尹春晨

(福建省永安市第九中學(xué))

高考對平面向量的考查主要涉及平面向量的基本概念、一些特殊的向量(如零向量、單位向量)、向量的關(guān)系(相等、相反)、向量的夾角、向量的運(yùn)算、向量的模等,學(xué)生在解題中極易出現(xiàn)因?qū)Ω拍畎盐詹粶?zhǔn)確、混淆向量的投影與投影向量、忽視向量夾角的定義、不注意向量夾角的取值范圍等問題造成錯解.下面針對這些致錯根源進(jìn)行舉例剖析.

1 對基本概念把握不準(zhǔn)確

例1 現(xiàn)有如下四個命題:

①已知向量a,b,則“a＝b”是“|a|＝|b|”的充要條件;

②已知向量a,b是兩個單位向量,則“a＝b”是“|a＋b|＝2”的充要條件;

③若a?b＝0,則a＝0或b＝0;

④若a//b且b//c,則a//c.

其中正確的命題為_________.

錯解 此類問題綜合了向量的有關(guān)概念,若對相關(guān)概念把握不準(zhǔn)確,則易錯選①③④.

剖析 對于命題①,向量是既有大小又有方向的矢量,當(dāng)a＝b時,兩向量的模相等,方向相同,但兩個模相等的向量,方向不一定相同,故“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分不必要條件,命題①錯誤.

對于命題②,|a＋b|≤|a|＋|b|,當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量同向時,等號成立,命題②正確.

對于命題③,若向量a≠0且b≠0,當(dāng)a⊥b時,a?b＝0,命題③錯誤.

對于命題④,若b＝0,則a//b且b//c,但向量a,c不一定平行,命題④錯誤.

綜上,正確的命題為②.

2 混淆向量的投影與投影向量

3 忽視向量夾角的定義

例3 在△ABC中＞0,則△ABC的形狀是( ).

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.不能確定

4 不注意向量夾角的取值范圍

例4 已知a,b均為單位向量,則“|a－b|＜2”是“?a,b?為銳角”的( ).

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

圖1

5 向量的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算不分

例5 已知向量a,b,c,現(xiàn)給出如下四個命題:

①a?(b＋c)＝a?b＋a?c;

②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c);

③(a?b)c＝a(b?c);

④(a?b)2＝a2?b2.

其中正確命題的個數(shù)為________.

錯解 數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算是兩種不同的運(yùn)算,若將二者混淆,則易認(rèn)為③和④正確,從而造成解題錯誤.

剖析 若將向量a,b換為實(shí)數(shù),則上述幾個運(yùn)算關(guān)系均正確.

對于命題①,符合向量乘法的分配律,故①正確.

對于命題②,符合向量加法的結(jié)合律,故②正確.

對于命題③,兩個向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果為常數(shù),則(a?b)c是與向量c共線的向量,a(b?c)是與向量a共線的向量,因此等式不一定成立,故③錯誤.

對于命題④,因?yàn)閍?b＝|a|?|b|cos?a?b?,所以(a?b)＝|a|?|b|cos?a?b?,而cos?a?b?∈[0,1],只有當(dāng)cos?a?b?＝1時,等式才成立,故④錯誤.

綜上,正確命題①②,故正確命題的個數(shù)為2.

6 題目隱含條件利用不充分

剖析 上述解法所得結(jié)論錯誤的原因是求解過程中沒有注意到點(diǎn)P在三角形的內(nèi)部(含邊界)這個條件.

如圖2所示,設(shè)D為AB邊上一點(diǎn),且2,過點(diǎn)D作AC的平行線交BC于點(diǎn)E.過點(diǎn)E作AB的平行線交AC于點(diǎn)F.

圖2

當(dāng)然,在求解與向量有關(guān)的問題時易出錯的地方還有很多,如在利用向量三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化時,未注意向量的方向,在對已知關(guān)系進(jìn)行變形時,未對變形的等價性進(jìn)行判斷等.總之,同學(xué)們在學(xué)習(xí)中要注意對這些易錯點(diǎn)進(jìn)行歸納,對錯誤根源進(jìn)行剖析,避免同類錯誤屢次出現(xiàn).

(完)