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半畝方塘一鑒開 多維視角共徘徊
——2023年全國數(shù)學(xué)高考乙卷理科第20題的解法探究與拓展

2023-10-20 08:32:30陳熙春李小剛
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2023年10期
關(guān)鍵詞:同理中點(diǎn)斜率

陳熙春, 李小剛

(六盤山高級中學(xué),寧夏 銀川 750002)

圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題一直是高考中值得關(guān)注的問題.由于其形式多變,方法靈活,成了近幾年高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)之一.本文以2023年全國數(shù)學(xué)高考乙卷理科第20題的第2)小題為例,多角度探究求解,以期促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)掌握解題方法,培養(yǎng)理性思維,并全面提升解題能力.

1 真題呈現(xiàn)

1)求C的方程;

2)過點(diǎn)(-2,3)的直線交C于點(diǎn)P,Q,直線AP,AQ與y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N,證明:線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

(2023年全國數(shù)學(xué)高考乙卷理科試題第20題)

此題以橢圓為載體,背景是高等幾何中的極點(diǎn)極線模型.以極點(diǎn)極線為背景的問題一直是高考中的“常青樹”.試題新穎別致,立意高遠(yuǎn)而厚重,構(gòu)思獨(dú)具匠心,突出關(guān)鍵能力考查,素養(yǎng)要求高,重視考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),體現(xiàn)了高考試題從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的功能.此題解法十分靈活,解題入口寬,深入難,區(qū)分度較高,凸顯了高考試題的選拔性,是一道有豐厚內(nèi)涵的經(jīng)典試題[1].

2 多維視角,解法探究

思維視角1聯(lián)立方程,設(shè)而不求.

解法1(普通方程法)

由題意可知直線PQ的斜率存在.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ:y=k(x+2)+3.聯(lián)立方程

消去y,得

(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0.

由Δ>0,解得k<0,可得

故線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

解法2(整體代換法)

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),B(-2,3),M(0,yM),N(0,yN),PQ:y=k(x+2)+3.聯(lián)立方程

消去y,得

(4k2+9)(x+2)2+(24k-36)(x+2)+36=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系可得

因?yàn)锳(-2,0),所以直線

故線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

評注利用整體的思想,構(gòu)造出關(guān)于x+2的一元二次方程,得到斜率間的等量關(guān)系,把x+2看成整體以后,比解法1要簡潔,運(yùn)算量大大簡化.這種整體代換的思想是處理解析幾何煩瑣運(yùn)算的一種有效策略.

思維視角2構(gòu)造齊次式.

解法3(構(gòu)造和齊次化法)

9[(x+2)-2]2+4y2=36,

9(x+2)2-36(x+2)+4y2=0.

齊次化,得

9(x+2)2-36(x+2)[m(x+2)+ny]+4y2=0,

化簡得

4y2-36ny(x+2)+(9-36m)(x+2)2=0.

等式兩邊同除以(x+2)2,構(gòu)造斜率式,得

由根與系數(shù)的關(guān)系得kAQ+kAP=3.

由A(-2,0)可設(shè)直線AP的方程為

y=kAP(x+2).

令x=0,得

yM=2kAP,

同理可得

yN=2kAQ.

因此,線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

故線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

解法4(平移變換和齊次化法)

將坐標(biāo)系向左平移兩個單位,即點(diǎn)A(-2,0)平移至原點(diǎn)A′(0,0),此時定點(diǎn)B(-2,3)變?yōu)锽′(0,3).此時橢圓方程為

變形得 4y2+9x2-36x=0.

(1)

設(shè)平移后直線PQ的方程為mx+ny=1,且過點(diǎn)B′(0,3),從而

把直線PQ的方程mx+ny=1代入式(1),得

4y2+9x2-36x(mx+ny)=0,

整理得

4y2-36nxy+(9-36m)x2=0.

等式兩邊同除以x2,構(gòu)造斜率式,得

由根與系數(shù)的關(guān)系,得

kA′Q+kA′P=3,

由A′(0,0)可設(shè)直線A′P的方程為

y=kA′Px.

令x=2,得

yM=2kA′P.

同理可得

yN=2kA′Q.

因此,線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

故線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

評注采用構(gòu)造齊次化運(yùn)算主要解決直線與圓錐曲線中斜率之和或斜率之積為定值的問題.這個定的問題最后轉(zhuǎn)化成了斜率之和或斜率之積為定值的證明.齊次化運(yùn)算比傳統(tǒng)的設(shè)而不求極大地簡化了計算量,其核心就是先構(gòu)造斜率的二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

思維視角3點(diǎn)差法.

解法5(點(diǎn)差法和三點(diǎn)共線)

同理可得

兩式相減,得

(2)

又知點(diǎn)B,P,Q共線可得

變形可得

k1+k2=3,

故線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

評注利用“點(diǎn)差法”,通過設(shè)點(diǎn)、代點(diǎn)、作差構(gòu)造出kAP,kAQ的表達(dá)式,便可輕松解決.

