析式中的初相φ,應(yīng)在熟悉三角函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上,通過掌握初相φ與三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性和最值等之間的密切聯(lián)系,利用轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想,把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、熟悉化.三角函數(shù)具有幾何和代數(shù)的雙重特征,命題專家往往利用它來考查學(xué)生的分析和解決問題能力,只有抓住概念的本質(zhì),把數(shù)學(xué)思想方法貫穿于教學(xué)中,才能提高學(xué)生的思維水平,培養(yǎng)解題能力與數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng),從而適應(yīng)考試題目的創(chuàng)新.

(完)