魏 燕

(浙江金華第一中學(xué))

求向量數(shù)量積的最大值與最小值是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題,經(jīng)常與平面向量的模與夾角等知識(shí)綜合考查,題型多種多樣,其中與幾何圖形相結(jié)合的綜合題比較常見(jiàn).由于部分學(xué)生對(duì)各類(lèi)題型缺乏科學(xué)的練習(xí)和系統(tǒng)的整理,遇到此類(lèi)問(wèn)題感覺(jué)會(huì)無(wú)從下手.為此,本文介紹了探求向量數(shù)量積最值問(wèn)題的幾種方法,供讀者參考.

1 巧設(shè)動(dòng)點(diǎn)

在一些題目中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)是某條已知曲線上的點(diǎn)(這實(shí)際上是給出的一個(gè)重要條件),通過(guò)巧妙設(shè)出動(dòng)點(diǎn),往往可以找到問(wèn)題的切入點(diǎn).

如圖1所示,以AB所在的直線為x軸、AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(－1,0),B(1,0),C(－1,－2),又點(diǎn)P在單位圓x2＋y2＝1(y≥0)上運(yùn)動(dòng),所以設(shè)P(cosθ,sinθ).

圖1

圖2

圖3

與圓有關(guān)的最值問(wèn)題,一般是將圓心設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),這樣圓上的動(dòng)點(diǎn)就可以用圓心角表示,為后面利用三角函數(shù)的有界性解題創(chuàng)造條件.

2 抓住范圍

在解決問(wèn)題的過(guò)程中,經(jīng)常會(huì)遇到一些用參數(shù)表示的條件,挖掘并巧妙地利用這些參數(shù)的變化范圍也是求向量數(shù)量積最值問(wèn)題的常用方法.

在此解法中,利用參數(shù)λ構(gòu)建了向量數(shù)量積的函數(shù)f(λ),然后由參數(shù)的范圍確定了函數(shù)的值域,這樣也就順利求出向量數(shù)量積的最大值了.

3 幾何分析

在探究一些幾何圖形中的向量問(wèn)題時(shí),要善于抓住其特點(diǎn),如中點(diǎn)、平行、比例關(guān)系等,這往往就是解題的突破口.

4 引參助解

在求向量數(shù)量積的最值問(wèn)題時(shí),可以適時(shí)地引入?yún)?shù),用參數(shù)將一些變化中的向量表示出來(lái),然后便能運(yùn)用代數(shù)的方法求解最值問(wèn)題.

例4 如圖4 所示,在Rt△ABC中,AB＝AC,BC＝4,O為BC的中點(diǎn),以O(shè)為圓心、1 為 半 徑 的 半 圓 與BC交于點(diǎn)D,P__為半圓上任意一點(diǎn),求的最小值.

圖4

圖5

在此解法中,通過(guò)引入?yún)?shù)t,將待求的向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為一條直線,而需求的最值就是直線與半圓相切的特殊情況下的取值.

5 代數(shù)運(yùn)算

在解決向量數(shù)量積最值問(wèn)題時(shí),有時(shí)會(huì)用到二次函數(shù)、三角函數(shù)、基本不等式等知識(shí)求解.

例5 如圖6 所示,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),M是直線DE上的動(dòng)點(diǎn).若△ABC的面積為2,求2的最小值.

圖6

因?yàn)镈,E分別是AB,AC的中點(diǎn),所以點(diǎn)M到BC的距離是點(diǎn)A到BC的距離的一半,又△ABC的面積為2,所以S△MBC＝1.

此解法用一個(gè)角將所求的向量數(shù)量積表示出來(lái),這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

(完)