解法6(點(diǎn)差法和斜率雙用)

設(shè)點(diǎn)B(-2,3),P(x1,y1),Q(x2,y2),直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,易得MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,k1+k2).由

兩式相減,得

同理可得

不妨設(shè)k1+k2=m,則

化簡可得

4y1y2-9x1x2+18x1-18x2+36=4my2x1+8my2,

同理可得

4y1y2-9x1x2+18x2-18x1+36=4my1x2+8my1,

兩式相減,得

9(x1-x2)=m(y2x1-y1x2)+2m(y2-y1).

(3)

又由點(diǎn)B,P,Q共線,得

化簡可得

9(x1-x2)=3(y2x1-y1x2)+6(y2-y1),

(4)

將式(3)與式(4)對比,可得m=3,故線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

評注此題為“斜率和”問題.在解題中涉及斜率和的問題時的解題規(guī)律:寫出原式→交叉使用→化整作差→對照兩點(diǎn)式.這種方法同樣可以解決“斜率積”問題.

思維視角4借梯登高思維.

解法7(參數(shù)方程法)

設(shè)直線PQ的參數(shù)方程為

(4+5cos2α)t2+12(2sinα-3cosα)t+36=0.

設(shè)P,Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則

又P(-2+t1cosα,3+t1sinα),Q(-2+t2cosα,3+t2sinα),直線AP的方程為

令x=0,得

同理可得

因此線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

故線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

評注充分利用直線分別與橢圓相交這一幾何條件,利用參數(shù)方程實(shí)現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化,體現(xiàn)了解析幾何的基本思想——數(shù)形結(jié)合,有效地減少了運(yùn)算量.應(yīng)用參數(shù)方程法是破解此類問題的一種有效策略.

解法8(三角代換法)

于是設(shè)橢圓的參數(shù)方程為

設(shè)B(-2,3),點(diǎn)P,Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,由點(diǎn)B,P,Q共線,得

化簡得

t1+t2=2.

同理可得

從而

由A(-2,0)可設(shè)直線AP的方程為

y=kAP(x+2).

令x=0,得

yM=2kAP,

同理可得

yN=2kAQ.

因此線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

故線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

評注引入橢圓的參數(shù)方程,巧妙地實(shí)現(xiàn)了幾何問題與三角函數(shù)的精彩聯(lián)袂,使解題方向更加清晰明了.

解法9(定比插參法)

設(shè)點(diǎn)B(-2,3),P(x1,y1),Q(x2,y2),直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,易得MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,k1+k2).因?yàn)辄c(diǎn)B,P,Q共線,所以

故線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

評注解決此題的難點(diǎn)在于如何“設(shè)參”,焦點(diǎn)在于如何“用參”,重點(diǎn)在于如何“消參”.“設(shè)參—用參—消參”是解圓錐曲線問題的基本方法.因此定值問題的解題思路是:1)設(shè)參數(shù);2)用參數(shù)來表示要求定值的式子;3)消參數(shù).

思維視角5利用曲線系方程.

解法10(曲線系法)

設(shè)直線AP:x=m1y-2,AQ:x=m2y-2,PQ:y=kx+b,設(shè)直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,易得MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,k1+k2).由直線PQ過點(diǎn)(-2,3),知3=b-2k.又點(diǎn)P,Q在橢圓上,故可設(shè)過點(diǎn)A,P,Q的橢圓方程為

(x-m1y+2)(x-m2y+2)+λ(x+2)(y-kx-b)=0,

變形可得

(1-kλ)x2+m1m2y2+(λ-m1-m2)xy+2(λ-m1-m2)y+(4-bλ-2kλ)x+4-2bλ=0.

與橢圓C:9x2+4y2=36比較系數(shù),得

評注一般地,高考中出現(xiàn)的二次曲線為兩對直線與一圓錐曲線組成的體系,通過添加系數(shù),可以用其中的任意兩個元素來表示第三個元素,從而建立等式,列出方程求解.利用曲線系方程,實(shí)際上把計算難度轉(zhuǎn)移到直線方程系數(shù)的比較上,調(diào)整兩個多項(xiàng)式恒等,其對應(yīng)系數(shù)相等.

思維視角6同構(gòu)法.

解法11設(shè)直線AP:x=m1y-2,AQ:x=m2y-2,PQ:x=m0y+n,則聯(lián)立直線AP,PQ,可得

代入橢圓方程,得

同理可得

從而m1,m2為方程

(9n2-36)m2+(72m0+36m0n)m+4(2+n)2=0

(5)

的兩個根.

