杜銀玲

(江蘇省泰州市姜堰區(qū)婁莊中學(xué))

平面向量作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,它不僅具有一套完整的知識(shí)體系,更是解數(shù)學(xué)題的有力工具.無論是代數(shù)問題,還是幾何問題,均可考慮用平面向量知識(shí)求解,下文舉例說明.

1 妙解三角函數(shù)求值問題

對(duì)于某些三角函數(shù)式求值問題,可以通過構(gòu)造坐標(biāo)系,利用向量的運(yùn)算求解.在求解時(shí),可能需要用到三角恒等變換公式.

圖1

解答本題用到了平面向量運(yùn)算的兩個(gè)性質(zhì):1)|m?n|≤|m||n|;2)幾個(gè)首尾相連的向量之和為零向量.

2 妙解平面幾何問題

例2 如圖2所示,在平行 四 邊 形ABCD中,BC＝2BA＝2,∠ABC＝60°,作AE⊥BD交BC于點(diǎn)E,求證:BE∶EC＝2∶3.

圖2

利用平面向量求解平面幾何問題,通常有兩種方法:基底法和坐標(biāo)法.當(dāng)給出的圖形易于建立平面直角坐標(biāo)系時(shí),一般采用坐標(biāo)法.本例中采用了基底法,也可采用坐標(biāo)法,讀者可自行嘗試.

3 妙解不等式問題

平面向量數(shù)量積運(yùn)算的性質(zhì)和向量形式的三角不等式都具備不等式的特征,巧妙構(gòu)造向量并利用這些向量知識(shí)有時(shí)可以快速解決不等式問題.例3 如圖3所示,已知凸五邊形ABCDE內(nèi)接于半徑為1的圓,且AB＝a,BC＝b,CD＝c,DE＝d,AE＝2,求證:

圖3

連接AC,CE,易知

4 妙解解析幾何問題

平面向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁,因此可以利用該知識(shí)點(diǎn)解決平面向量與解析幾何的綜合題.

圖4

通過對(duì)以上幾類問題的分析,不難看出平面向量在解題中的應(yīng)用.其實(shí),利用平面向量還可以證明三角恒等變換公式、正弦定理、余弦定理以及解析幾何中的點(diǎn)到直線的距離公式等,限于篇幅,這里不再展開,感興趣的讀者可以嘗試證明.

(完)