由直線PQ過點(diǎn)(-2,3),得

n=-2-3m0,

代入式(5),得

設(shè)直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,從而MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,k1+k2),于是

故MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

評注同構(gòu)是一種常見的思想方法,是映襯著數(shù)學(xué)的對稱和諧之美的數(shù)學(xué)方法,是“同理可得”的理論基礎(chǔ),是函數(shù)與方程思想的代名詞與具體體現(xiàn).在解題中靈活利用同構(gòu)式,可以起到化繁為簡、“四兩撥千斤”的作用.

(4k2+9)x2+16k2x+16k2-36=0.

當(dāng)Δ>0時,由根與系數(shù)的關(guān)系,得

又xA=-2,從而

設(shè)直線PQ:y=m(x+2)+3,將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入,化簡得

12k2-36k+36m+27=0.

同理可設(shè)直線AQ的斜率為k1,得

因此,k,k1是二次方程12x2-36x+36m+27=0的兩個根,故k+k1=3.下同解法3(略).

評注利用同構(gòu)思想解題相當(dāng)于尋找斜率滿足的二次方程,可以取得事半功倍的效果.在此題中方程有一個根是-2,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個根,可以減少計算量.

思維視角7營造對稱,方便計算.

解法13(對偶式法)

設(shè)點(diǎn)B(-2,3),P(x1-2,y1),Q(x2-2,y2),因?yàn)辄c(diǎn)B,P,Q共線,所以

變形,得

y1x2-y2x1=3(x2-x1).

構(gòu)造對偶式

因?yàn)橹本€AP的方程為

令x=0,得

同理可得

因此,線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

故線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)(0,3).

評注構(gòu)造對偶式重在“構(gòu)造”,在運(yùn)用時要對已知等式進(jìn)行整體觀察,利用代數(shù)式的對稱性,設(shè)法構(gòu)造有利于計算的代數(shù)式,簡捷獲解.對偶式主要是用于化簡、轉(zhuǎn)化定點(diǎn)、定直線的坐標(biāo)表示,構(gòu)造對偶式法在解題中具有廣泛性、靈活性和簡潔性的優(yōu)勢.

思維視角8高等數(shù)學(xué)視角.

解法14(調(diào)和點(diǎn)列法)

圖1

2)調(diào)和線束的性質(zhì):若直線l∥MP,且與其他3條線分別交于點(diǎn)C,D,E,則D為CE的中點(diǎn).

評注近年來,許多數(shù)學(xué)高考試題以極點(diǎn)、極線為背景進(jìn)行命題.熟練使用極點(diǎn)、極線的結(jié)論,解題方向會更加清晰.以上相關(guān)的知識點(diǎn)在高考答題中不能直接使用,在應(yīng)用時可以先利用調(diào)和線束的性質(zhì)“猜測”結(jié)果,然后再用一般的方法進(jìn)行證明或驗(yàn)證.極點(diǎn)、極線知識在解題中具有較強(qiáng)的優(yōu)越性,有利于學(xué)生“居高臨下”地站在系統(tǒng)的高度迅速地思考和解決問題,達(dá)到“會當(dāng)凌絕頂,一覽眾山小”的功能,收到縮短思維長度、提高解題速度、節(jié)約解題時間的作用.

2 探究與拓展

限于篇幅,探究1~3的證明略.由此可見,例1是探究1結(jié)論的特殊情況.

3 往年高考試題鏈接

1)求E的方程;

(2022年全國數(shù)學(xué)高考乙卷理科試題第20題)

不難發(fā)現(xiàn),2023年全國數(shù)學(xué)高考乙卷理科第20題的第2)小題與2022年全國數(shù)學(xué)高考乙卷理科第20題極其相似,可以看作“姊妹題”.兩道題具有以下的共同特點(diǎn):1)過橢圓外一點(diǎn)作直線與橢圓相交;2)線段的中點(diǎn);3)極點(diǎn)、極線背景;4)方程相似,都為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;5)圖形(模型)相似;6)解題思路相同.

4 解題感悟

圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題淋漓盡致地體現(xiàn)了“幾何”與“代數(shù)”的深度融合、“動態(tài)”與“靜態(tài)”的完美和諧統(tǒng)一.定點(diǎn)、定值問題是探求“變中有不變的量”.因此,要注意挖掘問題中各個量之間的相互關(guān)系,恰當(dāng)適時地運(yùn)用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊到一般、相關(guān)點(diǎn)法、設(shè)而不求、換元、消元等基本思想方法.

此類問題綜合性強(qiáng),方法靈活.在解題過程中,既有探索性的歷程,又有嚴(yán)密的邏輯推理及復(fù)雜的運(yùn)算,成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一道亮麗的風(fēng)景線.文中的14種解法,各有千秋,筆者從深度和廣度上進(jìn)行了系統(tǒng)性探究、整合、推廣,實(shí)現(xiàn)了從“一道題”到“一類題”質(zhì)的飛躍,進(jìn)而提升學(xué)生的核心素養(yǎng),真可謂“半畝方塘一鑒開,多維視角共徘徊”!

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